Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

22.2: Умови, за яких інтеграли наближаються функції розділення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    21694

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рівняння Больцмана дає рівноважну частку частинок на\(i^{th}\) енергетичному рівні\(\epsilon_i\), як

    \[\frac{N^{\textrm{⦁}}_i}{N}=\frac{g_i}{z}\mathrm{exp}\left(\frac{-\epsilon_i}{kT}\right)\]

    тому частка частинок в енергетичних рівнях менше, ніж\(\epsilon_n\) є

    \[f\left(\epsilon_n\right)=z^{-1}\sum^{n-1}_{i=1}{g_i}\mathrm{exp}\left(\frac{-\epsilon_i}{kT}\right)\]

    де\(z=\sum^{\infty }_{i=1}{g_i}\mathrm{exp}\left({\epsilon_i}/{kT}\right)\). Ми можемо представити будь-яку з цих сум як площу під гістограмою, де висота і ширина кожного стовпчика є\(g_i\mathrm{exp}\left({\epsilon_i}/{kT}\right)\) і одиниця відповідно. Якщо\(g_i\) і\(\epsilon_i\) можуть бути наближені як неперервні функції, ця область може бути наближена як площа під безперервною функцією\(y\left(i\right)=g_i\mathrm{exp}\left({\epsilon_i}/{kT}\right)\). Тобто,

    \[\sum^{n-1}_{i=1}g_i\mathrm{exp}\left(\frac{-\epsilon_i}{kT}\right)\approx \int^n_{i=0}{g_i\mathrm{exp}\left(\frac{-\epsilon_i}{kT}\right)}di\]

    Щоб оцінити цей інтеграл, ми повинні знати, як\(g_i\) і\(\epsilon_i\) залежати від квантового числа,\(i\).

    Розглянемо випадок, в якому\(g_i=1\) і розглянемо обмеження, які\(\epsilon_i\) повинні задовольнити, щоб зробити інтеграл хорошим наближенням до суми. Графічний опис цього випадку намальовано на малюнку 1. З тих пір\(\epsilon_i>\epsilon_{i-1}>0\), у нас є

    \[e^{-\epsilon_{i-1}/kT}-e^{-\epsilon_i/kT}>0\]

    Щоб інтеграл був хорошим наближенням, ми повинні мати

    \[e^{-\epsilon_{i-1}/kT}\gg e^{-\epsilon_{i-1}/kT}-e^{-\epsilon_i/kT}>0,\]

    що означає, що

    \[1\gg 1-e^{-\Delta \epsilon /kT}>0\]

    де\(\Delta \epsilon =\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). Тепер,

    \[e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots\]

    так що наближення буде хорошим, якщо

    \[1\gg 1-\left(1-\frac{\Delta \epsilon }{kT}+\dots \right)\]або\[1\gg \frac{\Delta \epsilon }{kT}\] або\[kT\gg \Delta \epsilon\]

    Ми можемо бути впевнені, що інтеграл є хорошим наближенням до точної суми, коли є багато пар енергетичних рівнів,\(\epsilon_i\) і\(\epsilon_{i-1}\), які задовольняють умові

    \[\Delta \epsilon =\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\ll kT.\]

    Якщо є багато енергетичних рівнів, які задовольняють\(\epsilon_i\ll kT\), обов'язково є багато інтервалів\(\Delta \epsilon\), які задовольняють\(\Delta \epsilon \ll kT\). Коротше кажучи, якщо велика кількість енергетичних рівнів системи задовольняє критерію\(\epsilon \ll kT\), ми можемо використовувати інтеграцію для наближення сум, які з'являються у рівнянні Больцмана. У розділі 24.3 ми використовуємо цей підхід та енергетичні рівні для частинки в коробці, щоб знайти функцію розділення для ідеального газу.