3.E: Рівняння Шредінгера та частинка у коробці (вправи)

Рішення для вибору питань можна знайти в Інтернеті.

3.2

Визначте з наступних операторів, які є лінійними та нелінійними:

1. \(\hat{A}f(x)= f(x)^2\)[квадрат f (x)]
2. \(\hat{A}f(x)= f^*(x)\)[сформувати складний сполучений з f (x)]
3. \(\hat{A}f(x)= 0\)[помножити f (x) на нуль]
4. \(\hat{A}f(x)= [f(x)]^{-1}\)[прийняти зворотний f (x)]
5. \(\hat{A}f(x)= f(0)\)[оцінити f (x) при x = 0]
6. \(\hat{A}f(x)= \ln f(x)\)[взяти журнал f (x)]

Рішення

Важливо відзначити, що оператор\(\hat{A}\) є лінійним if

\[ \underbrace{\hat{A}[c_1f(x)+c_2f_2(x)]}_{\text{left side}}= \underbrace{c_1\hat{A}f_1(x)+c_2\hat{A}f_2(x) }_{\text{right side}}\nonumber \]

і оператор нелінійний, якщо

\[ \underbrace{ \hat{A}[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]}_{\text{left side}} \neq \underbrace{ c_1\hat{A}f_1(x)+c_2\hat{A}f_2(x) }_{\text{right side}}\nonumber \]

а)

Оцініть ліву сторону

\[\begin{align*} \hat{A}[c_1f(x)+c_2f_2(x)] &= [c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]^2 \\ &= c_1^2 f_1(x)^2+2c_1f_1(x) c_2f_2(x)+c_2^2f_2(x)^2 \end{align*}\nonumber \]

Оцініть праву сторону

\[c_1 \hat{A} f_1(x)+c_2\hat{A}f_2(x)=c_1[f_1(x)]^2+c_2[f_2(x)]^2 \neq \hat{A}[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)] \nonumber \]

Цей оператор нелінійний

б)

Оцініть ліву сторону

\[\hat{A}[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)] = c_1^*f_1^*(x) + c_2^*f_2^*(x)\nonumber \]

Оцініть праву сторону

\[\begin{align*} c_1\hat{A}f_1(x) + c_2\hat{A}f_2(x) &= c_1f_1^*(x) + c_2f_2^*(x) \\[4pt] &= \hat{A}[c_1f_1(x) + c_2f_2(x)] \end{align*} \]

Цей оператор є лінійним

в)

Оцініть ліву сторону

\[ \hat{A}[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)] = 0\nonumber \]

Оцініть праву сторону

\[c_1\hat{A}f_1(x) + c_2\hat{A}f_2(x) = c_1f_1(x) + c_2f_2(x) = 0\nonumber \]

\[ = \hat{A}[c_1f_1(x) + c_2f_2(x)]\nonumber \]

Цей оператор є лінійним

г)

Оцініть ліву сторону

\[\hat{A}[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)] = \dfrac{1}{c_1f_1(x) + c_2f_2(x)}\nonumber \]

Оцініть праву сторону

\[c_1\hat{A}f_1(x) + c_2\hat{A}f_2(x) = \dfrac{c_1}{f_1(x)} + \dfrac{c_2}{f_2(x)} \nonumber \]

\[ \neq \hat{A}[c_1f_1(x) + c_2f_2(x)]\nonumber \]

Цей оператор нелінійний

д)

Оцініть ліву сторону

\[\hat{A}[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)] = c_1f_1(0) + c_2f_2(0)\nonumber \]

Оцініть праву сторону

\[ = c_1\hat{A}f_1(x) + c_2\hat{A}f_2(x)\nonumber \]

Цей оператор є лінійним

 

f)

Оцініть ліву сторону

\[\hat{A}[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)] = \ln [c_1f_1(x) + c_2f_2(x)]\nonumber \]

Оцініть праву сторону

\[c_1\hat{A}f_1(x) + c_2\hat{A}f_2(x) = c1 \ln f_1(x) + c_2 \ln f_2(x)\nonumber \]

\[ \neq \hat{A}[c_1f_1(x) + c_2f_2(x)]\nonumber \]

Цей оператор нелінійний

3.8

Показати, що для частинки в коробці з довжиною a зі станом\(n=3\) that there are 3 locations along the x axis where the probability density is at a maximum.

