4.1: Короткочасна поведінка

Момент розширення

У главі 2 ми ввели поняття часово-кореляційної функції. Кореляційна функція для оператора\(A(t)\) задається

\[C(t)=\langle A(t) A(0)\rangle=\operatorname{Tr} A(t) A(0) \rho_{e q}\]

Де матриця щільності рівноваги задається

\[\rho_{e q}=\frac{e^{-\beta \mathcal{H}}}{Q}\]

\(\mathcal{Q}\)Ось\(\mathcal{H}\) і Гамільтонова функція і Розділ для системи. Час еволюції\(A\) дається

\[A(t)=e^{i \mathcal{L t}} A(0)\]

або

\[\dot{A}(t)=i \mathcal{L} A(0)\]

\(\mathcal{L}\)Ось оператор, який описує еволюцію часу оператора. Для квантових механічних систем\(\mathcal{L}\) визначається як оператор Ліувіля

\[i \mathcal{L}=\frac{1}{i \hbar}[\ldots, \mathcal{H}]\]

А для класичних систем він визначається як оператор Пуассона.

\[i \mathcal{L}=\{\ldots, \mathcal{H}\}\]

Оператор еволюції\(\mathcal{L}\) - Ерміт,\(\mathcal{L}^{+}=\mathcal{L}\). Про цей оператор буде розглянуто набагато докладніше в розділі 4.2.

Значення кореляційної функції за короткий проміжок часу\(t \rightarrow 0\) можна наблизити за допомогою моментного розширення. Як показано в еквалайзері (4.1), кореляційна функція\(A(t)\) величини задається

\[C(t)=\langle A(t) A(0)\rangle\]

Цю кількість\(C(t)\) можна записати як розширення Тейлора

\[C(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{n}}{n !} C^{(n)}(0)\]

Цю формулу можна спростити, зазначивши, що всі кореляційні функції рівні в часі. В результаті будь-яка непарна похідна\(C(t)\) буде дорівнює нулю при оцінці в\(t=0\). Тому всі непарні терміни цього розширення можна скинути

\[C(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2 n}}{(2 n) !} C^{(2 n)}(0)\]

Похідна кореляційної функції може бути записана як

\[C^{(2 n)}(t)=(-1)^{n}\left\langle A^{(2 n)}(t) A(0)\right\rangle\]

Використовуючи цей вираз, розширення Тейлора можна записати в терміні функції\(A(t)\)

\[C(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n}}{(2 n) !}\left\langle A^{(2 n)}(0) A(0)\right\rangle\]

Цей вираз можна додатково спростити за допомогою визначення\(\left\langle A^{(2 n)}(0) \mid A(0)\right\rangle=-\left\langle A^{(n)}(0) \mid A^{(n)}(0)\right\rangle\), де позначення\(\langle A \mid B\rangle=\left\langle A B^{+}\right\rangle=\operatorname{Tr} A B^{+} \rho_{e q}\)

\[C(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2 n}}{(2 n) !}\left\langle A^{(n)} A^{(n)}\right\rangle\]

У цьому виразі ми стурбовані лише значенням часу 0, і тому\(A(t)\) явна залежність від часу була скинута. Цей вираз можна також отримати, виконавши розширення Тейлора\(A(t)\) та замінивши його на Eq. (4.1). Ми можемо використовувати перетворення Фур'є,\(C(t)\) щоб знайти загальний вираз для\(C_{(2 n)}\). Так як

\[C^{(2 n)}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{C}(\omega) e^{-i \omega t} d t\]

похідні часу можна легко оцінити як

\[C^{(2 n)}=(-1)^{(n)}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^{(2 n)} C(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{C}(\omega) \omega^{2 n} d t=\left\langle\omega^{2 n}\right\rangle\]

У наступних розділах цей метод застосовується до швидкісних кореляційних функцій і функцій саморозсіяння.

