10.2: Розв'язування рівняння дифузії

Розв'язки рівняння дифузії, такі як екв. (10.1.5) та (10.1.6), зазвичай вирішуються з використанням перетворень Фур'є. Якщо визначити перетворення з реального простору в взаємний простір як

\[ \stackrel{\sim}{C} (k,t) = \int^{\infty}_{-\infty} C(x)e^{ikx} \, dx \nonumber \]

можна висловити рівняння дифузії в 1D як

\[ \dfrac{d \stackrel{\sim}{C}(k,t)}{dt} = -Dk^2 \stackrel{\sim}{C}(k,t) \]

[Більш загально можна виявити, що перетворення Фур'є лінійного диференціального рівняння в x може бути виражено у поліноміальній формі:\(\mathcal{F} (\partial^nf/\partial x^n)=(ik)^n\stackrel{\sim}{f} (k) \). Ця маніпуляція перетворює рівняння з частинними похідними в звичайне, яке має прямолінійне рішення\(\stackrel{\sim}{C}(k,t)= \stackrel{\sim}{C}(k,0)\exp (-Dk^2t)\). Нам потрібно висловити граничні умови у зворотному просторі, але тоді це рішення може бути перетворено назад, щоб отримати реальне космічне рішення за допомогою\(C(x,t) = (2\pi )^{-1} \int^{\infty}_{-\infty} \stackrel{\sim}{C} (k,t) e^{-ikx}dx\).

Оскільки екв. (10.2.1) є лінійним диференціальним рівнянням, суми розв'язків рівняння дифузії також є розв'язками. Цей принцип суперпозиції ми можемо використовувати для вирішення задач для складних початкових умов. Аналогічно, коли константа дифузії не залежить від x і t, загальне рішення рівняння дифузії також може бути виражено у вигляді ряду Фур'є. Якщо ми відокремлюємо час і простір змінні, так що форма рішення є\(C(x,t)=X(x)T(t)\) ми знаходимо, що ми можемо написати

\[ \dfrac{1}{DT} \dfrac{\partial T}{\partial t} = \dfrac{1}{x} \dfrac{\partial^2 x}{\partial x^2} = -\alpha^2 \nonumber \]

Де α - постійна. Потім\(T=e^{-\alpha^2Dt} \) і\( x=A\cos \alpha x+B\sin \alpha x\). Це призводить до загального вигляду:

\[ C(x,t) = \sum^{\infty}_{n=0} (A_n \cos \alpha_nx+B_n \sin \alpha_n x) e^{-\alpha_n^2Dt} \]

Тут A _n і B _n - константи, що визначаються граничними умовами.

Приклади

Дифузія через межу

У момент t = 0 концентрація рівномірна при значенні C _{0 для x ≥ 0}, а нуль для x < 0, аналогічно видаленню бар'єру між двома однорідними середовищами. Використовуючи принцип суперпозиції, рішення отримано шляхом інтеграції рішення точкового джерела, ур. (10.1.5), над усіма початковими точковими джерелами,\(\delta (x-x_0) \) такими, що\( x_0=0 \longrightarrow \infty\). Визначення\(y^2 = (x-x_0)^2/4Dt\),

\[ C(x,t) = \dfrac{C_0}{\sqrt{\pi}}\int^{\infty}_{-\dfrac{(x-x_0)}{\sqrt{4Dt}}}dy \, e^{-y^2} = \dfrac{C_0}{2} erfc \left( \dfrac{-(x-x_0)}{\sqrt{4Dt}} \right) \nonumber \]

Дифузія в «дірку»

Концентраційний «отвір» шириною 2а вставляється в коробку довжиною 2л з початковою концентрацією С ₀. Візьмемо L = 2a. Концентраційний профіль розчину:

\[ C(x,t) = C_0 \left[ \left( \dfrac{L-a}{L} \right) -\sum^{\infty}_{n=1} A_n \cos (\alpha_n x) e^{-\alpha^2_nDt} \right] \nonumber \]

\[ A_n = \dfrac{2\sin (\alpha_n a)}{n\pi} \qquad \alpha_n = \dfrac{n \pi}{L} \nonumber \]

• Відновлення флуоресценції після фотовідбілювання (FRAP): Ми можемо використовувати це рішення для опису дифузії флуоресцентно маркованих молекул у фотовибілене місце. Зазвичай спостерігають збільшення флуоресценції з часом з цієї плями. Ми інтегруємо концентрацію над початковим отвором:

\[ \begin{aligned} N_{FRAP} (t) &= \int^{+a}_{-a} C(x,t) dx \\ &=C_0 \left[ \dfrac{2a}{L} (L-1)-L\sum^{\infty}_{n=1} A^2_n e^{-\alpha_n Dt} \right] \end{aligned} \]

Відбиття та поглинання граничних умов

Нам буде цікаво описати залежний від часу розподіл ймовірностей для випадку, коли частинки звільняються при x = 0, за умови зіткнення з непроникною стінкою при x = x _w, яка може або поглинати, або відображати частинки.

Розглянемо випадок відбиває стіни, де гранична умова вимагає, щоб потік при x _{w дорівнював} нулю. Ця гранична умова та результуюче накопичення біля стіни можна описати, використовуючи той факт, що будь-яка\(P(x>x_w,t)\) може бути відображена близько x _w, що еквівалентно видаленню межі та додаванню другого вихідного терміна\(P(x,t)\) для частинок, що звільняються при\(x=2x_w\)

\[ P_{refl}(x,t) = P(x,t) + P(2x_w-x,t) \qquad (x<x_w) \nonumber \]

Це також відоме як рішення для обгортання, оскільки будь-який компонент з будь-якою сукупністю\(P(x,t)\), від якої проходить положення стіни, відбивається\(x_w\). Аналогічно, поглинаюча стіна\(P(x=x_w,t)=0\), означає, що ми видаляємо будь-яку популяцію\(x_w\), яка досягла, яка отримується з різниці двох дзеркальних розподілів ймовірностей:

\[ P_{abs}(x,t) = P(x,t)-P(2x_w-x,t) \qquad (x<x_w) \nonumber \]