Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.2: Черв'ячний ланцюг

  • Page ID
    17936
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Черв'ячний ланцюг (WLC) - це, мабуть, найбільш часто зустрічаються моделі полімерного ланцюга при описі механіки і термодинаміки макромолекул. Ця модель описує поведінку тонкого гнучкого стрижня і особливо корисна для опису жорстких ланцюгів зі слабкою кривизною, таких як подвійна багатониткова ДНК. Його поведінка залежить тільки від двох параметрів, які описують стрижень:\(\kappa_b\) його жорсткість на вигин і\(L_C\), довжина контуру.

    clipboard_e52c60ca1fff869ee59c1223b0d22c4c2.png

    Давайте визначимо змінні в цій моделі WLC:

    • \( s \qquad \quad \, \text{The distance separating two points along the contour of the rod} \)
    • \( \vec{r}_{\perp} \qquad \, \, \, \text{Normal unit vector} \)
    • \( \vec{t} = \dfrac{\partial \vec{r}_{\perp}}{\partial s} \, \text{Tangent vector} \)
    • \(\dfrac{\partial \vec{t}}{\partial s} \qquad \, \, \text{ Curvature of chain} \)
    • \(\quad =\dfrac{1}{R} \quad \text{is inverse of local radius of curvature} \)

    Черв'ячатий ланцюг характеризується:

    • Довжина стійкості, яка визначається через тангенс векторної кореляційної функції:

    \[ g(s) = \langle \vec{t}(0) \cdot \vec{t}(s) \rangle = \exp [-|s|/\ell_p] \label{9.2.1}\]

    • Енергія вигину: Енергія, необхідна для згинання дотичних векторів сегмента довжини s, може бути виражена як

    \[ U_b = \dfrac{1}{2} \kappa_b \int^L_0 ds \left( \dfrac{\partial \vec{t}}{\partial s} \right)^2 \]

    Енергія згинання

    clipboard_ea6b7a68a8a133d6de793434959a69d2c.png

    Оцінимо енергію вигину WLC, зробивши деякі спрощують припущення, корисні для досить жорстких стрижнів. Якщо розглядати короткі відстані, на яких кривизна невелика, то\(\theta \approx s/R\) і

    \[ \dfrac{\partial \vec{t}}{\partial s} \approx \dfrac{d \theta}{ds} = \dfrac{1}{R} \label{9.2.3}\]

    Тоді ми можемо висловити енергію вигину через кут:

    \[ U_b \approx \dfrac{1}{2s} \kappa_b \theta^2 \]

    Зверніть увагу на схожість цього виразу з енергією, необхідною для витіснення частинки, пов'язаної в гармонійний потенціал з постійною сили k: U = ½kx 2. Енергія вигину може бути використана для отримання термодинамічних середніх. Наприклад, ми можемо обчислити дисперсію для кутів тангенса вектора як функція s (сферичні координати):

    \[ \begin{align} \langle \theta^2(s) \rangle &= \dfrac{1}{Q_{bend}} \int^{2\pi}_0 d \phi \int^{\pi}_0 d\theta \, \sin \theta \, \theta^2 \, e^{-U_b(\theta )/k_BT} \\ &= \dfrac{2sk_BT}{\kappa_b} \end{align} \]

    Ось ми і скористалися\(sin θ ≈ θ\). Функція перегородки при згинанні стрижня - це:

    \[ Q_{bend} = \int^{2\pi}_0 d \phi \int^{\pi}_0 d\theta \, \sin \theta \, e^{-U_b(\theta)/k_BT} \nonumber \]

    Стійкість Довжина

    Щоб описати довжину стійкості WLC, ми визнаємо, що Equation\ ref {9.2.1} можна записати як\( g(s) = \langle \cos \theta (s) \rangle \) і розширити це для малого\(θ\):

    \[ \begin{align*} g(s) &= \langle \cos \theta (s) \rangle \\[4pt] &= \langle 1 - \dfrac{\theta^2 (s)}{2} +... \rangle \\[4pt] &\approx 1 - \dfrac{1}{2} \langle \theta^2(s) \rangle \end{align*} \]

    і з Рівняння\ ref {9.2.3} ми можемо записати:

    \[ g(s) \approx 1-\dfrac{sk_BT}{\kappa_b} \nonumber \]