Кореляційна функція швидкості та функції саморозсіяння

1. Кореляційна функція швидкості Кореляційна функція швидкості для\(z\) -спрямованого руху частинки визначається як

\[C(t)=\frac{1}{3}\langle\vec{v}(t) \vec{v}(0)\rangle=\langle\dot{z}(t) \dot{z}(0)\rangle\]

Цей вираз можна оцінити за допомогою Eq. (4.2). У короткі терміни значення\(C(t)\) можна розумно наблизити, взявши перші два моменти розширення

\[C(t)=\frac{1}{3}\langle\vec{v} \mid \vec{v}\rangle-\frac{t^{2}}{2} \frac{1}{3}\langle\dot{\vec{v}} \mid \vec{v}\rangle+\cdots\]

Перший момент - це просто середня теплова швидкість в\(z\) -напрямку

\[\frac{1}{3}\langle\vec{v} \mid \vec{v}\rangle=\frac{1}{\beta m}=v_{o}^{2}\]

де\(\beta=\left(k_{B} T\right)^{-1}\). Другий момент можна оцінити за допомогою рівняння Ньютона,\(F=m a\). Так як\(a=\dot{v}\) і\(F=-\nabla U\), де\(U\) знаходиться потенційна енергія,\(\dot{v}=\frac{F}{m}=-\frac{\nabla U}{m}\). Тому другий момент дається

\[\frac{1}{3}\langle\dot{\vec{v}} \mid \dot{\vec{v}}\rangle=\frac{1}{3} \frac{\langle\nabla U \mid \nabla U\rangle}{m^{2}}\]

Щоб оцінити цей вираз, напишіть його в явному вигляді.

\[\frac{1}{3} \frac{\langle\nabla U \mid \nabla U\rangle}{m^{2}}=\frac{1}{3 m^{2}} \int d z \partial_{z} U \partial_{z} U e^{-\beta U}\]

Зауважте, що\(\partial_{z} U e^{-\beta U}=-\frac{1}{\beta} \partial_{z} e^{-\beta U}\). Це дозволяє об'єднати терміни в інтеграл, щоб отримати вираз:

\[\frac{1}{3 m^{2}} \int d z \partial_{z} U\left(\frac{1}{\beta} \partial_{z} e^{-\beta U}\right)\]

Тепер проведіть часткову інтеграцію, щоб отримати вираз:

\[\frac{1}{3 \beta m^{2}} \int d z \partial_{z}^{2} U e^{-\beta U}=\frac{1}{3 \beta m}\left\langle\frac{\partial_{z}^{2} U}{m}\right\rangle\]

Зверніть увагу, що ми довели тут загальну властивість. Для будь-якого оператора\(A\)

\[\langle\nabla U A\rangle=\frac{1}{Q} \int d \mathbf{r} A \nabla U e^{-\beta U}=k_{B} T\langle\nabla A\rangle\]

Показано, що другий член в розширенні пропорційний\(C(t)\) тому\(\left\langle\frac{\partial_{z}^{2} U}{m}\right\rangle\), що кривизна потенціалу усереднена з вагою Больцмана. Цей термін називається частотою Ейнштейна\(\Omega_{o}^{2}\). Це середня частота зіткнення частинок в системі. Для конкретного випадку гармонійного потенціалу це просто частота\(\omega^{2}\). Однак його можна визначити для багатьох типів систем. Просто знайдіть частоту зіткнення для кожної пари частинок у системі та підсумуйте всі пари. Для кореляційної функції швидкості це може бути виражено як

\[\Omega_{o}^{2}=\frac{1}{3 m}\left\langle\nabla^{2} U\right\rangle=\frac{\rho}{3 m} \int d \mathbf{r} g(\mathbf{r}) \nabla^{2} \phi\]

де\(\phi\) - попарний потенціал між кожним набором двох частинок.

