6.3: Три компоненти кутового моменту не можуть бути виміряні одночасно з довільною точністю
- Page ID
- 27369
- Зрозумійте, як виміряти орбітальний кутовий імпульс електрона навколо ядра.
- Зрозумійте, як принцип невизначеності Гейзенбурга поширюється на орбітальні кутові моменти.
- Маніпулювати кутовими моментациклічними перестановками, які дозволяють одночасно вимірювати два з трьох проектів
Розглянемо частинки, описані декартовими координатами\((x, y, z)\equiv \vec{r}\) та їх сполученими моментами\((p_x, p_y, p_z)\equiv \vec{p}\). Класичне визначення орбітального моменту такої частинки про походження є (тобто через векторний перехресний добуток):
\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \nonumber \]
які можуть бути розділені на проекції на кожну з первинних осей:
\[ \begin{align*} L_x &= y\, p_z - z\, p_y, \label{6.3.1a} \\[4pt] L_y &= z\, p_x - x\, p_z \label{6.3.1b} \\[4pt] L_z &= x\,p_y - y \,p_x \label{6.3.1c} \end{align*} \]
Розширюючи цю дискусію на квантову механіку, можна припустити, що оператори\((\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z)\equiv \vec{L}\) - які представляють компоненти орбітального моменту в квантовій механіці - можуть бути визначені аналогічно відповідним компонентам класичного кутового імпульсу. Іншими словами, ми будемо вважати, що наведені вище рівняння визначають оператори моменту моменту з точки зору операторів позиції та лінійного імпульсу.
У декартових координатах три оператори для орбітальних компонентів кутового моменту можна записати як
\[\hat{L}_x = -{\rm i}\,\hbar\left(y\,\dfrac{\partial}{\partial z} - z\,\dfrac{\partial} {\partial y}\right) \label{6.3.2a} \]
\[ \hat{L}_y = -{\rm i}\,\hbar\left(z\,\dfrac{\partial}{\partial x} - x\,\dfrac{\partial} {\partial z}\right) \label{6.3.2b} \]
\[ \hat{L}_z = -{\rm i}\,\hbar\left(x\,\dfrac{\partial}{\partial y} - y\,\dfrac{\partial} {\partial x}\right) \label{6.3.2c} \]
Вони можуть бути перетворені на оператори в стандартних сферичних полярних координатах,
\[ \begin{align*} x &= r \,\sin\theta\, \cos\varphi \label{6.3.3a} \\[4pt] y &= r\, \sin\theta\, \sin\varphi \label{6.3.3b} \\[4pt] z &=r \cos \theta \label{ 6.3.3c} \end{align*} \]
отримуємо
\[ \begin{align*} \hat{L}_x &= {\rm i}\,\hbar\,\left(\sin\varphi\, \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \cot\theta \cos\varphi\,\dfrac{\partial}{\partial \varphi}\right) \label{6.3.4a} \\[4pt] \hat{L}_y &= -{\rm i} \,\hbar\,\left(\cos\varphi\, \dfrac{\partial}{\partial\theta} -\cot\theta \sin\varphi \,\dfrac{\partial}{\partial \varphi}\right) \label{6.3.4b} \\[4pt] \hat{L}_z &= -{\rm i}\,\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\varphi} \label{6.3.4c} \end{align*} \]
Ми можемо ввести новий оператор\(\hat{L^2}\):
\[ \begin{align} \hat{L^2} &= \hat{L}_x^{\,2}+\hat{L}_y^{\,2}+\hat{L}_z^{\,2} \label{6.3.5} \\[4pt] &= - \hbar^2\left( \dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2} {\partial\varphi^2}\right) \label{6.3.6} \end{align} \]
Задача на власні значення для\(\hat{L^2}\) приймає форму
\[\hat{L^2} | \psi \rangle = \lambda \,\hbar^2 | \psi \rangle \label{6.3.6a} \]
де\(\psi(r, \theta, \varphi)\) - хвильова функція, і\(\lambda\) є числом. Давайте напишемо
\[ \psi(r, \theta, \varphi) = R(r) \,Y(\theta, \varphi) \label{6.3.6b} \]
За визначенням,
\[\boxed{L^2 \,Y_{l}^{m_l} = l\,(l+1)\,\hbar^2\,Y_{l}^{m_l}} \label{6.3.9} \]
де\(l\) - ціле число. Це важливий висновок, який стверджує, що кутовий момент квантується з квадратом величини моменту моменту імпульсу тільки здатним прийняти одне з дискретних множин значень (Equation\(\ref{6.3.9}\)). З цього може бути виражена амплітуда кутового моменту
\[\boxed{ |\vec{L}| =\sqrt{L^2} = \sqrt{l(l+1)} \hbar }\label{6.3.10} \]
Ми часто посилаємося на частинку в стані з квантовим числом\(l\) моменту моменту моменту моменту\(l\), а не говоримо, що вона має кутовий імпульс\(\sqrt{l(l+1)} \hbar\) величини, перш за все, оскільки це незручно швидко сказати.