Рішення

Щільність ймовірності для частинки в коробці для стану\(n=3\) is

\[{\psi}^*{\psi}=\dfrac{2}{a}{\sin}^2\dfrac{3px}{a}\nonumber \]

Щоб максимально збільшити щільність ймовірності, візьміть її похідну і встановіть рівну нулю і вирішіть для\(x\) .

\[\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{2}{a}{{\sin}^2 \dfrac{3{\pi}x}{a}\ }\right]=\dfrac{2}{a}\cdot 2\cdot {\sin \dfrac{3{\pi}x}{a}\ }\cdot {\cos \dfrac{3{\pi}x}{a}\ }\cdot \dfrac{3\pi}{a}=0\nonumber \]

\[{\sin \dfrac{3{\pi}x}{a}\ }{\cos \dfrac{3{\pi}x}{a}\ }=0\nonumber \]

Ми хочемо не вибирати значення х, які роблять\({\sin \dfrac{3{\pi}x}{a}\ }=0\), оскільки це означає, що щільність ймовірності буде нульовою. Ми виберемо тільки нулі\({\cos \dfrac{3{\pi}x}{a}\ }\). Таким чином, можливі значення для х, які роблять

\[{\cos \dfrac{3{\pi}x}{a}\ } =0 \nonumber \]

є

\[\dfrac{3px}{a}=\dfrac{2m+1}{2}p\ \ \ \ \ \ m=0,1,2,\dots \nonumber \]

\[x=\dfrac{\left(2m+1\right)a}{6}\nonumber \]

Ми вибираємо лише,\(m=0,1,2\) а не 3\(m=3\) would give \(x=\dfrac{7a}{6}\), тому що знаходиться поза коробкою. Отже, локації є

\[x=\dfrac{a}{6}\nonumber \]

\[x=\dfrac{a}{2}\nonumber \]

\[x=\dfrac{5a}{6}\nonumber \]

3.13

Який діапазон для\(L\) можливий для\(\sigma_x\) даного:

\[\sigma_x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x \rangle^2}\nonumber \]

\(L\)де довжина 1-D коробки? Підказка: Пам'ятайте, що\(\sigma_x\) це невизначеність у положенні частинки в коробці.

Рішення

Для частинки в коробці:

\(\langle x \rangle = \dfrac{\text{L}}{2}\)

і

\(\langle x^2 \rangle = \dfrac{L^2}{3}-\dfrac{L^2}{2n^2\pi^2}\)

\(\sigma_x = \sqrt{\dfrac{L^2}{3}-\dfrac{L^2}{2n^2\pi^2} - (\dfrac{\text{L}}{2})^2}\)

За допомогою перевірки тільки значення\(\sigma_x\) менше, ніж\(L\) зроблять це твердження вірним.

3.14

Використання тригонометричної ідентичності

\[\cos(2x)=2\cos^{2}x-1\nonumber \]

показати, що

\[\int_0^a 2 \cos^2 \dfrac{n\pi x}{a} -1 dx = 0\nonumber \]

\[\int_0^a \cos \dfrac{2n\pi x}{a} dx = 0\nonumber \]

\[\dfrac{a}{2n\pi} \sin(2n\pi) = 0\nonumber \]

3.18

Чи є хвильова функція\( \phi_n= \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin{(\dfrac{n\pi x}{L})} \) ортонормально закінчена\( 0 \leq{x} \leq{L}\). Поясніть свої міркування.

Рішення

Щоб хвильова функція була ортонормальною, вона повинна задовольняти цим умовам 1.) вона повинна бути ортогональною і 2.) вона повинна бути нормалізована.