Нарешті, ми можемо написати другий момент розширення\(C(t)\) як

\[C(t) \simeq v_{o}^{2}\left(1-\frac{t^{2}}{2} \Omega_{0}^{2}\right)\]

3. Функція самопроміжного розсіяння Метод моментного розширення оцінки короткочасової поведінки кореляційних функцій також може бути застосований до функцій саморозсіяння. У розділі 3 ми ввели самощільність частинки\(i\) як

\[n_{s}(\mathbf{R}, t)=\delta(\mathbf{R}-r(t))\]

Який має перетворення Фур'є

\[n_{s}(\vec{k}, t)=e^{-i \vec{k} \vec{r}(t)}\]

Функція самопроміжного розсіяння визначається як

\[F_{s}(\vec{k}, t)=\left\langle n_{s}(\vec{k}, t) \mid n_{s}(\vec{k}, 0)\right\rangle=\left\langle e^{-i \vec{k} \vec{r}(t)} \mid e^{-i \vec{k} \vec{r}(0)}\right\rangle=\left\langle e^{-i \vec{k}(\vec{r}(t)-\vec{r}(0))}\right\rangle\]

Ми можемо застосувати Eq. (4.2) для оцінки короткочасної поведінки цієї функції. Термін нульового моменту тривіальний для оцінки:

\[C_{0}=F_{s}(\vec{k}, 0)=\left\langle e^{-i \vec{k}(\vec{r}(0)-\vec{r}(0))}\right\rangle=1\]

Термін другого порядку задається

\[C_{2}=\left\langle\omega^{2}\right\rangle=\left\langle\dot{n}_{s} \mid \dot{n}_{s}\right\rangle=\left\langle-i \vec{k} \dot{\vec{r}}(0) e^{-i \vec{k} \vec{r}(0)} \mid-i \vec{k} \ddot{\vec{r}}(0) e^{-i \vec{k} \vec{r}(0)}\right\rangle\]

Це можна спростити до

\[C_{2}=\left\langle(\vec{k} \vec{v}(0))^{2} e^{-i \vec{k}(\vec{r}(0)-\vec{r}(0))}\right\rangle=k^{2} v_{o}^{2}\]

Ми можемо визначити\(\omega_{o}=k v_{o}\), що дає другий момент кореляційної функції

\[C_{2}=\omega_{o}^{2}\]

Четвертий момент цієї кореляційної функції задається

\[C_{4}=\left\langle\omega^{4}\right\rangle=\left\langle\ddot{n}_{s} \mid \ddot{n}_{s}\right\rangle=\left\langle-i \frac{d}{d t}\left(\vec{k} \dot{\vec{r}}(0) e^{-i \vec{k} \vec{r}(0)}\right) \mid-i \frac{d}{d t}\left(\vec{k} \dot{\vec{r}}(0) e^{-i \vec{k} \vec{r}(0)}\right)\right\rangle\]

Оцініть ці похідні за допомогою правила добутку і помножте терміни. Отримане рівняння матиме чотири члени, два з яких скасовують. Решта два терміни

\[C_{4}=(\vec{k} \vec{v})^{4}+\left\langle(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}})^{2}\right\rangle\]

Перший термін - це просто\(3 \omega_{o}^{4}\). Другий член можна оцінити, дотримуючись аналогічного методу, який ми використовували для обчислення другого моменту кореляційної функції швидкості в попередньому розділі. Як ми показали в цій задачі, похідна швидкості\(\vec{v}\) еквівалентна похідній потенціалу, поділеної на масу. Тому цей термін можна записати як

\[\left\langle(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}})^{2}\right\rangle=\frac{1}{m^{2}} k^{2}\left\langle\nabla_{z} V \nabla_{z} V\right\rangle\]

Використовуючи Eq. (4.4), ми можемо переписати цей термін як

\[\frac{1}{m^{2}} k_{B} T k^{2}\left\langle\nabla_{z}^{2} V\right\rangle\]

