Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

24.10: Вільна енергія Гіббса для одного моля ідеального газу

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    22131

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Під час обговорення ансамблів виявлено, що термодинамічні функції системи можуть бути виражені як функції функції розділення системи. Тепер, коли ми знайшли функцію молекулярного поділу для двоатомної молекули ідеального газу\(Z_{IG}\), ми можемо знайти функцію розділення для газу\(N\) таких молекул. З цієї функції системного розділу ми можемо знайти всі термодинамічні функції для цієї\(N\) -молекули ідеальної газової системи. Ентропія системи, енергія та функція поділу пов'язані один з одним рівнянням

    \[S=\frac{E}{T}+k{ \ln Z\ }_{IG}\]

    Переставляючи, і додаючи\(\left(PV\right)_{\mathrm{system}}\) в обидві сторони, ми знаходимо вільну енергію Гіббса

    \[G=E-TS+\left(PV\right)_{\mathrm{system}}= \left(PV\right)_{\mathrm{system}}-kT \ln Z_{IG}\]

    Для системи одного моля ідеального газу у нас є\(\left(PV\right)_{\mathrm{system}}=\overline{N}kT\). Якщо ідеальний газ двоатомний, ми можемо замінити молекулярні функції розділення, розроблені вище, щоб знайти

    \[ \begin{align*} G_{IG}&=\overline{N}kT-kT \ln Z_{IG} \\[4pt] &=\overline{N}kT-\mathrm{kT ln} \left[\frac{\left(z_t\right)^{\overline{N}}}{\overline{N}!}\right] -\overline{N}kT \ln z_r -\overline{N}kT \ln z_v -\overline{N}kT \ln z_e \\[4pt] &=\overline{N}kT-\overline{N}kT-\overline{N}kT \ln \left[\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}\frac{kT}{P}\right] -\overline{N}kT \ln \left(\frac{8{\pi }^2IkT}{\sigma h^2}\right) -\overline{N}kT \ln \left(\frac{\mathrm{exp} \left(-h\nu/2kT\right)}{1-\mathrm{exp} \left(-h\nu /kT\right)}\right) -\overline{N}kT \ln \left(\frac{D_0}{RT}+\frac{h\nu }{2kT}\right) \end{align*}\]

    Для стандартної вільної енергії Гіббса ідеального газу визначаємо тиск рівним одному бару. Введення цієї умови\(\left(P=P^o=1\ \mathrm{bar}={10}^5\ \mathrm{Pa}\right)\) і подальше спрощення дає

    \[G^o_{IG}=-RT \ln \left[\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}\frac{kT}{P^o}\right] -RT \ln \left(\frac{8{\pi }^2IkT}{\sigma h^2}\right) -RT \ln \left(\frac{\mathrm{exp} \left(-h\nu/2kT\right)}{1-\mathrm{exp} \left(-h\nu /kT\right)}\right)-RT\left(\frac{D_0}{RT}+\frac{h\nu }{2kT}\right)\]

    У такому вигляді послідовні члени представляють відповідно поступальний, обертальний, коливальний і електронний внески в вільну енергію Гіббса. Подальше спрощення призводить до того, що вібраційні та електронні внески від термінів, пов'язаних з\(h\nu /2kT\) скасуванням. Це обчислювальна зручність. Факторинг\(RT\),

    \[G^o_{IG}=-RT\left\{ \ln \left[\left(\frac{2\pi mkT}{h^2}\right)^{3/2}\frac{kT}{P^o}\right] + \ln \left(\frac{8{\pi }^2IkT}{\sigma h^2}\right) - \ln \left(1-\mathrm{exp} \left(-h\nu/kT \right) \right) +\frac{D_0}{RT}\right\}\]