19.5: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22219

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

1. Ліланд отримав набір поїздів на Різдво. Він прийшов з сімома залізничними вагонами. (Ми говоримо, що всі сім автомобілів «помітні».) Чотири з залізничних вагонів - коробчасті вагони, а три - цистерни. Якщо ми розрізняємо перестановки, в яких коробкові автомобілі з'єднані (вишикувалися) по-різному, але не між перестановками, в яких цистерни з'єднані по-різному, скільки способів сім автомобілів можуть бути з'єднані так, щоб всі цистерни були разом? Які вони бувають? Яку формулу ми можемо використовувати для обчислення цього числа?

(Підказка: Ми можемо представити одну з можливостей як\(b_1b_2b_3b_4T\). Це одна з можливостей, при якій перші чотири машини за двигуном - це всі коробчасті автомобілі. Є\(4!\) такі можливості; тобто\(4!\) можливі перестановки для розміщення чотирьох коробкових вагонів.)

2. Якщо ми не дбаємо про порядок, в якому коробкові вагони з'єднані, і ми не дбаємо про порядок, в якому цистерни з'єднані, скільки способів можуть залізничні вагони в проблемі 1 бути з'єднані так, що всі цистерни разом? Які вони бувають? Яку формулу ми можемо використовувати для обчислення цього числа?

3. Якщо розрізняти перестановки, в яких або коробкові вагони або цистерни в проблемі 1 впорядковані по-різному, скільки способів залізничні вагони можуть бути з'єднані так, щоб всі цистерни були разом? Яку формулу ми можемо використовувати для обчислення цього числа?

4. Скільки способів можуть бути з'єднані всі сім залізничних вагонів у проблемі 1, якщо цистерни не повинні бути разом?

5. Якщо, як і в попередній проблемі, ми розмежовуємо перестановки, в яких будь-який з залізничних вагонів впорядкований по-різному, скільки шляхів можуть бути з'єднані залізничні вагони, щоб не всі цистерни були разом?

6. Якщо ми розрізняємо коробкові вагони та цистерни, але ми не відрізнимо одну коробку від іншого коробкового вагона, і ми не відрізнимо один вагон-цистерна від іншого вагона-цистерни, скільки способів можуть бути з'єднані залізничні вагони в проблемі 1?

7. Якщо Ліланд отримає п'ять плоских автомобілів на свій день народження, у нього буде чотири коробкові машини, три вагони-цистерни та п'ять плоских автомобілів. Скільки способів Leland зможе з'єднати (переплутати) ці дванадцять залізничних вагонів?

8. Якщо ми розрізняємо коробкові вагони та цистерни, між коробковими вагонами та плоскими вагонами, а також між вагонами цистернами та плоскими автомобілями, але ми не відрізняємо одну коробку від іншого вагона-цистерни, і ми не відрізняємо один вагон-цистерна від іншого вагона-цистерни, і ми не відрізняємо один плоский автомобіль від іншого плоского автомобіля, скільки шляхи можуть бути пов'язані залізничні вагони в проблемі сім? Яку формулу ми можемо використовувати для обчислення цього числа?

9. Нам дають чотири помітні мармуру, марковані\(A--D\), і дві чашки, марковані\(1\) і\(2\). Ми хочемо вивчити кількість способів, якими ми можемо покласти два кульки в чашку\(1\) та два кульки в чашку\(2\). Це кількість комбінацій,\(C\left(2,2\right)\), для набору населення\(N_1=2\),\(N_2=2\).

(а) Одна комбінація є\({\left[AB\right]}_1{\left[CD\right]}_2\). Знайдіть інші комбінації. Що таке\(C\left(2,2\right)\)?

(б) Існує чотири перестановки для комбінації, наведеної в (а):\(\ {\left[AB\right]}_1{\left[CD\right]}_2\);\({\left[BA\right]}_1{\left[CD\right]}_2\);\({\left[AB\right]}_1{\left[DC\right]}_2\);\({\left[BA\right]}_1{\left[DC\right]}_2\). Знайдіть всі перестановки для кожної з решти комбінацій.

(d) Запишіть всі можливі перестановки мармуру\(A--D\). Показати, що існує відповідність один до одного з перестановками в (b).

(e) Показати, що загальна кількість перестановок дорівнює кількості комбінацій на кількість перестановок, можливих для кожної комбінації.

10. Нам дають сім помітних мармурів, маркованих\(A--G\), і дві чашки, марковані\(1\) і\(2\). Ми хочемо, щоб знайти кількість способів, ми можемо покласти три кульки в чашку\(1\) і чотири кульки в чашку\(\ 2\). Тобто ми шукаємо\(C\left(3,4\right)\), кількість комбінацій, в яких\(N_1=3\) і\(N_2=4\). \({\left[ABC\right]}_1{\left[DEFG\right]}_2\)є одним з таких комбінацій.

