1.1: Елементи та операції симетрії

Розглянемо властивості симетрії об'єкта (наприклад, атоми молекули, набір орбіталей, вібрації). Збір предметів прийнято називати базовим набором

• класифікувати об'єкти базового набору на операції симетрії
• операції симетрії утворюють групу
• група математично визначена та маніпульована теорією груп

Визначення: Операція симетрії

Операція симетрії переміщує об'єкт в нерозрізнену орієнтацію

Визначення: Елемент симетрії

Елемент симетрії - це точка, лінія або площина, навколо якої виконується операція симетрії

Існує п'ять елементів симетрії в 3D просторі, які будуть визначені відносно точки з координатою (x ₁, y ₁, z ₁):

1. ідентичність, E

\[ E\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \]

2. площина відбиття, σ

3. інверсія, i

\[\mathrm{i}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\left(-\mathrm{x}_{1},-\mathrm{y}_{1},-\mathrm{z}_{1}\right)\]

4. правильна вісь обертання, C _n\( \text { (where }\left.\theta=\frac{2 \pi}{n}\right) \)

умовність - це обертання точки за годинниковою стрілкою

\[ \mathrm{C}_{2}(\mathrm{z})\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\left(-\mathrm{x}_{1},-\mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right) \]

5. неправильна вісь обертання, S _n

двоетапна операція: C _n, а потім σ через площину до C _n

\[\mathrm{S}_{4}(\mathrm{z})\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\sigma(\mathrm{xy}) \mathrm{C}_{4}(\mathrm{z})\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\sigma(\mathrm{xy})\left(\mathrm{y}_{1},-\mathrm{x}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)=\left(\mathrm{y}_{1},-\mathrm{x}_{1}-\mathrm{z}_{1}\right) \]

Примітка: обертання pt відбувається за годинниковою стрілкою; Наслідком є те, що осі обертаються проти годинникової стрілки відносно фіксованої точки

У наведеному вище прикладі ми взяли прямий добуток двох операторів:

\( \sigma_{\mathrm{h}} \cdot \mathrm{C}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}} \) Горизонтальна дзеркальна площина (нормаль до C n)

\(\text { for } n \text { even }: S_{n}^{n}=C_{n}^{n} \cdot \sigma_{h}^{n}=E \cdot E=E \) \ (\ почати {вирівняний} \ текст {для} n\ текст {непарний:} & S_ {n} ^ {n} =C_ {n} ^ {n}\ cdot\ сигма_ {h} ^ {n} =Е\ cdot\ sigma {h} =\ сигма {h}\\ & S_ {n} ^ {2 n} =C_ {n} =C_ {n} 2 n}\ cdot\ сигма_ {h} ^ {2 n} =Е\ cdot E=\ сигма_ {h} \ кінець {вирівняний}\) \( \text { for } \mathrm{m} \text { even: } \mathrm{S}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}}=\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}} \cdot \sigma_{\mathrm{h}}^{\mathrm{m}}=\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}} \) \( \text { for } m \text { odd: } \quad S_{n}^{m}=C_{n}^{m} \cdot \sigma_{h}^{m}=C_{n}^{m} \cdot \sigma_{h}=S_{n}^{m} \)

Операції симетрії можуть бути представлені у вигляді матриць. Розглянемо вектор\( \overline{\mathbf{v}} \)

1. ідентичність:\ (E\ begin {bmatrix}
x_1\\
y_1\
z_1
\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix}
&
&\\? &\\
&
\ кінець {bmatrix}
\ почати {bmatrix}
x_1\\
y_1\\
z_1
\ end {bmatrix}
=
\ почати {bmatrix}
x_1\
y_1\\
z_1
\ кінець {bmatrix}\)

матриця, що задовольняє цій умові, є

\ (\ left [\ begin {масив} {lll}
1 & 0\ 0 &
0 & 0\ 0 & 0\ 0 &
0 & 1
\ 1\ end {масив}\ праворуч]\)

\ (\ отже\ mathrm {E} =\ left [\ begin {масив} {lll}
1 & 0\\ 0 & 1\
0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 1
\ 1\ end {масив}\ право]\)... E - це завжди матриця одиниць

2. відображення:\ (\ сигма (\ mathrm {xy})\ лівий [\ почати {масив} {l}
\ mathrm {x} _ {1}
\\ mathrm {y} _ {1}
\ mathrm {z} _ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {r}
\ mathrm {x} {_ 1}
\\\ математика {y} _ {1}\\
-\ математика {a} _ {1}
\ end {масив}\ праворуч]\ quad\ отже\ сигма (\ mathrm {xy}) =\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
1 & 0\\ 0 & 1\
0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & -1
\ end {масив}\ праворуч]\)

аналогічно\ (\ текст {аналогічно}\ сигма (\ mathrm {xz}) =\ лівий [\ почати {масив} {rrr}
1 & 0\ 0 & -1 &
0\ 0 & 0 &
0 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ вправо]\ текст {і}\ сигма (\ mathrm {yz}) =\ left [\ begin {масив} {rrr}
0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {масив}\ праворуч]\)

