Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Розмірний аналіз

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    24767

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Навички для розвитку

    • Використовуйте розмірний аналіз для обчислення рішень з правильними одиницями

    Вимір - це будь-яка вимірна ступінь, така як довжина, час та маса. Одиниці допомагають описати вимір за певними стандартами. У метричній системі, наприклад, одновимірна (1-D) довжина вимірюється в метрах (м), двовимірна (2-D) площа вимірюється в метрах в квадраті (м 2), а тривимірний (3-D) обсяг вимірюється в метрах в кубі (м 3). Інші типи величин (час, маса, температура) вимірюються за допомогою різних одиниць, оскільки вони мають різні розміри. Аналіз означає думати про щось, часто зосереджуючись на одній частині за раз. Поклавши все це разом, аналіз розмірів означає думати про одиниці шматок за шматком. Розмірний аналіз може шляхом правильного переходу між різними типами одиниць, вловлювати помилки в своїх розрахунках і зробити багато корисних розрахунків в реальному житті.

    По суті, розмірний аналіз означає множення на одиницю. Ви збираєте набір «коефіцієнтів перетворення» або коефіцієнтів, які дорівнюють одному, а потім множите кількість, яка вас цікавить, на ці «одиниці». Наприклад, якщо ви хочете знати, скільки секунд знадобиться, щоб дістатися з Нью-Йорка до Філадельфії, ви зробите це так:

    По-перше, на експресі потрібно 2,5 години, щоб дістатися до Філадельфії з вокзалу в Нью-Йорку. Тоді ми знаємо, що 1 година = 60 хвилин і 1 хвилина = 60 секунд, так (1год/60 хв) = 1, і (1 хв/60 с) = 1. Тепер все, що нам потрібно зробити, це помножити наше початкове число (2,5 год) на «один» двічі, переконавшись, що одиниці скасовуються правильно, щоб у нас були лише секунди в кінці.

    \[(2.5\; \cancel{ h}) \left(\dfrac{60\; \cancel{min}}{1\; \cancel{ h}}\right)\left(\dfrac{60 s}{1 \; \cancel{min}}\right) = 9.0 \times 10^3 s\]

    Якщо кожну деталь поставити не в потрібне місце, одиниці вийдуть неправильно. Наприклад:

    \[\left(\dfrac{1}{2.5\;\cancel{ h}}\right)\left(\dfrac{1 \,\cancel{h}}{60\,m \cancel{ min}}\right)\left(\dfrac{1 \, \cancel{min}}{60 \,s}\right) = 1.1 \times 10^{-4} s^{-1}\]

    У цьому випадку ми ставимо стартову кількість на дно, так ми отримали s -1, коли одиниці скасовуються. Ось приклад неможливості правильно скасувати одиниці:

    \ [(2.5 год)\ ліворуч (\ dfrac {1 год} {60 хв}\ праворуч)\ ліворуч (\ dfrac {60 с} {1 хв}\ праворуч) = 2,5 с\ cdot h ^ 2\ cdot мін^ {-2} $$

    Важливою частиною є те, що якщо ви перевіряєте одиниці, щоб переконатися, що вони вийдуть правильно, ви можете бути впевнені, що ви встановили розрахунок правильно!

    Ось приклад того, як може допомогти аналіз розмірів. Студент обчислював початкову швидкість (v 0) з цього рівняння:

    \[d = (v_0)t + \dfrac{at^2}{2} \nonumber\]

    Але студент неправильно вивів рівняння, і замість цього використовував це рівняння:

    \[v_0 = \dfrac{d}{t} - \dfrac{at^2}{2} \nonumber \]

    Таким чином, студент мав неправильну відповідь, але не знав, що тому що він просто покласти цифри для d, t, і a в його калькулятор, використовуючи неправильне рівняння. Якби він перевірив одиниці, він побачив би, що (д/т) має одиниці метрів в секунду (м/с), тоді як (при 2) /2 має одиниці метрів (м).

    Аналіз розмірів часто корисний, коли ви хочете оцінити деяку кількість в реальному світі. Наприклад, можливо, ви хочете знати, скільки грошей ви витрачаєте на каву щомісяця. Якщо ви витрачаєте 5 доларів за чашку і маєте 2 чашки на день, а є приблизно 30 днів на місяць, то ви можете налаштувати розрахунок так само, як і вище, щоб розрахувати долари на місяць, витрачений на каву. Це працює для багатьох важливих, менш очевидних ситуацій, наприклад, у бізнесі, щоб отримати приблизне уявлення про деяку кількість.

    Дописувачі та атрибуція