2.4: Кінетична енергія
- Page ID
- 21066
Використовуючи вирази для\(v_{mp}\)\(v_{ave}\), або\(v_{rms}\), досить просто отримати вирази для кінетичної енергії з виразу
\[E_{kin} = \dfrac{1}{2} mv^2\]
Важливо пам'ятати, що буде відбуватися повний розподіл молекулярних швидкостей в термізованому зразку газу. Деякі молекули будуть подорожувати швидше, а деякі повільніше. Важливо також визнати, що найбільш ймовірні, середні та середньоквадратичні терміни кінетичної енергії, які можуть бути отримані з кінетичної молекулярної теорії, не залежать від маси молекул (табл. 2.4.1). Таким чином, можна зробити висновок, що середня кінетична енергія молекул в термізованому зразку газу залежить тільки від температури. Однак середня швидкість залежить від молекулярної маси. Так, при заданій температурі легкі молекули в середньому будуть подорожувати швидше, ніж більш важкі молекули.
| Нерухомість | Швидкість | Кінетична енергія |
|---|---|---|
| Найбільш вірогідні | \( \sqrt{\dfrac{2k_bT}{m}}\) | \(k_BT\) |
| Середній | \( \sqrt{\dfrac{8k_bT}{\pi m}}\) | \(\dfrac{4k_BT}{\pi}\) |
| Середньо-квадратний | \( \sqrt{\dfrac{3k_bT}{m}}\) | \( \dfrac{3}{2} k_BT\) |
Закон про ідеальний газ
Вираз для середньоквадратичної молекулярної швидкості може бути використаний для того, щоб показати, що кінетична молекулярна модель газів відповідає закону ідеального газу. Розглянемо вираз для тиску
\[ p =\dfrac{N_{tot}m}{3V} \langle v \rangle^2\]
Заміна\(\langle v \rangle^2\) квадратом виразу швидкості середньоквадратичного значення
\[ p = \dfrac{N_{tot}m}{3V} \left( \dfrac{3k_BT}{m}\right)\]
що спрощує
\[ p = \dfrac{N_{tot}k_BT}{V}\]
Відзначимо, що N tot = N∙n A, де n - кількість молів, а N A - число Авогадро
\[ p = \dfrac{nN_Ak_BT}{V}\]
або
\[ pV = nN_Ak_BT\]
Нарешті, зазначивши, що\(N_A∙k_B = R\)
\[ pV = nRT\]
Це свого роду круто, ні? Єдине припущення (поза постулатами кінетичної молекулярної теорії) полягає в тому, що розподіл швидкостей для термізованого зразка газу описується законом розподілу Максвелла-Больцмана. Наступною розробкою буде використання Кінетичної молекулярної теорії для опису молекулярних зіткнень (які є важливими подіями у багатьох хімічних реакціях).
Зіткнення зі стіною
При виведенні виразу для тиску газу корисно розглянути частоту, з якою молекули газу стикаються зі стінками ємності. Щоб вивести цей вираз, розглянемо вираз для «об'єму зіткнення».
\[V_{col} = v_x \Delta t\ \cdot A\]
Всі молекули в межах цього об'єму і зі швидкістю такої, що х-компонент перевищує v x (і є позитивним) будуть стикатися зі стінкою. Ця частка молекул задається
\[ N_{col} = \dfrac{N}{V} \dfrac{\langle v \rangle \Delta t \cdot A}{2}\]
а частота зіткнень зі стіною на одиницю площі в одиницю часу задається
\[Z_w = \dfrac{N}{V} \dfrac{\langle v \rangle}{2}\]
Для того щоб розширити цю модель в більш корисну форму, потрібно враховувати рух у всіх трьох вимірах. Враховуючи, що
\[\langle v \rangle = \sqrt{\langle v_x \rangle +\langle v_y \rangle +\langle v_z \rangle}\]
і що
\[\langle v_x \rangle = \langle v_y \rangle =\langle v_z \rangle\]
можна показати, що
\[ \langle v \rangle = 2 \langle v_x \rangle\]
або
\[ \langle v_x \rangle = \dfrac{1}{2} \langle v \rangle\]
і так
\[Z_w = \dfrac{1}{4} \dfrac{N}{V} \langle v \rangle\]
Фактор N/V часто називають «щільністю числа», оскільки він дає кількість молекул на одиницю об'єму. При тиску 1 атм і 298 К щільність числа для ідеального газу становить приблизно 2,5 х 10 19 молекул/см 3. (Це значення легко обчислюється, використовуючи закон ідеального газу.) Для порівняння, середня щільність чисел для Всесвіту становить приблизно 1 молекулу/см 3.