19.3: Розподіл результатів для декількох випробувань з багатьма можливими результатами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22214

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тепер легко розширити наші результати на кілька випробувань з будь-якою кількістю результатів. Нехай результати будуть\(A\),,\(B\)\(C\),...,,\(Z\),, для яких ймовірності в одному випробуванні\(P_A\),\(P_B\),\(P_C\),...\(P_Z\). Ми знову хочемо написати рівняння для загальної ймовірності після\(n\) випробувань. Ми дозволяємо\(n_A\),,\(n_B\),...\(n_Z\) бути кількістю\(n_C\),,,,,\(A\),,,,,,\(B\),\(C\),,,,,,\(Z\),,,,,,,,\(n_A+n_B+n_C+...+n_Z=n\) Якщо нас не хвилює порядок отримання результатів, ймовірність,,,,,,,,,,,,,,,,,,\(n_A\),,,,,\(n_B\),\(n_C\),,,,,,,,,,,,\(n_Z\)\(n\)

\[C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

і загальна сума ймовірності дорівнює

\[1={\left(P_A+P_B+P_C+\dots +P_Z\right)}^n=\sum_{n_I}{C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z}\]

де підсумовування має здійснюватися по всіх комбінаціях цілочисельних значень для\(n_A\),\(n_B\),\(n_C\),...,\(n_Z\) узгоджених з\(n_A+n_B+n_C+...+n_Z=n\).

Нехай один з термінів для\(n_A\)\(A\) -результати,\(n_B\)\(B\) -результати,\(n_C\)\(C\) -результати,...,\(n_Z\)\({}_{\ }\)\(Z\) -результати, бути

\[\left(P_{A,a}P_{A,b}\dots P_{A,f}\right)\left(P_{B,g}P_{B,h}\dots P_{B,m}\right)\times \left(P_{C,p}P_{C,q}\dots P_{C,t}\right)\dots \left(P_{Z,u}P_{Z,v}\dots P_{Z,z}\right)\]

де є\(n_A\) індекси в множині\(\{a,\ b,\ \dots ,\ f\}\),\(n_B\) індекси в множині\(\{g,\ h,\ \dots ,\ m\}\),\(n_C\) індекси в множині\(\{p,\ q,\ \dots ,\ t\}\),..., і\(n_Z\) індекси в множині\(\{u,\ v,\ \dots ,\ z\}\). Є\(n_A!\) способи впорядкувати\(A\) результати,\(n_B!\) способи впорядкувати\(B\) -результати,\(n_C!\) способи впорядкувати\(C\) -результати,..., і\(n_Z!\) способи впорядкувати\(Z\) -результати. Отже, є\(n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\) способи замовити\(n_A\)\(A\) -результати,\(n_B\)\(B\) -результати,\(n_C\)\(C\) - результати,... та\(n_Z\)\(Z\) -результати. Те ж саме справедливо і для будь-якої іншої помітної комбінації; для кожної помітної комбінації\(\{n_A\),\(n_B\) що належить до сукупності населення,,,...,\(n_Z\}\) існують\(n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\) невиразні перестановки.\(n_C\) Знову ж таки, ми можемо висловити цей результат як загальний зв'язок:

загальна кількість перестановок = (кількість помітних комбінацій)\({}_{\ }\)\({}_{\times }\) (кількість нерозрізнених перестановок для кожної помітної комбінації)

щоб

\[n!=n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\]

і\[C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)=\frac{n!}{n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!}\]

Аналогічно, ми можемо побудувати суму\(T\), в якій ми складаємо всі\(n!\) перестановки\(P_{A,a}\) факторів для\(n_A\)\(A\) -результатів,\(P_{B,b}\) факторів для\(n_B\)\(B\) -результатів,\(P_{C,c}\) факторів для\(n_C\)\(C\) -результатів,..., і \(P_{Z,z}\)фактори для\(n_Z\)\(Z\) -результатів. Значення кожного члена в\(T\) буде\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\). Отже, у нас є

\[T=n!P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

\(T\)буде містити всі\(C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\)\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) -цінні продукти (помітні комбінації), які є частиною загальної ймовірності суми. Крім того,\(T\) буде також включати всі\(n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\) невиразні перестановки кожного з цих\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) -цінних продуктів. Тоді у нас також є

\[T=n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\]\[\times P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

Прирівнювання цих двох виразів для\(\ T\) дає нам кількість\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) -цінних продуктів

\[n!P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z=n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!\]\[\times C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\]

і, отже,

\[C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)=\frac{n!}{n_A!n_B!n_C!\dots n_Z!}\]

В особливому випадку\(P_A=P_B=P_C=\dots =P_Z\), що всі продукти\(P^{n_A}_AP^{n_B}_BP^{n_C}_C\dots P^{n_Z}_Z\) мають однакову цінність. Тоді, ймовірність будь-якого набору результатів\(\{n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\}\), пропорційна\(C\left(n_A,n_B,n_C,\dots ,n_Z\right)\).