(а) Скільки різних способів ці кульки можуть бути розміщені в різних порядках, не обмінюючись жодним мармуром між чашкою\(1\) та чашкою\(2\)? (Це кількість перестановок, пов'язаних з цією комбінацією.)

(б) Знайти іншу комбінацію з\(N_1=3\) і\(N_2=4\).

(c) Скільки перестановок можливі для мармуру в (b)? Скільки перестановок можливо для будь-якої комбінації з\(N_1=3\) і\(N_2=4\)?

(d) Якщо\(C\left(3,4\right)\) кількість комбінацій, в яких\(N_1=3\) і\(N_2=4\), і якщо\(P\) кількість перестановок для кожної такої комбінації, то яка загальна кількість перестановок можлива для 7 кульок?

(e) Як ще можна висловити кількість перестановок, можливих для 7 мармурів?

(f) Прирівняти свої висновки в (d) і (e). Знайти\(C\left(3,4\right)\).

11.

(а) Обчисліть ймовірності 0, 1, 2, 3 та 4 голів у серії з чотирьох кидків неупередженої монети. Подія 2 керівників є\(\ 20\%\) цими п'ятьма подіями. Особливо зверніть увагу на ймовірність події: 2 голови в 4 кидання.

(b) Обчисліть ймовірності 0, 1, 2, 3,..., 8 та 9 голів у серії з дев'яти кидків неупередженої монети. З цих десяти випадків складають\(20\%\) події 4 керівників та 5 керівників. Обчисліть ймовірність 4 голів або 5 голів; тобто ймовірність опинитися в середині\(20\%\) можливих подій.

(c) Обчисліть ймовірності 0, 1, 2, 3,..., 13 та 14 голів у серії з чотирнадцяти кидків неупередженої монети. Події 6 керівників, 7 голів та 8 голів складають 20% з цих п'ятнадцяти випадків. Обчисліть ймовірність 6, 7 або 8 голів; тобто ймовірність опинитися в середині\(20\%\) можливих подій.

(d) Що відбувається з ймовірностями для середини\(20\%\) можливих подій, оскільки кількість кидків стає дуже великою? Як це пов'язано з головами фракцій в серії кидків, коли загальна кількість кидків стає дуже великим?

12. Нехай значення кінцевих голів дорівнює одиниці, а значення кінцевих хвостів дорівнює нулю. Нехай «оцінка» від конкретного одночасного кидання\(n\) монет буде

\[\mathrm{score}=1\times \left(\frac{number\ of\ heads}{number\ of\ coins}\right)\ +0\times \left(\frac{number\ of\ tails}{number\ of\ coins}\right)\]

Позначимо розподіл балів від кидань\(n\) монет як «\(S_n\)розподіл».

(а)\(S_1\) Розподіл включає два результати:\(\mathrm{\{}\) 1 голова, 0 хвіст\(\mathrm{\}}\) і\(\mathrm{\{}\) 0 голова, 1 хвіст\(\mathrm{\}}\).

Яке середнє значення\(S_1\) дистрибутива?

(b) Яка дисперсія\(S_1\) розподілу?

(d) Яка дисперсія\(S_n\) розподілу?

13. П'ятдесят неупереджених монет підкидаються одночасно.

(а) Обчисліть ймовірність 25 голів і 25 хвостів.

(б) Обчисліть ймовірність 23 голів і 27 хвостів.

(в) Обчисліть ймовірність 3 голів і 47 хвостів.

(d) Обчисліть співвідношення ваших результатів для частин (a) і (b).

(e) Обчисліть співвідношення ваших результатів для частин (a) і (c).

14. Для\(N=3,\ 6\) і\(10\), розрахувати\(\)

(а) Точне значення\(N!\)

(б) Значення\(N!\) відповідно до наближення\[N!\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(-N\right)\mathrm{exp}\left(\frac{1}{12N}\right)\]

(г) Значення N! відповідно до наближення\[N!\approx N^N\mathrm{exp}\left(-N\right)\]

(е) Відношення значення в (b) до відповідного значення в (а).

(f) Відношення значення в (c) до відповідного значення в (а).

(g) Відношення значення в (d) до відповідного значення в (а).

(h) Коментар.

15. Знайти,\(d ~ \ln N! /dN\) використовуючи кожне з наближень\[N!\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2} \mathrm{exp}\left(-N\right)\mathrm{exp}\left(\frac{1}{12N}\right)\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2} \mathrm{exp}\left(-N\right)\approx N^N\mathrm{exp}\left(-N\right)\]

Як отримані наближення для\(d ~ \ln N! /dN\) порівняння один з одним\(N\) стають дуже великими?

16. Існує три енергетичних рівня, доступних для будь-якої однієї молекули в кристалі речовини. Розглянемо кристал, що містить\(1000\) молекули. Ці молекули помітні тому, що кожна займає унікальну ділянку в кристалічній решітці. Скільки комбінацій (мікростанів) пов'язано з сукупністю населення\(N_1=800\),\(N_2=150\),\(N_3=50\)?