Властивості сферичних гармонік, що z-компонент кутового моменту (\(L_z\)) також квантується і може припускати лише одне з дискретного набору значень
\[ L_z \,Y_{l}^{m_l} = m\,\hbar\,Y_l^{m_l} \label{6.3.11} \]
де\(m_l\) - ціле число, що лежить в діапазоні\(-l\leq m_l \leq l\).
- \(l\)іноді називають «азимутальним квантовим числом» або «орбітальним квантовим числом»
- \(m_l\)іноді називають «магнітним квантовим числом»
Одночасні вимірювання
Зверніть увагу, що спостережувані\(\hat{L}_x\)\(\hat{L}_y\), пов'язані з, і\(\hat{L}_z\) можуть, в принципі, вимірюватися. Однак, щоб визначити, чи можна їх вимірювати одночасно з нескінченною точністю, відповідні оператори повинні їздити на роботу. Пам'ятайте, що фундаментальні комутаційні відносини, що задовольняються операторами положення та лінійного імпульсу, є:
\[ \begin{align*} [\hat{x}_i, \hat{x}_j] &=0 \label{6.3.12} \\[4pt] [\hat{p}_i, \hat{p}_j] &=0 \label{6.3.13} \\[4pt] [\hat{x}_i, \hat{p}_j] &= {\rm i}\,\hbar \,\delta_{ij} \label{6.3.14} \end{align*} \]
де\(i\) і\(j\) стояти або\(x\)\(y\), або\(z\). Розглянемо комутатор операторів\(\hat{L}_x\) і\(\hat{L}_z\):
\[ \begin{align*} [\hat{L}_x, \hat{L}_y] & = [(y\,p_z-z\,p_y), (z\,p_x-x \,p_z)] \\[4pt] &= y\,[p_z, z]\,p_x + x\,p_y\,[z, p_z] \label{6.3.15} \\[4pt] &= {\rm i}\,\hbar\,(-y \,p_x+ x\,p_y) \\[4pt] &= {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_z \label{6.3.16} \end{align*} \]
Циклічні перестановки вищевказаного результату дають фундаментальні комутаційні відносини, задоволені компонентами орбітального кутового імпульсу:
\[[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_z \label{6.3.17a} \]
\[[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_x \label{6.3.17b} \]
\[[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = {\rm i}\,\hbar\, \hat{L}_y \label{6.3.17c} \]
Три комутаційні відносини (Рівняння\(\ref{6.3.17a}\) -\(\ref{6.3.17c}\)) є основою для всієї теорії кутового моменту в квантовій механіці. Всякий раз, коли ми стикаємося з трьома операторами, які мають ці комутаційні відносини, ми знаємо, що динамічні змінні, які вони представляють, мають ідентичні властивості компонентів моменту імпульсу (які ми збираємося вивести). По суті, припустимо, що будь-які три оператори, які задовольняють комутаційним відносинам (Рівняння\(\ref{6.3.17a}\) -\(\ref{6.3.17c}\)) представляють собою складові якогось моменту моменту.
