Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.2: Метод поділу змінних

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18213

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Більшість PDE, з якими ви зіткнетеся у фізичній хімії, можна вирішити за допомогою методу під назвою «поділ змінних». Ми наведемо приклад методу, вирішивши найпростіший PDE: Рівняння Лапласа в двох вимірах:

    \[\label{eq:pde5} \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0\]

    Розв'язки рівняння Лапласа важливі у багатьох галузях науки, включаючи електромагнетизм, астрономію та динаміку рідини.

    поділ змінних кроків

    Наступні кроки підсумовують все, що ми зробили, щоб знайти рішення:

    1. Припустимо, що розв'язання диференціального рівняння можна виразити у вигляді добутку функцій кожної зі змінних.
    2. Групуйте терміни, які залежать від кожної з незалежних змінних (в даному випадку\(x\) і\(y\)).
    3. Визначте терміни, яким потрібно зрівняти константи.
    4. Вирішіть ОДУ (не забувайте про константи інтеграції!)
    5. Складіть все воєдино. Ваша відповідь матиме одну або кілька констант, які в кінцевому підсумку будуть визначені з граничних умов.

    Крок 1

    Першим кроком у методі поділу змінних є припущення, що рішення диференціального рівняння\(f(x,y)\), в даному випадку, може бути виражено як добуток функції\(x\) разів на функцію\(y\).

    \[f(x,y)=X(x)Y(y) \label{eq1}\]

    Не плутайте з номенклатурою. Ми використовуємо нижній регістр для позначення змінної, а верхній регістр - для позначення функції. Ми могли б написати рівняння\ ref {eq1} як

    \[f(x,y)=h(x)g(y)\]

    Крок 2

    На другому кроці підставляємо\(f(x,y)\) в Рівняння\ ref {eq:pde5} рівнянням\ ref {eq1}:

    \[\dfrac{\partial X(x)Y(y)}{\partial x}+\dfrac{\partial X(x)Y(y)}{\partial y}=0\]

    \[\label{eq:pde7} Y(y)\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}+X(x)\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}=0\]

    Крок 3

    Третій крок передбачає реорганізацію членів Equation\ ref {eq:pde7} так що всі терміни в\(x\) і\(y\) згруповані разом. Універсального методу для цього кроку не існує. У цьому прикладі ми розділимо змінні, розділивши всі члени на\(X(x)Y(y)\), але в цілому вам потрібно буде розібратися, як відокремити змінні для конкретного рівняння, яке ви вирішуєте:

    \[\label{eq:pde8} \dfrac{1}{X(x)}\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}+\dfrac{1}{Y(y)}\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}=0\]

    Крок 4

    На четвертому кроці ми визнаємо, що Equation\ ref {eq:pde8} є сумою двох членів (було б три, якби ми розв'язували задачу в 3-х вимірах), і кожен член залежить тільки від однієї змінної. У цьому випадку перший член є функцією\(x\) тільки, а другий термін - функція\(y\) тільки. Як ми можемо додати щось, що залежить\(x\) тільки від того, що залежить\(y\) тільки від і отримати нуль? Це звучить неможливо, оскільки терміни в\(x\) ніколи не скасують терміни в\(y\) 1.

    Єдиний спосіб змусити Equation\ ref {eq:pde8} утримувати будь-яке значення\(x\) і\(y\) полягає в тому, щоб примусити кожну суму бути константою. Термін\(\dfrac{1}{X(x)}\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}\) не може бути функцією\(x\), і термін\(\dfrac{1}{Y(y)}\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}\) не може бути функцією\(y\):

    \[\label{eq:pde9a} \dfrac{1}{X(x)}\dfrac{\partial X(x)}{\partial x}=K_1\]

    \[\label{eq:pde9b} \dfrac{1}{Y(y)}\dfrac{\partial Y(y)}{\partial y}=K_2\]

    Цей крок перетворює PDE в два ODE. Загалом, у нас буде одна ОДА для кожної незалежної змінної. У цьому конкретному випадку, тому що два терміни потрібно скласти до нуля, ми маємо\(K_1=-K_2\).

    Крок 5

    На п'ятому кроці вирішуємо 2 ОДУ за допомогою методів, які ми дізналися в попередніх розділах. Ми отримаємо\(X(x)\) з Рівняння\ ref {eq:pde9a} і\(Y(y)\) з Рівняння\ ref {eq:pde9b}. Обидва розв'язки міститимуть довільні константи, які ми будемо оцінювати за допомогою початкових або граничних умов, якщо задано. У цьому випадку два рівняння математично ідентичні і є відокремлюваними звичайними диференціальними рівняннями 1-го порядку. Рішення (які ви повинні мати можливість отримати самостійно):

    \[X(x)=Ae^{K_1x}\]

    \[Y(y)=Be^{-K_1y}\]

    Крок 6

    На кроці 6 ми об'єднаємо однозмінні розв'язки для отримання багатозмінного рішення, яке ми шукаємо (Equation\ ref {eq1}):

    \[f(x,y)=X(x)Y(y)=Ae^{K_1x}Be^{-K_1y}=Ce^{K_1(x-y)}\]

    де\(C\) константа.

    Ми завжди повинні закінчувати, перевіряючи, що наша відповідь дійсно задовольняє PDE, який ми намагалися вирішити:

    \[\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0\]

    \[\begin{align*} f(x,y) &=Ce^{K_1(x-y)}\rightarrow \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=CK_1e^{K_1(x-y)} \\[4pt] \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y} &=-CK_1e^{K_1(x-y)}\rightarrow \dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0 \end{align*}\]