Щоб показати, що він ортогональний:

\[ \int_0^L \phi_m \phi\ast_n dx = 0\nonumber \]

коли\(m\neq\) п

Щоб показати, що хвильова функція нормалізується, вона повинна слідувати, що

\[ \int_0^L \phi_n \phi\ast_n dx = 1 \nonumber \]

коли m = n

Оскільки наша хвильова функція задовольняє обом умовам, це ортонормальна функція.

Ми знаходимо, що

\[\langle \psi_3 |\psi_3 \rangle = \int \limits _{-\infty}^{\infty} \dfrac{2}{L}(\sin\dfrac{3\pi x}{L})^2 dx = 1\nonumber \]

і

\[\langle \psi_4 |\psi_4 \rangle = \int \limits _{-\infty}^{\infty} \dfrac{2}{L}(\sin\dfrac{3\pi x}{L})(\sin\dfrac{4\pi x}{L}) dx = 0\nonumber \]

З ортогональності ми можемо дізнатися, що якщо n не дорівнює m, наш точковий добуток завжди буде нулем. Але якщо n = m наш точковий добуток буде дорівнює 1.

3.22

Що таке принцип невизначеності Гейзенберга? Чи дотримуються позиції та імпульсу принципу невизначеності; чому чи чому ні? Якщо вони це роблять, яка мінімальна невизначеність швидкості електрона, якщо відомо, що вона знаходиться в межах 1,5 нм від ядра?

Рішення

Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що дві наступні властивості не можуть бути одночасно виміряні з довільною точністю. Положення і імпульс слідують принципу. Якби спробувати поїхати на роботу цих двох операторів, один не отримав би нуль і, отже, властивості не коммутіруют. Якщо вони не їздять на роботу, то вони не можуть бути виміряні з довільною точністю.

Ми знаємо, що

\[\Delta x \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}\nonumber \]

І що р = мв. Це дає

\[m\Delta x \Delta v \geq \dfrac{\hbar}{2}\nonumber \]

Маса електрона, як відомо, є\(m_e \approx 9.1 \times 10^{-31}\;kg \). Проблема також дає\(\Delta x\) бути 1,5 нм. Звідси це стає пробкою і чагом для вирішення\(\Delta v\).

\[\Delta v = 3.86 \times 10^4\nonumber \]

3.23

Опишіть виродження двомірної коробки, дві сторони якої мають різну довжину.

Рішення

Енергії двовимірної коробки задаються,

\[E = \dfrac{h^2}{8m} \left(\dfrac{n^{2}_{x}}{a^2}+\dfrac{n^{2}_{y}}{b^2}\right)\nonumber \]

Ми бачимо, що навіть якщо\(a \ne b\) енергетичні рівні не обов'язково будуть виродженими.

3.26

Скільки вироджених станів мають перші три енергетичні рівні для тривимірної частинки в коробці, якщо\(a=b=c\)?

3.27

Металеві молекули порфірину зазвичай знаходяться в багатьох білках, і він має загальну структуру.

Ця молекула плоска, тому ми можемо наблизити π електрони як обмежені всередині квадрата. Що таке енергетичні рівні та відповідні виродження частинки в квадраті сторони\(m\)? Молекули порфірину мають 18\(π\) електронів. Якщо довжина молекули становить 850 пм, яке саме низьке поглинання енергії молекул порфірину? (експериментальне значення ≈ 17,000 ^{см -1}）

Рішення

Перший енергетичний рівень Е _(1,1,1), який не має виродження.

Другий енергетичний стан - E _(2,1,1) =E _(1,2,1) =E _(1,1,2), тому має три вироджені стани.

Третій енергетичний стан - E _(2,2,1) =E _(2,1,2) =E _(1,2,2), тому має три вироджені стани.

3.26

Для двомірної коробки ширини\(w\) та висоти\(h=\sqrt{a}w\) розрахуйте всі можливі енергетичні комбінації між ними\(E_{11}\) та\(E_{33}\) зверніть увагу на будь-яке виродження.

