10.2: Термічне розширення

Почнемо з припущення, що розширення гасіння випромінювання є незначним, так що для всіх практичних цілей поширення частот, випромінюваних колекцією атомів в газі, нескінченно вузьке. Спостерігач, однак, не побачить нескінченно тонкої лінії. Це відбувається через рух атомів в гарячому газі. Деякі атоми рухаються сюди, а довжина хвилі буде зміщена синім кольором; інші рухаються далі, а довжина хвилі буде зміщена червоним кольором. Результатом стане розширення ліній, відоме як теплове розширення. Чим гарячіше газ, тим швидше будуть рухатися атоми, і тим ширше будуть лінії. Ми зможемо виміряти кінетичну температуру газу від ширини ліній.

По-перше, коротке нагадування про відповідні результати з кінетичної теорії газів, і встановити наші позначення.

\[\nonumber \begin{align}\text{Notation:}\qquad &c=\text{ speed of light } \\ \nonumber&\mathbf{V}=\text{ velocity of a particular atom }=u\hat{\mathbf{x}}+v\hat{\mathbf{y}}+w\hat{\mathbf{z}} \\ \nonumber &V = \text{ speed of that atom } = \left (u^2+v^2+w^2 \right )^{\frac{1}{2}} \\ \nonumber &V_\text{m} = \text{ modal speed of all the atoms } = \sqrt{\frac{2kT}{m}}=1.414\sqrt{\frac{kT}{m}} \\ \nonumber &\overline V = \text{mean speed of all the atoms }=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=1.596 \sqrt{\frac{kT}{m}}=1.128V_\text{m} \\ \nonumber &V_\text{RMS} =\text{ root mean square speed of all the atoms } =\sqrt{\frac{3kT}{m}}=1.732\sqrt{\frac{kT}{m}}=1.225V_\text{m} \\ \end{align}\]

Розподіл Максвелла дає розподіл швидкостей. Розглянемо газ\(N\) атомів, і\(N_VdV\) нехай число з них, які мають швидкості між\(V\text{ and }V + dV\). Тоді

\[\label{10.3.1}\frac{N_VdV}{N}=\frac{4}{\sqrt{\pi}V_\text{m}^3}V^2\text{exp}\left ( -\frac{u^2}{V_\text{m}^2}\right ) dV.\]

Більш актуальною для нашої теперішньої теми є розподіл швидкісної складової. Ми виберемо\(x\) -компонент, і припустимо, що\(x\) -direction - це лінія зору спостерігача, коли він або вона дивиться через зоряну атмосферу. \(N_udu\)Дозволяти число атомів з компонентами швидкості між\(u\text{ and }du\). Тоді розподіл по гаусу

\[\label{10.3.2}\frac{N_udu}{N}=\frac{1}{\sqrt{\pi}V_\text{m}}\text{exp}\left ( -\frac{u^2}{V_\text{m}^2}\right ) du,\]

який, звичайно, симетричний про\(u = 0\).

Тепер атом зі складовою швидкості прямої видимості\(u\) породжує доплерівський зсув\(\nu - \nu_0\), де (за умови, що\(u^2 << c^2\))\(\frac{\nu-\nu_0}{\nu_0}=\frac{u}{c}\). Якщо ми дивимося на лінію випромінювання, ліва сторона Equation\ ref {10.3.2} дає нам профіль лінії\(I_\nu(\nu)/I_\nu(\nu_0)\) (за умови, що лінія оптично тонка, як завжди передбачається в цій главі, якщо не вказано інше). Таким чином, профіль лінії емісійної лінії

\[\label{10.3.3}\frac{I_\nu(\nu)}{I_\nu(\nu_0)}=\text{exp}\left [ -\frac{c^2}{V_\text{m}^2}\frac{(\nu-\nu_0)^2}{v\nu_0^2}\right ].\]

Це гаусовий, або доплерівський, профіль.

Легко показати, що повна ширина на половині максимуму (FWHM)

\[\label{10.3.4}w=\frac{V_\text{m}\nu_0}{\text{c}}\sqrt{\ln 16}=1.6651\frac{V_\text{m}\nu_0}{\text{c}}.\]

Це також повна ширина на половині мінімуму (FWHm) лінії поглинання, в одиницях частоти. Це також FWHM або FWHm в одиницях довжини хвилі, за умови, що\(\lambda_0\) підлягають заміні\(\nu_0\).

Профіль лінії поглинання центральної глибини\(d ( = \frac{I_\nu(\text{c})-I_\nu(\nu_0)}{I_\nu(\text{c})})\) дорівнює

\[\label{10.3.5}\frac{I_\nu(\nu)}{I_v(c)}=1-d\text{ exp}\left [ -\frac{c^2}{V_\text{m}^2}\frac{(\nu-\nu_0)^2}{\nu_0^2}\right ] ,\]

які також можуть бути написані

\[\label{10.3.6}\frac{I_\nu(\nu)}{I_\nu(\text{c})}=1-d \text{exp}\left [ -\frac{(\nu-\nu_0)^2\ln 16}{w^2}\right ].\]

(Переконайтеся\(\nu - \nu_0 = \frac{1}{2}w\), що коли, права сторона є\(1-\frac{1}{2}d\). Зробіть те ж саме для рівняння 10.2.22.)

На малюнку Х.2 я малюю два гаусових профілю, кожен з однакової еквівалентної ширини, що і лоренціанські профілі малюнка Х.1, і тих же двох центральних глибин, а саме 0,4 і 0,8. Ми бачимо, що гаусовий профіль - це «все ядро і без крил». Візуальний огляд профілю може змусити повірити, що він, ймовірно, є гаусовим, але, щоб бути впевненим, можна написати Equation\ ref {10.3.6} у формі

\[\label{10.3.7}\ln \left [ \frac{I_\nu(\text{c})-I_\nu(\nu)}{I_\nu(\text{c})}\right ] =\ln d -\frac{(\nu-\nu_0)^2\ln 16}{w^2}\]

і побудуйте графік лівої сторони проти\((\nu - \nu_0)^2\). Якщо профіль по-справжньому гауссовой, то це призведе до прямої лінії, від якої\(w\) і\(d\) можна знайти з ухилу і перехопити.

Інтегрувати профіль Доплера для пошуку еквівалентної ширини трохи менш просто, ніж інтегрувати профіль Лоренца, але це залишається як вправа, щоб показати, що

\[\nonumber \begin{align}\text{Equivalent width } &=\sqrt{\frac{\pi}{\ln 16}}\times\text{ central depth }\times \text{FWHm} \\ &=1.064 \times \text{ central depth }\times \text{FWHm}. \\ \end{align}\]

Порівняйте це з рівнянням 10.2.23 для профілю Лоренца.

\(\text{FIGURE X.2}\)

На малюнку X.3 показаний лоренціанський профіль (суцільний) і гаусовий профіль (пунктирний), кожен з яких має однакову центральну глибину і однакову FWHm. Відношення рівноцінної ширини Лоренціанської до гаусової еквівалентної ширини дорівнює\(\frac{\pi}{2}\div \sqrt{\frac{\pi}{\ln 16}}=\sqrt{\pi \ln 2}=1.476.\)

\(\text{FIGURE X.3}\)