1.4: Значні цифри

Значні цифри пов'язані з похибками, пов'язаними з виміряними числами. Важливо розуміти значні цифри, оскільки, коли розрахунки проводяться з використанням чисел з помилками, відповідь не може мати меншу похибку, ніж помилка в будь-якому вихідному числі. Відповідь потребує корекції для значущих цифр.

Точність і точність

Виміряні числа мають два типи похибок, систематичні і випадкові похибки, які визначають точність і точність вимірюваного числа, як показано на рис.1.4.1.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Представлення високої точності з меншою точністю (зліва) та низькою точністю з високою точністю (праворуч). Джерело: DarkEvil/Громадське надбання

Систематичні помилки

Систематичні похибки постійні, тобто вони мають однакове значення в кожному вимірі. Наприклад, метровий стрижень трохи короткий або трохи довжиною більше метра, він внесе систематичну похибку. Систематичні похибки зазвичай трапляються через неточну калібрування вимірювального приладу. Систематичні похибки визначають, наскільки виміряне значення відрізняється від фактичного.

Випадкові помилки

Випадкові похибки - це статистична мінливість вимірюваного числа. Випадкові помилки варіюються від одного спостереження до іншого. Випадкові помилки скасовуються, якщо багато вимірювань знято і усереднено. Наукові вимірювання зазвичай проводяться принаймні в трьох примірниках і усереднені, щоб мінімізувати випадкові помилки. Випадкові помилки визначають, наскільки близькі повторювані виміряні числа один до одного.

Точність

Точність або правдивість вимірювання визначається як те, наскільки близьке середнє значення до фактичного значення.

Чим ближче середнє значення до фактичного значення, тим воно точніше або вірніше, як показано на рис.1.4.1. Істинність залежить від систематичних помилок, тобто менше систематичної похибки, точніше середньої.

Точність

Точність визначається як те, наскільки близькі окремі вимірювання один до одного.

Чим ближче окремі значення один до одного, тим точніше вимірювання, незалежно від того, є воно точним чи ні, як показано на рис.1.4.1. Точність залежить від випадкових помилок, тобто більш суттєві випадкові помилки означають меншу точність.

Точне і неточне число

Існує два типи чисел, підрахувати числа, які є точними і виміряні числа, які є неточними.

Якщо значення є підрахованим числом, це точне число.

Тобто ніякої помилки в ньому немає. Наприклад, покупка одного десятка апельсинів містить рівно 12 н.о. апельсинів; це не може бути 11,5 або 12,5.

Неточні числа та діапазон помилок

Коли величина вимірюється, воно приходить з похибкою вимірювання.

Виміряне число з похибкою називається неточним числом.

Наприклад, коли один і той же десяток апельсинів купується по масі, то залишок може зчитувати його 1572,6 г, або 1573 г, або 1570 г, в залежності від того, найменша цифра, яку відображає баланс - 0,1 г, 1 г, або 10 м Припустимо, баланс з точністю до 1 г і повідомляє масу 1573 г; фактична маса може бути де завгодно в діапазоні 1572,5г-до-1573,4г. Найменша вимірювана цифра, тобто число на своєму місці, в даному випадку є розрахунковим числом, пов'язаним з помилкою. За умовністю, розрахункова цифра має ± 1 похибки, пов'язані з нею. Наприклад, згадані вище виміряні цифри повідомляються в науці як 1572. 6 г ± 0,1 г, 157 3 г ± 1 г, або 15 7 0 г ± 10 г відповідно. Орієнтовні цифри показані жирним шрифтом у прикладах.

Найменша цифра на дисплеї цифрових приладів - це розрахункове число. При вимірюванні за допомогою приладів, які не мають цифрового дисплея, до повідомленого значення додається найменша цифра, позначена на приладі плюс одна цифра менше мінімальної позначеної цифри. Найменша повідомлена цифра - це розрахункова цифра. Наприклад, довжина олівця на рис. 1.4.2 повідомляється як 17. 7 см за допомогою лінійки на дні, де 17 включає найменшу цифру, зазначену на лінійці, а остання цифра, т. Е. 0,7 - розрахункова цифра. За умовністю діапазон помилок у цьому значенні відображається як 17. 7 ± 0,1. Така ж довжина становить 17,7 0 см за допомогою лінійки зверху на рис. 1.4.2л, де 17,7 включає найменшу цифру, зазначену на лінійці, а остання повідомлена цифра, тобто 0, - розрахункова цифра. За умовністю діапазон похибки в цьому значенні відображається як 17,7 0 ± 0,01. Орієнтовні цифри позначені жирним шрифтом.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ілюстрація вимірювань, які дають неточні цифри. Довжина синього прямокутника становить 7,6 0 ± 0,01 см за рахунок використання більш точної лінійки зверху і 7. 6 ± 0,1 см за допомогою менш точної лінійки внизу. Орієнтовна цифра позначена жирним шрифтом.

Правила визначення значущих цифр в виміряних числах

Значні цифри

Всі цифри, повідомлені в виміряному значенні, включаючи розрахункову цифру, є значущими цифрами (SF).

Наприклад, 1572,6 г, 1573 г і 1570 г мають значні цифри 5, 4 і 3 відповідно.