Рішення

Енергія двомірної частинки в коробці має вигляд,

\[E = \dfrac{h^2}{8m}\Bigg(\dfrac{n_x^2}{w^2}+\dfrac{n_y^2}{h^2}\Bigg)\nonumber \]

У цьому конкретному випадку\(h=\sqrt{a}w\) ми можемо спростити проблему,

\[E = \dfrac{h^2}{8m}\Bigg(\dfrac{n_x^2}{w^2}+\dfrac{2n_y^2}{w^2}\Bigg)\nonumber \]

Тепер ми можемо скласти табуляцію енергетичного рівня, що вказує на виродження.

\(E_{xy}\)	Виродження	\(\dfrac{E8mw^2}{h^2}\)
\ (E_ {xy}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(E_{11}\)	1	\ (\ dfrac {e8mW^2} {h^2}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">3
\ (E_ {xy}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(E_{12}\). \(E_{31}\)	2	\ (\ dfrac {e8mW^2} {h^2}\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 5
\ (E_ {xy}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(E_{21}\)	1	\ (\ dfrac {e8mW^2} {h^2}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">4
\ (E_ {xy}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(E_{22}\)	1	\ (\ dfrac {e8mW^2} {h^2}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">6
\ (E_ {xy}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(E_{13}\). \(E_{32}\)	2	\ (\ dfrac {e8mW^2} {h^2}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">7
\ (E_ {xy}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(E_{23}\)	1	\ (\ dfrac {e8mW^2} {h^2}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">8
\ (E_ {xy}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(E_{33}\)	1	\ (\ dfrac {e8mW^2} {h^2}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">9

3.32

У цій задачі ми досліджуємо квантово-механічну задачу вільної частинки, яка не обмежується скінченною областю. Пам'ятайте, квантовані енергії частинки в коробці є прямим результатом граничних умов, встановлених межами коробки.

Коли потенційна енергія\(V(x)\) дорівнює нулю і рівняння Шредінгера стає

\[\dfrac{d^2\psi}{dx^2} + \dfrac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) = 0\nonumber \]

Два рішення цього рівняння Шредінгера

\[\psi_1(x) = A_1e^{ikx}\nonumber \]

\[\psi_2(x) = A_2e^{-ikx}\nonumber \]

де\[k = \dfrac{(2mE)^(1/2)}{\hbar}\nonumber \]

Показати, що\(\psi_1(x)\) і\(\psi_2(x)\) є розв'язком рівняння Шредінгера, де потенційна енергія\(V(x)\) дорівнює нулю

Рішення

Для того, щоб довести, що\(\psi_1(x)\) і\(\psi_2(x)\) є рішеннями, потрібно згадати кілька значень.

\[p = \hbar k → k = p/\hbar →k = \dfrac{(2mE)^{1/2}}{\hbar}\nonumber \]

Тепер у нас є

\[\dfrac{d^2Ae^{\pm ikx}}{dx^2} + \dfrac{2mE}{\hbar^2}Ae^{\pm ikx}= 0\nonumber \]

\[A(\pm ik)^2e^{\pm ikx} + \dfrac{2mE}{\hbar^2}Ae^{\pm ikx} = 0 → -k^2 + \dfrac{2mE}{\hbar^2} = 0 \nonumber \]

Скасувати подібні умови

Таким чином\(k = \dfrac{(2mE)^{1/2}}{\hbar}\), що дорівнює початковому\(k\) значенню

3.32

Показати,\(E\) що повинно бути додатним значенням, оскільки коли\(E\) негативна хвильова функція стає необмеженою для великих\(x\) значень

Рішення

Якщо\(E\) < 0, то k стає уявним,\(k = ik\)

\(\psi = Ae^{\pm ikx} = Ae^{\pm i(ik)x} Ae^{\pm kx} \)

За\(\psi_1(x) = A_1e^{-kx} \) це підірве за х → -\(\infty\)

Для\(\psi_2(x) = A_2e^{kx} \) цього буде підірвати за х →\(\infty\)

3.32

З\(\hat{P}\)\(\psi_1(x)\) і\(\hat{P}\)\(\psi_2(x)\) як рівняння власних значень, показати, що

\[\hat{P}\psi_1(x) = -i\hbar \dfrac{d\psi_1}{dx} = \hbar k\psi_1\nonumber \]