Нарешті, зробивши деяку перестановку та використання\(v_{o}^{2}=\frac{k_{B} T}{m}\), ми виявляємо, що цей термін можна записати як

\[\frac{k_{B} T}{m} k^{2}\left\langle\frac{\nabla_{z}^{2} V}{m}\right\rangle=k^{2} v_{o}^{2}\left\langle\frac{\nabla_{z}^{2} V}{m}\right\rangle=\omega_{o}^{2} \Omega_{o}^{2}\]

Де\(\Omega_{o}^{2}\) знаходиться частота Ейнштейна, як визначено в попередньому розділі. Тому короткий час розширення\(F_{s}(\vec{k}, t)\),

\[F_{s}(\vec{k}, t)=1-\left\langle\omega^{2}\right\rangle \frac{t^{2}}{2 !}+\left\langle\omega^{4}\right\rangle \frac{t^{4}}{4 !}-\cdots\]

може бути оцінений на

\[F_{s}(\vec{k}, t)=1-\omega_{o}^{2} \frac{t^{2}}{2 !}+\left(3 \omega_{o}^{4}+\omega_{o}^{2} \Omega_{o}^{2}\right) \frac{t^{4}}{4 !}-\cdots\]

4. Межа вільних частинок (Ідеальна рідина) Ми можемо використовувати короткочасне розширення функції самопроміжного розсіювання, щоб знайти вираз для межі\(F_{s}(\vec{k}, t)\) вільних частинок. У межі вільних частинок ми припускаємо, що частинки поводяться як ідеальний газ; тобто немає тяжіння або відштовхування між частинками, а їх потенціал взаємодії дорівнює нулю\(\phi(\vec{r})=0\). Нагадаємо, що частоту Ейнштейна можна записати як (ур. (4.5))

\[\Omega_{o}^{2}=\frac{\rho}{3 m} \int d \vec{r} g(\vec{r}) \nabla^{2} \phi(\vec{r})\]

Тому, якщо потенціал взаємодії дорівнює нулю, частота Ейнштейна також буде дорівнює нулю. Наша експансія для\(F_{s}(\vec{k}, t)\) стає

\[F_{s}(\vec{k}, t)=1-\omega_{o}^{2} \frac{t^{2}}{2 !}+\omega_{o}^{4} \frac{t^{4}}{8}-\cdots\]

Це просто короткий час розширення функції.

\[F_{s}(\vec{k}, t)=e^{-\frac{1}{2} \omega_{o}^{2} t^{2}}\]

Для вільних частинок функція самостійного проміжного розсіювання набуває гаусову форму.

Тільки ідеальні системи можуть бути дійсно описані за допомогою моделі вільних частинок. Однак існує багато реальних систем, які також демонструють цю обмежуючу поведінку. Використовуючи ці результати, ми можемо знайти умову для системи, яка дозволить нам ігнорувати наслідки молекулярних зіткнень. З Eq. (4.6) ми бачимо, що функція розсіювання прийме гаусову форму, коли\(\Omega_{o}^{2}=0\) (ідеальний випадок) або коли\(\omega_{0}^{2} \Omega_{o}^{2}\) досить менший\(3 \omega_{0}^{4}\), ніж це можна ігнорувати. Тому умова ігнорування зіткнень можна записати як

\[\Omega_{o}^{2} \ll 3 \omega_{o}^{2}\]

Використовуючи визначення\(\omega_{o}^{2}\) і\(v_{o}^{2}\) і переставляючи, знаходимо

\[k \gg \frac{\Omega_{o}}{\sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}}\]

Тепер визначте параметр\(l\) як

\[l=\sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}} \Omega_{o}\]

Цей термін дає середню теплову швидкість\(\sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}\), розділену на середню частоту зіткнення\(\Omega_{o}\). Тому його можна інтерпретувати як середній вільний шлях частинок або середню відстань, яку може пройти частинка, перш ніж зазнати зіткнення. З визначенням\(l\) в руці ми можемо переписати

\[k \gg \frac{1}{l}\]

або

\[\lambda \ll l\]

Це вказує на те, що система може оброблятися в межі вільних частинок, коли довжина хвилі або просторовий діапазон, який він використовував для дослідження системи, менше середнього вільного шляху, пройденого частинками. Для подальшого обговорення функцій самопроміжного розсіяння див. Динаміка рідкого стану Умберто Балукані [5].