Будь-які три оператори, які задовольняють циклічні комутаційні відносини, представляють собою складові якогось моменту моменту.
Показати, що\(\hat{L}_x\) оператори\(\hat{L^2}\) і комутують.
Рішення
Ми хочемо підтвердити,\([\hat{L^2}, \hat{L}_x] = 0\) що з Equation\(\ref{6.3.5}\) це може бути розширено
\[[\hat{L^2}, \hat{L}_x] = [\hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2, \hat{L}_x] \nonumber \]
від властивостей комутаторів це можна розширити
\[[\hat{L^2}, \hat{L}_x] = [\hat{L}_x^2, \hat{L}_x] + [\hat{L}_y^2, \hat{L}_x] + [\hat{L}_z^2 , \hat{L}_x] \nonumber \]
Однак,
\[[\hat{L}_x^2, \hat{L}_x] = \hat{L}_x^2 \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_x^2 = \hat{L}_x \hat{L}_x \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_x \hat{L}_x = 0\nonumber \]
Так
\[ \begin{align*} [\hat{L^2}, \hat{L}_x] &= [\hat{L}_y^2, \hat{L}_x] + [\hat{L}_z^2, \hat{L}_x]\nonumber \\ &= \hat{L}_y^2 \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_z^2 \nonumber \\ &= \hat{L}_y \hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y \hat{L}_y + \hat{L}_z \hat{L}_z \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_z \hat{L}_z \nonumber \end{align*} \nonumber \]
Давайте розглянемо деякі пов'язані форми, які можуть бути використані для спрощення вищевказаного виразу. Перші два терміни можуть, а останні два терміни можуть бути переписані як різні комутатори.
\[ \begin{align*} [\hat{L}_y , \hat{L}_x] &= \hat{L}_y + \hat{L}_y [\hat{L}_y , \hat{L}_x] \nonumber \\ &= (\hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y) \hat{L}_y + \hat{L}_y (\hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y) \nonumber \\ &= \cancel{\hat{L}_y \hat{L}_x \hat{L}_y} - \hat{L}_x \hat{L}_y \hat{L}_y + \hat{L}_y \hat{L}_y \hat{L}_x - \cancel{\hat{L}_y \hat{L}_x \hat{L}_y} \nonumber \end{align*} \nonumber \]
Перший і четвертий терміни скасовують, даючи
\[[\hat{L}_y , \hat{L}_x] \hat{L}_y + \hat{L}_y [\hat{L}_y , \hat{L}_x] = \hat{L}_y \hat{L}_y \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_y \hat{L}_y \nonumber \]
Аналогічно,
\[[Lz , \hat{L}_x] \hat{L}_z + \hat{L}_z [\hat{L}_z, \hat{L}_x] = \hat{L}_z \hat{L}_z \hat{L}_x - \hat{L}_x \hat{L}_z \hat{L}_z \nonumber \]
Отже,
\[ \begin{align*} [\hat{L^2} , \hat{L}_x] &= [\hat{L}_y , \hat{L}_x] \hat{L}_y + \hat{L}_y [\hat{L}_y , \hat{L}_x] + [\hat{L}_z , \hat{L}_x] \hat{L}_z + \hat{L}_z [\hat{L}_z , \hat{L}_x]\nonumber \\[4pt] &= - i\hbar \hat{L}_z \hat{L}_y - i\hbar \hat{L}_y \hat{L}_z + i\hbar \hat{L}_y \hat{L}_z + ih \hat{L}_z \hat{L}_y \\[4pt] &= 0 \nonumber \end{align*} \nonumber \]
Можна також показати аналогічно, що
\[[\hat{L^2}, \hat{L}_y] = [\hat{L^2}, \hat{L}_z] = 0 \nonumber \]
Приклад Template:index показує, що while\(L_z\) може бути відомим з упевненістю\(L_x\) і\(L_y\) буде невідомо. Це означає, що кожен вектор з відповідною довжиною та z -компонентом може бути намальований для представлення\(\vec{L}\), який утворює конус (Рисунок Template:index). Очікувана величина моменту моменту моменту для даного ансамблю систем в квантовому стані характеризується\(l\) і\(m_l\) може знаходитися десь на цьому конусі, поки воно не може бути визначено для однієї системи (оскільки компоненти\(L\) не комутують один з одним).
