1.2: Властивості оператора та математичні групи

Обернене значення A (визначається як (A) ^—1) дорівнює B, якщо A ⋅ B = E

Для кожної з п'яти операцій симетрії:

\(( E )^{-1}= E \Longrightarrow( E )^{-1} \cdot E = E \cdot E = E\)
\((\sigma)^{-1}=\sigma \Longrightarrow(\sigma)^{-1} \cdot \sigma=\sigma \cdot \sigma= E\)
\((i)^{-1}=i \Longrightarrow(i)^{-1} \cdot i=i \cdot i=E\)
\(\left(C_{n}^{m}\right)^{-1}=C_{n}^{n-m} \Longrightarrow\left(C_{n}^{m}\right)^{-1} \cdot C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m} \cdot C_{n}^{m}=C_{n}^{n}=E\)
напр.,\(\left(C_{5}^{2}\right)^{-1}=C_{5}^{3}\) так як\(C_{5}^{2} \cdot C_{5}^{3}=E\)
\(\left(S_{n}^{m}\right)^{-1}=S_{n}^{n-m}(n \text { even }) \Longrightarrow\left(S_{n}^{m}\right)^{-1} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{n-m} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{n}=C_{n}^{n} \cdot \sigma_{h}^{n}=E\)
\(\left(S_{n}^{m}\right)^{-1}=S_{n}^{2 n-m}(n \text { odd }) \Longrightarrow\left(S_{n}^{m}\right)^{-1} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{2 n-m} \cdot S_{n}^{m}=S_{n}^{2 n}=C_{n}^{2 n} \cdot \sigma_{h}^{2 n}=E\)

Два оператори коммутують, коли A ⋅ B = B ⋅ A

Приклад: Чи комутують C ₄ (z) та σ (xz)?

... або аналізуючи за допомогою матричних уявлень,

\(\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

C ₄ (z) ⋅ σ _хз = σ _д '

Тепер застосовуючи операції в зворотному порядку,

... або аналізуючи за допомогою матричних уявлень,

\(\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

σ _xz ⋅ С ₄ (z) = σ _д

\ begin {рівняння}
\ отже\ quad C_ {4} (z)\ сигма (x z) =\ сигма_ {d} ^ {\ прайм}\ neq\ сигма (x z) C_ {4} (z) =\ сигма_ {d}\ текст {так} C_ {4} (z)\ текст {не коммутує з}\ сигма (x z)
\ end {рівняння}

Сукупність операцій являє собою математичну групу, коли виконуються такі умови:

• закриття: всі бінарні продукти повинні бути членами групи
• identity: група повинна містити оператор ідентичності
• inverse: кожен оператор повинен мати зворотний
• асоціативність: асоціативний закон множення повинен дотримуватися\[(A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C\]

(Примітка: комутація не потрібна... групи, в яких всі оператори їздять на роботу, називаються абелевськими)

Розглянемо оператори C ₃ і σ _v. Вони не є групою, оскільки критерій ідентичності не задовольняється. Чи утворюють Е, С ₃, σ _v групу? Для вирішення цього питання буде використана стереографічна проекція (за участю критичних операторів):

Так як щодо закриття?

C ₃ ⋅ C ₃ = C ₃ ² (тому С ₃ ² потрібно включити в групу)

Таким чином E, C ₃ і σ _v не замкнуті і, отже, ці оператори не утворюють групи. Чи достатньо додавання C ₃ ² і σ _v 'для визначення групи? Іншими словами, чи існують інші оператори, які генеруються C ₃ і σ _v?

... правильна вісь обертання, C ₃:

\(C_{3}\)
\(C _{3} \cdot C _{3}= C _{3}^{2}\)
\(C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= C _{3}^{2} \cdot C _{3}= C _{3} \cdot C _{3}^{2}= E\)
\(C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= E \cdot C _{3}= C _{3}\)

і т.д.

\(\therefore C _{3}\)є генератором\(E , C _{3}\) і\(C _{3}^{2}\), зверніть увагу: ці три оператори утворюють групу

... для площини відбиття, σ _v

_{\(\sigma_{v}\)
\(\sigma_{v} \cdot \sigma_{v}=E\)
\(\sigma_{v} \cdot \sigma_{v} \cdot \sigma_{v}=E \cdot \sigma_{v}=\sigma_{v}\)}

тощо.
тому ми не отримуємо ніякої нової інформації тут. Але є більше інформації, яку потрібно отримати при розгляді C ₃ і σ _v. Вже бачили, що C ₃ ⋅ σ _v = σ _v '... як щодо σ _v ⋅ C ₃

Буде виявлено, що нові оператори не можуть бути створені. Більше того, один знаходить

\(\begin{array}{ccccccc} & E ^{-1} & C _{3}^{-1} & \left( C _{3}^{2}\right)^{-1} & \sigma_{ v }^{-1} & \left(\sigma_{ v }^{\prime}\right)^{-1} & \left(\sigma_{ v }^{\prime \prime}\right)^{-1} \\ \text {inverses } & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ & E & C _{3}^{2} & C _{3} & \sigma_{ v } & \sigma_{ v }^{\prime} & \sigma_{ v }^{\prime \prime}\end{array}\)

Вищевказана група є замкнутою, тобто містить оператор ідентичності та відповідає умовам зворотної та асоціативності. Таким чином, вищевказана множина операторів становить математичну групу (зверніть увагу, що група не є абелевою).