Колективні властивості

1. Коливання щільності Ми можемо розширити наше попереднє обговорення функції самощільності,\(n_{s}(\vec{r}, t)\) розглянувши функцію щільності\(\rho\), яка є просто сумою функцій самощільності

\[\rho(\vec{r}, t)=\sum_{i} \delta\left(\vec{r}-\vec{r}_{i}(t)\right)\]

Визначимо флуктуацію щільності як

\[\delta \rho(\vec{r}, t)=\rho(\vec{r}, t)-\langle\rho\rangle\]

Перетворення Фур'є флуктуації густини задається

\[\rho_{k}(t)=\sum_{i} e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i}(t)}-(2 \pi)^{3} \delta(\vec{k}) \rho_{o}\]

де\(\rho_{o}=\langle\rho\rangle\). Потім визначаємо проміжну функцію розсіяння як кореляційну функцію\(\rho_{k}(t)\)

\[F(\vec{k}, t)=\frac{1}{N}\left\langle\rho_{k}(t) \mid \rho_{k}(0)\right\rangle=\frac{1}{N}\langle\rho(\vec{k}, t) \mid \rho(-\vec{k}, 0)\rangle\]

Знову ж таки, ми можемо знайти вираз для короткочасної поведінки\(F(\vec{k}, t)\) використання моментного розширення в рівнянні Eq. (4.2). Ми можемо знайти нульовий момент\(F(k, t)\) шляхом підстановки у визначенні\(\rho_{k}(t)\) та вирішенні часу\(t=0\).

\[C_{0}=F(\vec{k}, 0)=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{j} e^{i \vec{k} \vec{r}_{j}(0)} \sum_{i} e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i}(0)}\right\rangle\]

Зауважимо, що при розгляді кореляції частки з собою (тобто коли\(i=j\)), члени в експоненціальних показниках скасуються, даючи значення 1. Підсумовування по всіх\(N\) частинок дає значення N. Тому нульовий момент можна записати як

\[C_{0}=1+\frac{1}{N}\left\langle\sum_{i \neq j} e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle(2 \pi)^{3} \delta(\vec{k}) \rho_{o}\]

де\(\vec{r}_{i j}=\vec{r}_{i}(0)-\vec{r}_{j}(0)\). У главі 3 ми визначили другий термін як\(\rho_{o} g(\vec{r})\)\(g(\vec{r})\), де, функція розподілу пари. Нульовим моментом стає

\[C_{0}=1+\rho_{o} g(\vec{r})-(2 \pi)^{3} \delta(\vec{k}) \rho_{o}=1+\rho_{o} \tilde{h}=S(\vec{k})\]

де\(S(\vec{k})\) - коефіцієнт статичної структури. З термодинаміки ми знаємо, що

\[S(0)=1+\rho_{o} k_{B} T \chi_{T} \leqslant 1\]

де\(\chi_{T}\) - ізотермічна стисливість,

\[\chi_{T}=\frac{1}{\rho_{o}} \frac{\partial \rho}{\partial t}\]

Попарно кореляційні функції виникають з реального простору кореляційної функції Ван Хоува

\[G(\vec{r}, t)=\frac{1}{N}\left\langle\sum_{i, j} \vec{r}(0)-\vec{r}_{i j}(0)\right\rangle-\rho_{o}=\langle\delta \rho(\vec{r}, t) \rho(\vec{r}, 0)\rangle\]

\(t=0\)Згодом функція Ван Хоува стає

\[G(\vec{r}, 0)=\delta(\vec{r})+\rho_{o} h(\vec{r})\]

де\(g=1+h\)