Математика комутаційних відносин відносно проста, але що фізично означає для спостережуваного (ермітієвого оператора), щоб їздити з іншим спостережуваним (ермітовим оператором) у квантовій механіці?
Якщо два оператори\(\hat{A}\) і\(\hat{B}\) їздять один з одним, то
\[\hat A \hat B - \hat B \hat A = 0, \nonumber \]
які можна переставити на
\[\hat A \hat B = \hat B \hat A. \nonumber \]
Це не тривіальне твердження, і багато операцій не підключаються, і, отже, кінцевий результат залежить від того, як ви впорядкували операції.
Якщо ви пам'ятаєте, що оператори діють на квантові механічні стани і дають вам новий стан натомість, то це означає, що з\(\hat{A}\) і\(\hat{B}\) комутуючи, стан, який ви отримуєте від дозволу спочатку\(\hat{A}\) діяти, а потім\(\hat{B}\) діяти на якийсь початковий стан таке ж, як якщо б ви дозволили спочатку\(\hat{B}\) і то\(\hat{A}\) діяти на цей стан, т. Е.
\[\hat A \hat B | \psi \rangle = \hat B \hat A | \psi \rangle. \nonumber \]
Нагадаємо, що при виконанні квантового механічного вимірювання ви завжди будете вимірювати власне значення вашого оператора, а після вимірювання ваш стан залишається у відповідному власному стані. Власні стани оператора - це саме ті стани, для яких немає невизначеності у вимірюванні: Ви завжди будете вимірювати власне значення.
Тому\(\hat{B} |a \rangle\) має бути власною функцією\(\hat{A}\) з власним значенням\(a\) так само, як і\(|a \rangle\) сама. Тобто, по суті кажучи, що\(|a \rangle\) є власноюфункцією\(\hat{B}\).
Ключовим прикладом цього є since\(\hat{L^2}\) і\(\hat{L}_x\) commute (Приклад Template:index) тоді обидва оператори мають однакові власні стани. Отже, нам не потрібно вирішувати дві проблеми з власними значеннями:
\[\hat{L^2} | \psi \rangle = \lambda | \psi \rangle \nonumber \]
і
\[\hat{L}_x | \psi \rangle = \beta| \psi \rangle \nonumber \]
Якщо ми вирішимо одне, то ми знаємо власні значення (\(| \psi \rangle\)) для іншого!
Що це означає, коли деякі\(\hat{A}\) спостережувані їздять на гамільтоніан\(\hat{H}\)? По-перше, ми отримуємо весь результат згори: існує одночасна власна основа енергетично-власних станів і власних станів\(\hat{A}\). Це може дати величезне спрощення завдання розв'язання рівнянь Шредінгера. Наприклад, гамільтоніан атома водню комутує з\(\hat{L}\) оператором кутового моменту та з\(\hat{L}_z\), його z-компонентом. Це говорить вам про те, що ви можете класифікувати власні стани за кутовим і магнітним квантовим числом\(l\) і\(m\).
Резюме
У квантовому світі кутовий імпульс квантується. Квадрат величини моменту моменту (визначається власнимизначеннями\(\hat{L^2}\) оператора) може припускати тільки одне з дискретної множини значень.
\[L^2 = l(l + 1)\hbar^2 \nonumber \]
або величина моменту моменту
\[L = \sqrt{l(l + 1)}\hbar \nonumber \]
з\(l = 0, 1, 2, ... \nonumber\)
z-складова моменту моменту (тобто проекція\(L\) на\(z\) вісь -) також квантується за допомогою
\[L_z= m_{l} \hbar \nonumber \]
з\(m_l = -l, 0-1, ..., 0, ... +l +1, l \nonumber\) для заданого значення\(l\). Звідси\(l\) і\(m_l\) є квантовим числом моменту моменту і магнітним квантовим числом відповідно.