2.6: Закон Відня

Довжини хвиль або частоти, на яких ці функції досягають максимуму, і які ці максимальні значення, можна знайти шляхом диференціації цих функцій. Вони не всі доходять до максимуму на одній довжині хвилі. Для чотирьох функцій Планка, розглянутих у розділі 2.6 (Рівняння 2.6.1- 2.6.4), довжини хвиль або частоти, на яких виникають максимуми, задаються:

Для рівняння 2.6.1:

$$\lambda = W_1/T \label{2.7.1}$$

Для рівняння 2.6.2:

$$\lambda = W_2 / T \label{2.7.2}$$

Для рівняння 2.6.3:

$$\nu = W_3 T \label{2.7.3}$$

Для рівняння 2.6.4:

$$\nu = W_4 T \label{2.7.4}$$

Будь-яке з цих рівнянь (але частіше перше) може називатися законом Відня.

Константи є

\ begin {масив} {c c}
W_n =\ frac {hc} {kx_n}, & (n=1,2)
\ end {масив}

\ begin {масив} {c c}
W_n =\ frac {kx_n} {h}, & (n=3,4)
\ end {масив}

де$x_n$ є рішення

$$x_n = (6-n) \left(1-e^{-x_n} \right)$$

і мають значення

$$x_1 = 4.965114$$

$$x_2 = 3.920690$$

$$x_3 = 2.821439$$

$$x_4 = 1.593624$$

Тоді константи Wien мають значення

$$W_1 = 2.8978 \times 10^{-3} \ \text{m K}$$

$$W_2 = 3.6697 \times 10^{-3} \ \text{m K}$$

$$W_3 = 5.8790 \times 10^{10} \ \text{Hz K}^{-1}$$

$$W_4 = 3.3206 \times 10^{10} \ \text{Hz K}^{-1}$$

Максимальні ординати функцій задаються

$$M_\lambda (\text{max}) = A_1 T^5$$

$$N_\lambda ( \text{max}) = A_2 T^4$$

$$M_\nu (\text{max}) = A_3 T^3$$

$$N_\nu (\text{max}) = A_4 T^2$$

Константи$A_n$ задаються

\ begin {масив} {c c}
a_n =\ розриву {2\ пі k^ {6-n} y_n} {h^4 c^3}, & (n=1,2)\\
\ end {масив}

\ begin {масив} {c c}
a_n =\ розриву {2\ пі k^ {6-n} y_n} {h^2 c^2}, & (n=3,4)\\
\ end {масив}

де$y_n$ є безрозмірними числами, визначеними

$$y_n = \frac{x_n^{6-n}}{e^{x_n}-1}$$

Тобто,

$$y_1 = 21.20144$$

$$y_2 = 4.779841$$

$$y_3 = 1.421435$$

$$y_4 = 0.6476102$$

$A_n$Тому константи мають значення

\ begin {масив} {l l}
A_1 = 1.2867\ раз 10^ {-5} &\ текст {W m} ^ {-2}\ текст {K} ^ {-5}\ текст {m} ^ {-1}\
\ end {масив}

\ begin {масив} {l l}
A_2 = 2.1011\ раз 10^ {17} &\ текст {ph s} ^ {-1}\ текст {m} ^ {-2}\ текст {K} ^ {-4}\ текст {m} ^ {-1}\
\ end {масив}

\ begin {масив} {l l}
A_3 = 5.9568\ раз 10^ {-19} &\ текст {W m} ^ {-2}\ текст {K} ^ {-3}\ текст {Гц} ^ {-1}\
\ кінець {масив}

\ begin {масив} {l l}
A_4 = 1.9657\ раз 10^ {4} &\ текст {ph s} ^ {-1}\ текст {m} ^ {-2}\ текст {K} ^ {-2}\ текст {Гц} ^ {-1}\
\ end {масив}