і

\[\hat{P}\psi_2(x) = -i\hbar \dfrac{d\psi_2}{dx} = -\hbar k\psi_2\nonumber \]

Рішення

\[\hat{P}\psi_1(x) = -i\hbar \dfrac{d\psi_1}{dx} = -i\hbar \dfrac{d}{dx}A_1e^{+ikx} = -i\hbar A_1(ik)e^{ikx} = +\hbar kA_1e^{ikx} = + \hbar k\psi_1\nonumber \]

\[\hat{P}\psi_2(x) = -i\hbar \dfrac{d\psi_2}{dx} = -i\hbar \dfrac{d}{dx}A_2e^{-ikx} = -i\hbar A_2(-ik)e^{ikx} = -\hbar kA_1e^{-ikx} = -\hbar k\psi_2\nonumber \]

Тепер ми можемо показати, що

\[E = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{\pm (\hbar)^2}{2m} = \dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}\nonumber \]

3.32

Покажіть, що\(\psi_1^{*}\psi_1(x) = A_1^{*}A_1 = \left | A_1\right |^2\) і що\(\psi_2^{*}\psi_2(x) = A_2^{*}A_2 = \left | A_2\right |^2\)

Рішення

\[\begin{align*} \psi_1^{*}\psi_1(x) &= (A_1e^{ikx})^*A_1e^{ikx} \\[4pt] &= A_1^{*}A_1e^{-ikx}e^{ikx} \\[4pt] &= A_1^{*}A_1e^{-ikx+ikx} = A_1^{*}A_1e^{0} \\[4pt] &= A_1^{*}A_1\end{align*} \]

\[\begin{align*} \psi_2^{*}\psi_2(x) &= (A_2e^{-ikx})^*A_2e^{-ikx} \\[4pt] &= A_2^{*}A_2e^{ikx -ikx} \\[4pt] &= A_2^{*}A_2e^{0} = A_2^{*}A_2 \end{align*} \]

\(\psi\)має однакову ймовірність бути скрізь, коли\(\Delta x = \infty\) і\(\Delta p = 0 \)

3,33 А

Припускаючи, що частинка характеризується стоячою хвилею де Броля, придумайте рівняння для дозволених енергій частинки в одновимірній коробці.

Рішення

Відносини де Бройля

\[\lambda = \dfrac{h}{p}\nonumber \]

Оскільки хвилі - це стоячі хвилі, в коробці підійде ціле число половинних довжин хвиль або:

\[a = \dfrac{n\lambda}{2}\nonumber \]

і

\[a = \dfrac{nh}{2p}\nonumber \]

Рішення для\(p\) врожайності

\[p = \dfrac{nh}{2a}\nonumber \]

і відповідна енергія

\[E = \dfrac {mv^2}{2} = \dfrac{p^2}{2m} =\dfrac{1}{2m} \dfrac {n^2h^2}{4a^2} = \dfrac{n^2h^2}{8ma^2} \nonumber \]

3,33 Б

Виведіть найнижчу допустиму швидкість для протона в коробці довжиною 10 ^-14 м (приблизний розмір ядра), припускаючи, що частка описується стоячою хвилею ДеБроля.

Рішення

Довжина хвилі де Брольє є

\[λ = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m_pv}\nonumber \]

Для одновимірної хвилі, яка має вузли на обох кінцях коробки, може відповідати ціле число половинних довжин хвиль, тому

\[n \left(\dfrac{λ}{2} \right) = L\nonumber \]

Підставляючи цю довжину хвилі у відносині де Броля, один отримує

\[\nu  = \dfrac{hn}{2m_L}\nonumber \]

найнижча допустима швидкість матиме\(n = 1\)

\[\begin{align*} \nu &= \dfrac{(6.626 \times 10^{-34})(1)}{2 \times (1.67 \times 10^{-27})(10^{-14})} \\[4pt] &= 19.8 \times 10^6 m/s \end{align*} \]

3,33 СМ

Якщо частинка в одновимірній коробці описується стоячими хвилями де Броля всередині коробки, виведіть рівняння для дозволених енергій. Потім використовуйте це рівняння, щоб знайти енергію переходу від n = 1 до n = 2, враховуючи довжину коробки 350pm, а маса електрона дорівнює\(9.109 \times 10^{-31} kg\).

