Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3: Рівняння Шредінгера та частинка у коробці

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    26906

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Частинка в коробковій моделі (також відома як нескінченна потенційна яма або нескінченна квадратна свердловина) описує частинку, вільну для переміщення в невеликому просторі, оточеному непроникними бар'єрами. Модель в основному використовується як гіпотетичний приклад для ілюстрації відмінностей між класичною та квантовою системами. У класичних системах, наприклад, м'яч, що потрапив у велику коробку, частинка може рухатися з будь-якою швидкістю всередині коробки, і це не більше шансів знайти в одному положенні, ніж в іншому. Однак, коли свердловина стає дуже вузькою (в масштабі декількох нанометрів), квантові ефекти стають важливими. Частинка може займати лише певні позитивні енергетичні рівні. Частка в коробковій моделі забезпечує одну з дуже небагатьох проблем у квантовій механіці, яка може бути вирішена аналітично, без наближень. Це означає, що спостережувані властивості частинки (такі як її енергія і положення) пов'язані з масою частинки і шириною свердловини простими математичними виразами. Завдяки своїй простоті модель дозволяє зрозуміти квантові ефекти без необхідності складної математики. Це одна з перших проблем квантової механіки, яку викладають на курсах фізики бакалаврів, і вона зазвичай використовується як наближення для більш складних квантових систем.

    • 3.1: Рівняння Шредінгера
      Ервін Шредінгер розмістив рівняння, яке прогнозує як дозволені енергії системи, так і вирішує подвійність хвиль і частинки речовини. Рівняння Шредінгера для хвиль матерії де Броля не може бути виведено з якогось іншого принципу, оскільки воно є основним законом природи. Про його правильність можна судити тільки за подальшим узгодженням з спостережуваними явищами (апостеріорним доказом).
    • 3.2: Лінійні оператори в квантовій механіці
      Оператор - це узагальнення поняття функції. Тоді як функція є правилом перетворення одного числа в інше, оператор є правилом перетворення однієї функції в іншу функцію.
    • 3.3: Рівняння Шредінгера є задачею на власні значення
      Кожній динамічній змінній в квантовій механіці відповідає рівняння власного значення. Власні значення представляють можливі виміряні значення оператора.
    • 3.4: хвильові функції мають імовірнісну інтерпретацію
      найбільш прийнята інтерпретація хвильової функції про те, що квадрат модуля пропорційний щільності ймовірності (ймовірності на одиницю об'єму), що електрон знаходиться в об'ємі,\(d\tau\) розташованому при\(r_i\). Оскільки хвильова функція представляє хвильові властивості речовини, амплітуда ймовірності також\(P(x,t)\) проявлятиме хвилеподібну поведінку.
    • 3.5: Енергія частинки в коробці квантується
      Частинка в системі коробкових моделей є найпростішим нетривіальним застосуванням рівняння Шредінгера, але таке, яке ілюструє багато фундаментальних концепцій квантової механіки.
    • 3.6: Функції хвиль повинні бути нормалізовані
      Для підтримки імовірнісної інтерпретації хвильової функції ймовірність вимірювання x, що дає результат від -∞ до +∞, повинна бути 1. Тому хвильові функції повинні бути нормалізовані (якщо це можливо), щоб забезпечити цю вимогу.
    • 3.7: Середній імпульс частинки в коробці дорівнює нулю
      З математичних виразів для хвильових функцій і енергій для частинки в коробці ми можемо відповісти на ряд цікавих питань. Ключем до вирішення цих питань є формулювання та використання очікуваних значень. Це продемонстровано в модулі і використовується в контексті оцінки середніх властивостей (енергії, положення та імпульсу частинки в коробці).
    • 3.8: Принцип невизначеності - оцінка невизначеностей з хвильових функцій
      Оператори x і p не сумісні, і немає вимірювання, яке може точно визначити як x, так і p одночасно. Принцип невизначеності є наслідком хвильового властивості речовини. Хвиля має певну кінцеву ступінь у просторі і, як правило, не локалізується в точці. Отже, зазвичай існує значна невизначеність положення квантової частинки в просторі.
    • 3.9: Частинка в тривимірній коробці
      1D частинки в коробці задачі можуть бути розширені, щоб розглянути частинку всередині 3D коробки для трьох довжин\(a\)\(b\), і\(c\). Коли немає сили (тобто немає потенціалу), що діють на частинки всередині коробки. Рух і, отже, квантування властивості кожного виміру не залежать від інших вимірів. Цей модуль представляє концепцію виродження, де кілька хвильових функцій (різні квантові числа) мають однакову енергію.
    • 3.E: Рівняння Шредінгера та частинка у коробці (вправи)
      Це домашні вправи, які супроводжують главу 3 Маккуаррі та Саймона «Фізична хімія: молекулярний підхід» TextMap.

    Мініатюра: Квантова хвильова функція частинки в 2D нескінченній потенційній ямі розмірів\(L_x\) і\(L_y\). Цифри хвиль -\(n_x=2\) і\(n_y=2\). (Суспільне надбання; Індуктивне навантаження).