2.4: Кінетична енергія

Використовуючи вирази для$v_{mp}$$v_{ave}$, або$v_{rms}$, досить просто отримати вирази для кінетичної енергії з виразу

$$E_{kin} = \dfrac{1}{2} mv^2$$

Важливо пам'ятати, що буде відбуватися повний розподіл молекулярних швидкостей в термізованому зразку газу. Деякі молекули будуть подорожувати швидше, а деякі повільніше. Важливо також визнати, що найбільш ймовірні, середні та середньоквадратичні терміни кінетичної енергії, які можуть бути отримані з кінетичної молекулярної теорії, не залежать від маси молекул (табл. 2.4.1). Таким чином, можна зробити висновок, що середня кінетична енергія молекул в термізованому зразку газу залежить тільки від температури. Однак середня швидкість залежить від молекулярної маси. Так, при заданій температурі легкі молекули в середньому будуть подорожувати швидше, ніж більш важкі молекули.

Таблиця 2.4.1: Кінетичні властивості термізованого ансамблю (тобто слідує розподілу Максвелла-Больцмана)

Нерухомість	Швидкість	Кінетична енергія
Найбільш вірогідні	$\sqrt{\dfrac{2k_bT}{m}}$	$k_BT$
Середній	$\sqrt{\dfrac{8k_bT}{\pi m}}$	$\dfrac{4k_BT}{\pi}$
Середньо-квадратний	$\sqrt{\dfrac{3k_bT}{m}}$	$\dfrac{3}{2} k_BT$

Закон про ідеальний газ

Вираз для середньоквадратичної молекулярної швидкості може бути використаний для того, щоб показати, що кінетична молекулярна модель газів відповідає закону ідеального газу. Розглянемо вираз для тиску

$$p =\dfrac{N_{tot}m}{3V} \langle v \rangle^2$$

Заміна$\langle v \rangle^2$ квадратом виразу швидкості середньоквадратичного значення

$$p = \dfrac{N_{tot}m}{3V} \left( \dfrac{3k_BT}{m}\right)$$

що спрощує

$$p = \dfrac{N_{tot}k_BT}{V}$$

Відзначимо, що N _tot = N∙n _A, де n - кількість молів, а N _A - число Авогадро

$$p = \dfrac{nN_Ak_BT}{V}$$

або

$$pV = nN_Ak_BT$$

Нарешті, зазначивши, що$N_A∙k_B = R$

$$pV = nRT$$

Це свого роду круто, ні? Єдине припущення (поза постулатами кінетичної молекулярної теорії) полягає в тому, що розподіл швидкостей для термізованого зразка газу описується законом розподілу Максвелла-Больцмана. Наступною розробкою буде використання Кінетичної молекулярної теорії для опису молекулярних зіткнень (які є важливими подіями у багатьох хімічних реакціях).

Зіткнення зі стіною

При виведенні виразу для тиску газу корисно розглянути частоту, з якою молекули газу стикаються зі стінками ємності. Щоб вивести цей вираз, розглянемо вираз для «об'єму зіткнення».

$$V_{col} = v_x \Delta t\ \cdot A$$

Всі молекули в межах цього об'єму і зі швидкістю такої, що х-компонент перевищує v _x (і є позитивним) будуть стикатися зі стінкою. Ця частка молекул задається

$$N_{col} = \dfrac{N}{V} \dfrac{\langle v \rangle \Delta t \cdot A}{2}$$

а частота зіткнень зі стіною на одиницю площі в одиницю часу задається

$$Z_w = \dfrac{N}{V} \dfrac{\langle v \rangle}{2}$$

Для того щоб розширити цю модель в більш корисну форму, потрібно враховувати рух у всіх трьох вимірах. Враховуючи, що

$$\langle v \rangle = \sqrt{\langle v_x \rangle +\langle v_y \rangle +\langle v_z \rangle}$$

і що

$$\langle v_x \rangle = \langle v_y \rangle =\langle v_z \rangle$$

можна показати, що

$$\langle v \rangle = 2 \langle v_x \rangle$$

або

$$\langle v_x \rangle = \dfrac{1}{2} \langle v \rangle$$

і так

$$Z_w = \dfrac{1}{4} \dfrac{N}{V} \langle v \rangle$$

Фактор N/V часто називають «щільністю числа», оскільки він дає кількість молекул на одиницю об'єму. При тиску 1 атм і 298 К щільність числа для ідеального газу становить приблизно 2,5 х 10 ¹⁹ молекул/см ³. (Це значення легко обчислюється, використовуючи закон ідеального газу.) Для порівняння, середня щільність чисел для Всесвіту становить приблизно 1 молекулу/см ³.