Обережно

Зверніть увагу, що нуль в останньому читанні 1570g не є значним; це заповнювач нуль, який потрібен для розміщення розрахункової цифри 7 на десятках місця.

Дуже важливо знайти значні цифри в виміряних числах, оскільки, коли вони використовуються в розрахунках, відповідь не може мати меншу похибку, ніж максимальна похибка в будь-якому виміряному числі, використовуваному при розрахунку. Правила визначення значущих чисел в виміряному числі наступні.

1. Всі ненульові цифри є значущими, наприклад, 1572 має 4 SF. Нулі можуть бути значними, а можуть і не бути. У наступних прикладах нулі жирними шрифтами є незначними.
2. Нулі між ненульовими цифрами є значущими, наприклад, 1305.6 має 5 SFS.
3. Провідні нулі не є значними, наприклад, 0.0 134 має 3 SF.
4. Кінцеві нулі не є значними, якщо немає десяткової крапки, наприклад, 157 0 має 3 SF. Кінцеві нулі є значними, якщо присутня десяткова крапка, наприклад, 1570. має 4 SFs, оскільки присутня десяткова крапка. Аналогічно, 0.0 124 має 3 SF, але 0.0 1240 має 4 SF, оскільки присутня десяткова крапка.
5. Плутанина виникає, коли більше одного кінцевих нулів і десяткової крапки відсутні. Наприклад, 1500 г має 2 СФ за умовністю, але якщо баланс був точним до 10 г, один з нулів був розрахунковою цифрою і був значним. Перетворення числа в наукове позначення вирішує це питання. Коефіцієнтна частина наукового позначення показує всі значущі цифри при вимірюванні. Наприклад, число 1500 г, якщо показано в науковому позначенні як 1,5 х 10 ³, має 2 СФ, але таке ж число, показане як 1,50 х 10 ³, має 3 СФ.

Округлення обчислюваної відповіді за участю неточних чисел

Коли в розрахунках використовуються неточні цифри, відповідь потрібно округлити до відповідної кількості значущих цифр, визначених наступними правилами.

Правила округлення

1. Число округляється, зберігаючи більші цифри, рівні значним цифрам, і скидаючи або замінюючи інші менші цифри заповнювачами нулями. Нулі заповнювачів виділені жирним шрифтом у наступних прикладах. Наприклад, 13543 стає 135 00 при округленні до трьох значущих.
2. Якщо найбільша скинута цифра дорівнює 4 або менше 4, вона просто скидається. Наприклад, 23145 стає 231 00, при округленні до трьох значущих цифр.
3. Якщо найбільша скинута цифра дорівнює 5 або більше 5, то найменша збережена цифра збільшується на одиницю. Наприклад, 13543 стає 14 000 при округленні на дві значущі цифри.

Правила визначення значущих цифр в розрахунковій відповіді

У наступних правилах відслідковування значущих цифр, які диктують значні цифри у відповіді, ведеться за допомогою жирних шрифтів.

1. Крім того, і віднімання, відповідь має таку ж кількість десяткових знаків, як і число з найменшою кількістю десяткових знаків у вихідних числах. Наприклад, 13. 2 + 12,252 = 25. 4 52 округляється до 25. 5, щоб зберегти один десятковий розряд.
2. При множенні і діленні відповідь має таку ж кількість значущих цифр, як і вихідне число з найменшою кількістю значущих цифр. Наприклад, 1,35 х 2,1 = 2,8 35 округляється до 2,8.

Примітка

Якщо математичні операції виконуються в ряд кроків, відстежуйте значні цифри, але не округляйте проміжні відповіді. Перенесіть якомога більше цифр від проміжних відповідей до наступного кроку розрахунку. Закінчуйте остаточну відповідь, дотримуючись вищевказаних правил. Наприклад, (13. 2 + 12,252) х (1,35 х 2,1) = 25,4 52 х 2,8 35 = 72 .15642 округлено до 72 відповідно до 2,8 35, які повинні були бути округлені до 2,8 в одноетапному розрахунку. Округлення проміжних відповідей призведе до неправильної кінцевої відповіді 71 замість більш правильних 72, тобто (13,2 + 12,252) х (1,35 х 2,1) = 25,5 х 2,8 = 71

Обережно

Точні цифри мають необмежену кількість значущих цифр, а значить, не обмежують значущих цифр в розрахованому відповіді.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Якщо 12 апельсинів важать 1572,6 г, розрахувати масу 1 апельсина в грамах?

Рішення

\ begin {рівняння}
1572.6\ математика {~g}/12=131.05\ математика {~g}\ число
\ кінець {рівняння}

Пояснення: Відповідь має 5 SFs, оскільки 12 є підрахованим числом і точним. Єдине неточне число в розрахунку, яке диктує значні цифри в розв'язку - 1572,6, що має 5 СФС.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Один десяток апельсинів продавали 11 разів. Розрахувати загальну кількість проданих апельсинів?

Рішення

\ begin {рівняння}
12\ раз 11=132\ текст {апельсини}\ nonumber
\ end {рівняння}

Пояснення: Відповідь не округляється, оскільки обидва числа в розрахунку точні, тому відповідь також точна з необмеженими значними цифрами.