19.4: Наближення Стірлінга

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22213

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Поліноміальний коефіцієнт,\(C\), є функцією факторіалів великих чисел. Оскільки\(N!\) швидко стає дуже великим у міру\(N\) збільшення, часто недоцільно оцінювати\(N!\) з визначення,

\[N!=\left(N\right)\left(N-1\right)\left(N-2\right)\dots \left(3\right)\left(2\right)\left(1\right)\]

На щастя, доступне наближення, відоме як формула Стірлінга або наближення Стірлінга. Наближення Стірлінга є добутком факторів. Залежно від застосування та необхідної точності один або два з цих факторів часто можна прийняти за єдність. Наближення Стірлінга є

\[N!\approx N^N \left(2\pi N\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(-N\right)\mathrm{exp}\left(\frac{1}{12N}\right)\approx N^N\left(2\pi N\right)^{1/2}\mathrm{exp}\left(-N\right)\approx N^N\mathrm{exp}\left(-N\right)\]

У багатьох статистичних термодинамічних аргументах важливою величиною є натуральний логарифм\(N!\) або його похідна,\({d ~ { \ln N!\ }}/{dN}\). У таких випадках остання версія наближення Стірлінга зазвичай адекватна, хоча вона дає досить погане наближення для\(N!\) себе.