Рішення

Формула де Бройля є

\[\lambda=\dfrac{h}{p}\nonumber \]

Інтегральна кількість напівхвиль впишеться в коробку, тому що хвилі стоячі хвилі, тому що

\[\dfrac{n\lambda}{2}=a\nonumber \]

\[\dfrac{nh}{2p}=a\nonumber \]

Потім рішення для р

\[p=\dfrac{nh}{2a}\nonumber \]

Тому рівняння енергії

\[E=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{p^2}{2,m}=\dfrac{1}{2m} \dfrac{n^2h^2}{4a^2}=\dfrac{n^2h^2}{8ma^2}\nonumber \]

Просто підключіть до рівняння, щоб знайти енергію переходу

\[\Delta E=\dfrac{h^2}{8m_ea^2}(2^2-1^2)\nonumber \]

\[\Delta E=\dfrac{(6.626 \times 10^{-34} J \centerdot s)^2 (3) }{8(9.109 \times 10^{-31} kg)(350 \times 10^{-12}m)^2}\nonumber \]

\[\Delta E=1.47 \times 10^{-18}J \nonumber \]

3.35А

Розглянемо дві хвильові функції

\[\psi_n(x) = \sin\dfrac{n\pi x}{a} \nonumber \]

з парними n числами і

\[\psi_n(x) = \cos\dfrac{n\pi x}{a} \nonumber\]

з непарними n числами.

Доведіть, що хвильові функції можуть бути симетричними і антисиметричними за допомогою операції х до -х, а є постійною.

Враховуючи, що рівняння Шредінгера має вираз:

\[\hat{H}(x)\psi_n(x) = E_n\psi_n(x) \nonumber\]

Через операцію від x до -x рівняння тепер стає:

\[\hat{H}(-x)\psi_n(-x) = E_n\psi_n(-x) \nonumber\]

Покажіть, що

\[\hat{H}(x) = \hat{H}(-x)\nonumber\]

вірно довести рівняння Шредінгера.

Рішення

\(x\)Підставляючи на\(-x\), для непарних\(n\) чисел,

\[\hat{\psi}_n(-x) = \cos\dfrac{-n\pi x}{a} = \cos\dfrac{n\pi x}{a} = \hat{\psi}_n(x) \]

Для парних\(n\) чисел,

\[\hat{\psi}_n(-x) = sin\dfrac{-n\pi x}{a} = -sin\dfrac{n\pi x}{a} = -\hat{\psi}_n(x) \]

Таким чином, хвильова функція для непарного\(n\) числа симетрична, а парних n чисел - антисиметрична.

І,

\[\hat{H}(x) = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2} = \hat{H}(x)\]

\[\hat{H}(-x) = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{d(-x)^2} = \hat{H}(x)\]

Таким чином,

\[\hat{H}(x) = \hat{H}(-x) \nonumber\]

і

\[\hat{H}(x) \nonumber \]

є рівномірною функцією\(x\).

3,35 Б

Показати, що гамільтоніан для моделі жорсткого ротора є непарним.

Рішення

\[ \hat{H}(x) = \hat{H}(-x)\nonumber \]

тому

\[\hat{H}= -\dfrac{h^2}{4\pi \mu}\nabla^2\nonumber \]

\[\nabla^2 = \dfrac{d^2y}{dx^2} \dfrac{d^2y}{dy^2}\dfrac{d^2y}{dz^2}\nonumber \]

тому

\[\dfrac{d^2y}{dx^2} (x) = 0\nonumber \]

і

\[\dfrac{d^2y}{dx^2}(-x) = 0\nonumber \]

тому

\[\hat{H}(x) = 0\nonumber \]

і

\[\hat{H}(-x) = 0\nonumber \]

тому

\[\hat{H}(x)= \hat{H}(-x)\nonumber \]