24.14: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22121

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

1. Функція розділення\(Z\), для системи\(N\), помітних, невзаємодіючих молекул\(z\) - це\(Z=z^N\), де функція молекулярного розділу\(z=\sum{g_i}{\mathrm{exp} \left({-{\epsilon }_i}/{kT}\right)\ }\),\({\epsilon }_i\) і і\(g_i\) - енергетичні рівні, доступні молекулі та їх виродження. Показати, що термодинамічні функції для системи\(N\) -молекул залежать від функції молекулярного поділу наступним чином:

(а)\(E=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V\)

(б)\(S=NkT{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+Nk{ \ln z\ }\)

(c)\(A=-NkT{ \ln z\ }\)

(г)\(P_{\mathrm{system}}=NkT{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

(е)\(H=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+NkTV{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

(f)\(G=-NkT{ \ln z\ }+NkTV{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

2. Коли кількість доступних квантових станів набагато більше, ніж кількість молекул, функція розділення\(Z\), для системи нерозрізнених\(N\), невзаємодіючих молекул\(z\) є\(Z={z^N}/{N!}\), де молекулярна функція поділу\(z=\sum{g_i}{\mathrm{exp} \left({-{\epsilon }_i}/{kT}\right)\ }\),\({\epsilon }_i\) і \(g_i\)є енергетичні рівні, доступні молекулі та їх виродження. Показати, що термодинамічні функції системи N-молекул залежать від функції молекулярного поділу наступним чином:

(а)\(E=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V\)

(б)\(S=Nk\left[T{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+{ \ln \frac{z}{N}\ }+1\right]\)

(c)\(A=-NkT\left[{\mathrm{1+ln} \frac{z}{N}\ }\right]\)

(г)\(P_{\mathrm{system}}=NkT{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

(е)\(H=NkT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V+NkTV{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\)

(f)\(G=-NkT\left[{\mathrm{1+ln} \frac{z}{N}\ }+V{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial V}\right)}_T\right]\)

3. Функція молекулярного поділу поступального руху ідеального газу

\[z_t= \left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}V\]

Функція розділу для газу\(N\) одноатомних молекул ідеального газу є\(Z={z^N_t}/{N!}\). Покажіть, що термодинамічні функції такі:

(а)\(E=\frac{3}{2}NkT\)

(б)\(S=Nk\left[\frac{5}{2}+{ \ln \frac{z}{N}\ }\right]\)

(c)\(A=-NkT\left[1+{ \ln \frac{z}{N}\ }\right]\)

(г)\(P_{\mathrm{system}}=\frac{NkT}{V}\)

(е)\(H=\frac{5}{2}NkT\)

(f)\(G=-NkT{ \ln \frac{z}{N}\ }\)

4. Знайти\(E\),\(S\),\(A\),,\(H\), і\(G\) за один моль ксенону в\(300\) K і\(1\) бар.

Нотатки

\({}^{1}\)Дані з Довідника з хімії та фізики, 79\({}^{th}\) Вид., Девід Р. Лінде, ред., CRC Press, Нью-Йорк, 1998.