3. Інверсія:\ (\ mathrm {i}\ left [\ begin {масив} {l}
\ mathrm {x} _ {1}
\\ mathrm {y} _ {1}
\ mathrm {z} _ {1}
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ почати {масив} {l}
-\ mathrm {x} _ {1}\
-\ математика {y} _ {1}\\
-\ математика {z} _ {1}
\ end {масив}\ право]\ quad\ отже\ quad\ mathrm {i} =\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
-1 & 0\\ 0 & -1 &
0\ 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & -1
\ end {масив}\ праворуч]\)

4. Правильна вісь обертання:

через умовність, φ, а отже, і z _i, не перетворюється під C _n (θ) ψ проекції в площину xy потрібно розглядати лише... тобто обертання вектора v (x _i, y _i) через θ

\( x_{1}=\bar{v} \cos \alpha \) \( y_{1}=\vec{v} \sin \alpha \)

\( {C}_{n}(\theta) \)

\( \mathrm{x}_{2}=\overline{\mathrm{v}} \cos [-(\theta-\alpha)]=\overline{\mathrm{v}} \cos (\theta-\alpha) \) \( y_{2}=\vec{v} \sin [-(\theta-\alpha)]=-\bar{v} \sin (\theta-\alpha) \)

використовуючи відносини ідентичності:

\(x_{2}=\vec{v} \cos (\theta-\alpha)=\vec{v} \cos \theta \cos \alpha+\vec{v} \sin \theta \sin \alpha=x_{1} \cos \theta+y_{1} \sin \theta \)

\( y_{2}=-\bar{v} \sin (\theta-\alpha)=-[\bar{v} \sin \theta \cos \alpha-\bar{v} \cos \theta \sin \alpha]=-x_{1} \sin \theta+y_{1} \cos \theta \)

Переформулювання з точки зору матричного представлення:

\ (\ mathrm {C} _ {\ mathrm {n}} (\ тета)\ лівий [\ почати {масив} {l}
\ mathrm {x} _ {1}\
\ mathrm {y} _\
\ mathrm {z} _ {1}
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {r}
\ mathrm m {x} _ {1}\ cos\ theta+\ mathrm {y} _ {1}\ sin\ тета\\
-\ mathrm {x} _ {1}\ sin\ theta+\ mathrm {y} _ {1}\ cos\ тета\
\\ mathrm {z} _ {1}
\ end {масив}\ право]\)

\ (\ отже\ mathrm {C} _ {\ mathrm {n}} (\ тета) =\ лівий [\ почати {масив} {rrr}
\ cos\ тета &\ sin\ тета & 0\\
-\ sin\ тета &\ cos\ тета &
0\\ 0 & 0 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ право]\ квад\ текст {де}\ theta=\ frac {2\ pi} {\ математика {n}}\)

Примітка... обертання вище здійснюється за годинниковою стрілкою, як обговорюється HB (pg 39). Бавовна на пг. 73 вирішує обертання проти годинникової стрілки... і представляє результат за годинниковою стрілкою, отриманий вище. Щоб бути узгодженим з HB (і математичними класами), ми будемо обертати за годинниковою стрілкою як конвенція.

Наведене вище матричне уявлення є повністю загальним для будь-якого обертання θ...

Приклад:\(C_{3}, \theta=\frac{2 \pi}{n} \)

\ [C_ {3} =\ лівий [\ початок {масив} {ccc}
\ cos\ frac {2\ пі} {3} &\ sin\ frac {2\ пі} {3} & 0\\
-\ sin\ frac {2\ пі} {3} &\ cos\ frac {2\ пі} {3} & 0\
0 & 1
\ кінець {масив} праворуч] =\ ліворуч [\ begin {масив} {ccc}
-\ frac {1} {2} &\ гідророзриву {\ sqrt {3}} {2} & 0\\
-\ frac {\ sqrt {3}} {2} & -\ frac {1} {2} & 0\
0 & 0 & 1
\ end {масив}\ право]\]

5. неправильна вісь обертання:

σ _h ⋅ C _n (θ) = S _n (θ)

\ [\ left [\ begin {масив} {rrr}
1 & 0\ 0 & 0 & 0\
0 & 0\ 0 &
0 & -1\ кінець {масив}
\ праворуч]\ cdot\ лівий [\ begin {масив} {rrr}\ cos
\ тета &\ sin\ тета & 0\\\
-\ sin\ тета &\\ sin\ тета &\\ sin\ тета & 0\\
0 & 0 & 1
\ end {масив}\ право] =\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
\ cos\ тета &\ sin\ тета & 0\\
-\ sin\ тета &\ cos\ тета & 0\\
0 & 0 & -1
\ end {масив}\ праворуч]\]

Як і самі оператори, матричними операціями можна маніпулювати простою матричною алгеброю... над прямим добутком дає матричне представлення для S _n.

Інший приклад:

\ [\ лівий [\ початок {масив} {rrr}
1 & 0\ 0 &
0\ 0 & 0\
0 & 0\ 0 & 0 & -1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ cdot\ ліворуч [\ begin {масив} {rrr}
-1 &
0\ 0 &
0\ 0 & 1
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
-1 & 0\ 0 & -1 &
0\ 0 & 0\ 0 & 0 &
0 & 0 & -1 & -1
\ end {масив}\ праворуч]\]

σ _xy (≡ σ _h) ⋅ С ₂ (z) = i