3. Короткочасне розширення У попередньому розділі ми продемонстрували, що нульовий момент\(C_{0}\) короткочасного розширення проміжної функції розсіювання задається статичним структурним коефіцієнтом\(S(\vec{k})\). Тому ми можемо написати

\[F(\vec{k}, t)=S(\vec{k})-\left\langle\omega^{2}\right\rangle \frac{t^{2}}{2 !}+\left\langle\omega^{4}\right\rangle \frac{t^{4}}{4 !}-\cdots\]

Для оцінки другого і четвертого моментів ми розглянемо взаємодії кожної частинки з собою (самочастиною\(i=j\)) окремо від взаємодій кожної частинки з іншими частинками (окремою частиною,\(i \neq j\)). Для оцінки самостійної частини скористайтеся результатами з розділу 2:

\[\begin{aligned} \dot{n}_{k}=\sum_{i=1}^{N}-i\left(\vec{k} \vec{v}_{i}\right) e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i}(t)} \\ \ddot{n}_{k}=\sum_{i=1}^{N}\left[-\left(\vec{k} \vec{v}_{i}\right)^{2}-i\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{i}\right)\right] e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i}(t)} \end{aligned}\]

Тоді ми можемо оцінити другий момент самостійної частини як

\[C_{2}=\left\langle\omega^{2}\right\rangle=\frac{1}{N}\left\langle\dot{n}_{k} \mid \dot{n}_{k}\right\rangle=\left\langle(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}})^{2}\right\rangle=\omega_{o}^{2}\]

Це дає всю цінність другого моменту, оскільки\(i \neq j\) терміни не сприяють. Четвертий момент дається

\[C_{4}=\left\langle\omega^{4}\right\rangle=\frac{1}{N} \sum_{i, j}\left\langle\left[\left(\vec{k} \vec{v}_{i}\right)^{2}\left(\vec{k} \vec{v}_{j}\right)^{2}+i\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{i}\right)\left(\vec{k} \vec{v}_{j}\right)^{2}-i\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{j}\right)\left(\vec{k} \vec{v}_{k}\right)^{2}+\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{i}\right)\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{j}\right)\right] e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle\]

І самостійна частина, і виразна частина сприяють четвертому моменту.

\[C_{4}=\left\langle\omega^{4}\right\rangle=\frac{1}{N}\left[\sum_{i=j}\langle\cdots \cdots\rangle+\sum_{i \neq j}\langle\cdots \cdots\rangle\right]\]

Коли\(i=j\), середні два члени четвертого моменту скасовуються і експоненціальна стає 1. Тому самостійна частина четвертого моменту дається

\[\frac{1}{N}\left\langle(\vec{k} \vec{v})^{4}\right\rangle+\frac{1}{N}\left\langle(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}})^{2}\right\rangle=3 \omega_{o}^{4}+\omega_{o}^{2} \Omega_{o}^{2}\]

Ми можемо оцінити кожен з термінів окремої частини четвертого моменту окремо. Перший термін дається

\[=\frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle\left(\vec{k} \vec{v}_{i}\right)^{2}\left(\vec{k} \vec{v}_{j}\right)^{2} e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle=\left(k^{2} v_{o}^{2}\right)^{2} \frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle=\omega_{o}^{4} \tilde{g} \rho_{o}\]

Другий і третій термін можна об'єднати, щоб дати

\[\begin{aligned} \frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle\left[i\left(\vec{k} \ddot{\vec{v}}_{i}\right)\left(\vec{k} \vec{v}_{j}\right)^{2}-i\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{j}\right)\left(\vec{k} \vec{v}_{k}\right)^{2}\right] e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle \\ \quad=\frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle\left(k v_{o}\right)^{2}\left[\vec{k} \dot{\vec{v}}_{i}-\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{j}\right] e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle \\ \quad=-2 \omega_{o}^{4} \frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle=-2 \omega_{o}^{4} \tilde{g} \rho_{o} \end{aligned}\]

