Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

24.5: Функція розділення для газу нерозрізнених, невзаємодіючих, роздільних режимів молекул

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    22150

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми представляємо послідовні рівні молекулярної енергії як\({\epsilon }_i\) і послідовні поступальні, обертальні, коливальні та електронні рівні енергії як\({\epsilon }_{t,a}\),\({\epsilon }_{r,b}\),\({\epsilon }_{v,c}\), і\({\epsilon }_{e,d}\). Тепер перший індекс визначає енергетичний режим; другий визначає рівень енергії. Ми наближаємо послідовні енергетичні рівні двоатомної молекули як

    \[{\epsilon }_1={\epsilon }_{t,1}+{\epsilon }_{r,1}+{\epsilon }_{v,1}+{\epsilon }_{e,1}\]\[{\epsilon }_2={\epsilon }_{t,2}+{\epsilon }_{r,1}+{\epsilon }_{v,1}+{\epsilon }_{e,1}\]

    \[\dots\]\[{\epsilon }_i={\epsilon }_{t,a}+{\epsilon }_{r,b}+{\epsilon }_{v,c}+{\epsilon }_{e,d}\]

    \[\dots\]

    У розділі 22.1 ми знаходимо, що функція розділення для молекули стає

    \[\begin{align*} z&=\sum^{\infty }_{a=1}{\sum^{\infty }_{b=1}{\sum^{\infty }_{c=1}{\sum^{\infty }_{d=1}{g_{t,a}}}}}g_{r,b}g_{v,c}g_{e,d} \times {\mathrm{exp} \left[\frac{-\left({\epsilon }_{t,a}+{\epsilon }_{r,b}+{\epsilon }_{v,c}+{\epsilon }_{e,d}\right)}{kT}\right]\ } \\[4pt] &=z_tz_rz_vz_e \end{align*}\]

    де\(z_t\),\(z_r\)\(z_v\), і\(z_e\) є розділовими функціями для окремих видів руху, які зазнає молекула; вони є сумами над відповідними енергетичними рівнями для молекули. Це, по суті, той самий аргумент, який ми використовуємо в розділі 22.1, щоб показати, що функція розділення для системи\(N\) -молекула є добутком функцій\(N\) молекулярного розділення:

    \[Z=z^N. \nonumber\]

    Тепер ми можемо записати функцію розділення для газу, що містить\(N\) молекули тієї ж речовини. Оскільки молекули газу не відрізняються, ми використовуємо взаємозв'язок

    \[Z_{\mathrm{indistinguishable}}=\frac{1}{N!}z^N=\frac{1}{N!}{\left(z_tz_rz_vz_e\right)}^N\]

    Щоб зробити позначення більш компактним і підкреслити, що ми спеціалізували обговорення на випадок ідеального газу, замінимо «\(Z_{\mathrm{indistinguishable}}\)» на «\(Z_{\mathrm{IG}}\)». Також, визнаючи, що\(N!\) входить у відносини через молекулярну нерозрізненість, а молекулярна нерозрізненість виникає через поступального руху, ми перегрупуємо терміни, пишемо

    \[Z_{\mathrm{IG}}=\left[\frac{{\left(z_t\right)}^N}{N!}\right]{\left(z_r\right)}^N{\left(z_v\right)}^N{\left(z_e\right)}^N\]

    Наша мета - розрахувати термодинамічні властивості ідеального газу. Ці властивості залежать від натурального логарифма функції розділення ідеал-газу. Це сума термінів:

    \[{ \ln Z_{IG}\ }={ \ln \left[\frac{{\left(z_t\right)}^N}{N!}\right]+N{ \ln z_r\ }+N{ \ln z_v\ }+N{ \ln z_e\ }\ }\]

    У нашій розробці класичної термодинаміки нам зручно висловлювати властивості речовини на моль основі. З тих же причин ми зосереджуємося\({ \ln Z_{IG}\ }\) на оцінці одного моля газу; тобто для випадку, коли\(N\) це число Авогадро,\(\overline{N}\). Зараз ми вивчаємо відносини, які дозволяють нам оцінити кожен з цих внесків\({ \ln Z_{IG}\ }\).