Деякі визначення:

Оператори C ₃ і σ _v називаються генераторами для групи, оскільки кожен елемент групи може бути виражений як добуток цих операторів (і їх зворотні).

Порядок групи, позначений h, - це кількість елементів. У наведеному вище прикладі h = 6.

Групи, визначені одним генератором, називаються циклічними групами.

Приклад: С ₃ → Е, С ₃, С ₃ ²

Як говорилося вище, Е, С ₃ і С ₃ ² відповідають умовам групи, утворюють циклічну групу. Причому ці три оператори є підгрупою E, C ₃, C ₃ ², σ _v, σ _v ', σ _v». Порядок підгрупи повинен бути дільником порядку її батьківської групи. (Приклад h _{підгрупи} = 3, h _група = 6... дільник 2.)

Перетворення подібності визначається як: v ^-1 ⋅ A ⋅ σ = B, де B позначається перетворення подібності A на x, а A і B є кон'югатами один одного. Повний набір операторів, які є сполученими один з одним, називається класом групи.

_{Визначимо класи групи, визначеної E, C 3, C 3, ², σ v, σ v ', σ v»... аналізу сприяє побудова таблиці множення}

\ [\ почати {масив} {l|llllll}
& E & C _ {3} & C _ {3} ^ {3} ^ {2} &\ сигма_ {v} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм\ прайм}\
\ hline E & E & C _ {3} & C _ {3} ^ {2} сигма_ {v} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм\ прайм}\\
C _ {3} & C _ {3} & C _ {3} ^ {2} & E &\ сигма {v} ^ {\ прайм} &\ сигма {v} ^ {\ прайм\ прайм} &\ сигма_ {v}\\
C _ {3} ^ {2} & C _ {3} ^ {2} & E & C _ {3} v} ^ {\ прайм\ прайм} &\ сигма_ {v} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм}\
\ сигма_ {v} &\ сигма_ {v} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм\ прайм} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм} & E & C _ {3} ^ {2} & C _ {3}\\ сигма_ {v} ^ {\ прайм} &\ сигма_ {v}} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм\ прайм} & C _ {3} & E & C _ {3} ^ {2}\
\
сигма_ {v} ^ {\ прайм\ прайм} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм\ прайм} &\ сигма_ {v} ^ {\ прайм} &\ сигма_ {v} & C _ {3} ^ {2} & C _ {3} & E
\ кінець {масив}\]

може легко конструювати за допомогою стереографічних проекцій

\(E ^{-1} \cdot C _{3} \cdot E = E \cdot C _{3} \cdot E = C _{3}\)
\(C _{3}^{-1} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= C _{3}^{2} \cdot C _{3} \cdot C _{3}= E \cdot C _{3}= C _{3}\)
\(\left( C _{3}^{2}\right)^{-1} \cdot C _{3} \cdot C _{3}^{2}= C _{3} \cdot C _{3} \cdot C _{3}^{2}= C _{3} \cdot E = C _{3}\)
\(\sigma _{ v }^{-1} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }=\sigma_{ v } \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }=\sigma_{ v } \cdot \sigma_{ v }^{\prime}= C _{3}^{2}\)
\(\left(\sigma_{ v }^{\prime}\right)^{-1} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime}=\sigma_{ v }^{\prime} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime}=\sigma_{ v }^{\prime} \cdot \sigma_{ v }^{\prime \prime}= C _{3}^{2}\)
\(\left(\sigma_{ v }^{\prime \prime}\right)^{-1} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime \prime}=\sigma_{ v }^{\prime \prime} \cdot C _{3} \cdot \sigma_{ v }^{\prime \prime}=\sigma_{ v }^{\prime \prime} \cdot \sigma_{ v }= C _{3}^{2}\)

⋅ С ₃ і С ₃ ² з класу

Виконання подібного аналізу на σ _v дозволить виявити, що σ _v, σ _v 'і σ _v» утворюють клас, а Е знаходиться в класі сам по собі. Таким чином, виділяють три класи:

\(E ,\left( C _{3}, C _{3}^{2}\right),\left(\sigma_{ v }, \sigma_{ v }^{\prime}, \sigma_{ v }^{\prime \prime}\right)\)

Додатковими властивостями перетворень і класів є:

• жоден оператор не зустрічається більше ніж в одному класі
• порядок всіх класів повинен бути невід'ємними факторами порядку групи
• в групі Абеля кожен оператор знаходиться в класі сам по собі.