І четвертий термін дає

\[\frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{i}\right)\left(\vec{k} \overrightarrow{\vec{v}}_{j}\right) e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle\]

\[=\frac{k^{2}}{m^{2}} \frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle\nabla_{z i} U \nabla_{z j} U e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle\]

Використовуючи Eq. (4.4), ми можемо записати це як

\[\begin{aligned} \frac{k^{2}}{m^{2}} \frac{1}{N} \sum_{i \neq j}\left\langle\left(-\frac{1}{\beta} \frac{\partial}{\partial z_{i}} \frac{\partial}{\partial z_{j}} U+\frac{k^{2}}{\beta^{2}}\right) e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i j}}\right\rangle \\ =-\omega_{o}^{2} \Omega_{L}^{2}+\omega_{o}^{4} \tilde{g} \rho_{o} \end{aligned}\]

Тоді виразна частина четвертого моменту дається

\[\omega_{o}^{4} \tilde{g} \rho_{o}-2 \omega_{o}^{4} \tilde{g} \rho_{o}+\omega_{o}^{4} \tilde{g} \rho_{o}-\omega_{o}^{2} \Omega_{L}^{2}=-\omega_{o}^{2} \Omega_{L}^{2}\]

де

\[\Omega_{L}^{2}=\frac{1}{m}\left\langle\partial_{z}^{2} \phi e^{-i \vec{k} \vec{z}_{i j}}\right\rangle=\frac{\rho_{o}}{m} \int d \vec{r} e^{-i \vec{k} \vec{z}} \partial_{z}^{2} \phi g(\vec{r})\]

Тому четвертий момент проміжної функції розсіювання задається

\[C_{4}=\left\langle\omega^{4}\right\rangle=3 \omega_{o}^{4}+\omega_{o}^{2} \Omega_{o}^{2}-\omega_{o}^{2} \Omega_{L}^{2}\]

4. Порівняння з самопроміжною функцією розсіювання За результатами попередніх розділів ми можемо записати короткочасне розширення проміжної функції розсіювання як

\[F(\vec{k}, t)=S(\vec{k})-\omega_{o}^{2} \frac{t^{2}}{2 !}+\left[3 \omega_{o}^{2}+\Omega_{o}^{2}-\Omega_{L}^{2}\right] \omega_{o}^{2} \frac{t^{4}}{4 !}-\cdots\]

Ми можемо інтерпретувати\(S(\vec{k})-\omega_{o}^{2} \frac{t^{2}}{2 !}\) як початковий термін розпаду і визначити частоту\(\omega_{L}^{2}=3 \omega_{o}^{2}+\Omega_{o}^{2}-\Omega_{L}^{2}\).

Для порівняння, функція самопроміжного розсіяння задається

\[F_{s}(\vec{k}, t)=1-\omega_{o}^{2} \frac{t^{2}}{2 !}+\left[3 \omega_{o}^{2}+\Omega_{o}^{2}\right] \omega_{o}^{2} \frac{t^{4}}{4 !}-\cdots\]

Як вони порівнюються в довгій межі довжини хвилі\(k \rightarrow 0\)? У короткочасній межі функції розсіювання значною мірою визначатимуться першими членами розширень. Ми бачимо, що як

\[\lim _{k \rightarrow 0} S(\vec{k})=S(0) \leq 1\]

Тому в цій межі функція проміжного розсіювання\(F(\vec{k}, t)\) розпадається повільніше, ніж функція самопроміжного розсіювання\(F_{s}(\vec{k}, t)\).

Поперечний і поздовжній струм Поперечний і поздовжній струм були введені в главі 3, де рівняння Нав'є-Стокса використовувалося для прогнозування швидкості їх розсіювання. Тут ми застосуємо короткочасне розширення до поточних кореляційних функцій, щоб визначити поперечну та поздовжню швидкості звуку та знайти їх поведінку в межі вільних частинок.

Для рецензування поточна визначається як

\[\vec{J}_{k}(t)=\sum_{i} \vec{v}_{i}(t) e^{-i \vec{k} \vec{r}_{i}}\]

Поздовжній струм існує, коли напрямок руху частинок (швидкість) паралельно напрямку поширення хвиль. Для хвиль, що поширюються в z-напрямку, поздовжній струм задається

\[\vec{J}_{L}(k, t)=\sum_{i} \vec{z}_{i}(t) e^{-i \vec{k} \vec{z}_{i}}\]

Поперечний струм існує, коли напрямок руху частинок перпендикулярно напрямку поширення хвиль. Для хвиль, що поширюються в z-напрямку, поперечний струм задається

\[\vec{J}_{T}(k, t)=\sum_{i} \vec{x}_{i}(t) e^{-i \vec{k} \vec{z}_{i}}\]

Подовжня кореляційна функція струму задається

\[C_{L}=\frac{1}{N}\left\langle\vec{J}_{L}(\vec{k}, t) \mid \vec{J}_{L}(\vec{k}, t)\right\rangle\]

А поперечна кореляційна функція струму задається

\[C_{T}=\frac{1}{N}\left\langle\vec{J}_{T}(\vec{k}, t) \mid \vec{J}_{T}(\vec{k}, t)\right\rangle\]

Використовуючи Eq. (4.2), ми можемо записати короткочасне розширення кожної з цих функцій як

\[\begin{aligned} &C_{L}(\vec{k}, t)=v_{o}^{2}\left(1-\omega_{L}^{2} \frac{t^{2}}{2}\right)+\cdots \\ &C_{T}(\vec{k}, t)=v_{o}^{2}\left(1-\omega_{T}^{2} \frac{t^{2}}{2}\right)+\cdots \end{aligned}\]

У довгій довжині хвилі обмежують поперечні і поздовжні\(\omega_{T}\) частоти і\(\omega_{L}\) пов'язані з поперечними і поздовжніми швидкостями звуку по

\[\omega_{\frac{L}{T}}^{2}=k^{2} c_{\frac{L}{T}}^{2}\]

А поперечна і поздовжня швидкості звуку задаються

\[\begin{aligned} &c_{L}^{2}=3 v_{o}^{2}+\frac{\rho_{o}}{2 m} \int d \vec{r} g(\vec{r}) \partial_{z}^{2} \phi \vec{z} \\ &c_{T}^{2}=v_{o}^{2}+\frac{\rho_{o}}{2 m} \int d \vec{r} g(\vec{r}) \partial_{x}^{2} \phi \vec{z} \end{aligned}\]

Тому в довгій межі довжини хвилі,

\[\omega_{L}^{2} \backsim 3 \omega_{T}^{2}\]

6. Межа вільних частинок У межі вільних частинок сили між частинками можна ігнорувати. Потім поздовжня та поперечна кореляційні функції струму задаються

\[\begin{aligned} C_{L}(\vec{k}, t)=\left\langle v_{z}^{2} e^{-i \vec{k} \vec{v}_{z} t}\right\rangle=v_{o}^{2}\left(1-\omega_{o}^{2} t^{2}\right) e^{-\frac{1}{2}\left(\omega_{o} t\right)^{2}} \\ C_{T}(\vec{k}, t)=\left\langle v_{x}^{2} e^{-i \vec{k} \vec{v}_{z} t}\right\rangle=v_{o}^{2} e^{-\frac{1}{2}\left(\omega_{o} t\right)^{2}} \end{aligned}\]

Ми бачимо, що перетворення Фур'є поперечної кореляційної функції\(\tilde{C}_{T}(\vec{k}, \omega)\) є гауссовим, тоді як перетворення Фур'є поздовжньої кореляційної функції\(\tilde{C}_{L}(\vec{k}, \omega)\) має полюси на\(\omega=\)\(\pm \sqrt{2} \omega_{o}\)