    Якщо порівняти це з розширенням експоненціальної в рівнянні\ ref {9.2.1}

    \[ g(s) = e^{-|s|/\ell_p} \approx 1-\dfrac{|s|}{\ell_p} \nonumber \]

    отримуємо вираз для довжини стійкості черв'ячного ланцюга

    \[ \ell_p = \dfrac{\kappa_b}{k_BT} \nonumber \]

    Відстань від кінця до кінця

    Наскрізна відстань для WLC отримується шляхом інтеграції вектора тангенса по одній довжині контуру:

    \[ \vec{R} = \int^{L_C}_{0} ds \, \vec{t} (s) \nonumber \]

    Отже, дисперсія в наскрізній відстані визначається з тангенсної векторної автокореляційної функції, яку ми приймаємо, щоб мати експоненціальну форму:

    \[ \begin{aligned} \langle R^2 \rangle &= \langle R \cdot R\rangle \\ &= \int^{L_C}_0 ds \int^{L_C}_0 ds' \langle t(s)t(s') \rangle \\ &= \int^{L_C}_0 ds \int ^{L_C}_{0} ds' \, e^{-(s-s')/\ell_p} \end{aligned} \]

    \[ \langle R^2 \rangle = 2\ell_p L_C - 2\ell_p^2 \left( 1-e^{-L_C/\ell_p} \right) \nonumber \]

    Розглянемо цей вираз в двох межах:

    \( \text{rigid:}\quad \qquad \ell_p \gg L_C \qquad \langle R^2 \rangle \approx L_C^2 \)

    \( \text{flexible:} \qquad \ell_p \ll L_C \qquad \langle R^2 \rangle \approx 2L_C \ell_p \rightarrow n_e \ell_e^2 \rightarrow \therefore 2\ell_p = \ell_e \)

    Приклад\(\PageIndex{1}\): DNA Bending in Nucleosomes

    Яка енергія потрібна для обгортання ДНК навколо октамера гістону в нуклеосомі? Дволанцюгова ДНК - це жорсткий полімер з довжиною персистенції\(\ell_p \approx 50\) нм, але нуклеосома має радіус ~ 4,5 нм.

    clipboard_e995714703ed7ca874231a0a3afd99a74.png

    Рішення

    З\(\ell_p\) і k B T = 4,1 пН нм визначити жорсткість на вигин можна за допомогою:

    \( \kappa_b = \ell_p k_BT = (50\text{ nm})(4.1 \text{ pN nm}) = 205\text{ pN nm}^2 \)

    Тоді енергія, необхідна для згинання dsDNA в один повний цикл

    \[ \begin{aligned} U_b &\cong \dfrac{\kappa_b \theta^2}{2s} \approx \dfrac{\kappa_b (2\pi)^2}{2(2\pi R)} = \dfrac{\pi \kappa_b}{R} \\ &= \dfrac{\pi(205 \text{ pn nm}^2 )}{4.5 \text{ nm}} = 143 \text{ pN nm} \\ &= 35k_BT = 15 \text{ kcal (mol loops)}^{-1} \\ &\qquad \text{or } 0.15 \text{ kcal basepair}^{-1} \end{aligned} \]

    Механіка континууму тонкого стрижня 1

    Черв'ячний ланцюг - це модель, отримана з механіки континууму тонкого стрижня. Крім вигину, тонкий стрижень схильний до інших спотворень: розтягування, скручування, написання.

    clipboard_eba0ee0edd979d2186ad5f8d4df8051a5.png

    Підіб'ємо підсумки енергій, необхідних для цих деформацій:

    Змінні деформації:

    • S: Положення уздовж контуру стрижня
    • L 0: Незбурена довжина стрижня
    • \(\vec{t}\): Дотичний вектор.
    • \(d\vec{t}/ds\): викривлення
    • Ω: Місцевий поворот

    Енергія для спотворення стрижня дорівнює

    \[ U = U_{st} +U_b+U_{tw} \nonumber \]

    У гармонійному наближенні для відновлювальної сили ми можемо записати ці внески як

    \[ U= \dfrac{1}{2} \int^L_{L_0} \kappa_{st} s ds \, + \dfrac{1}{2} \int^L_{L_0} \kappa_b \left( \dfrac{d\vec{t}}{ds} \right)^2 ds + \dfrac{1}{2} \int^L_{L_0} \kappa_{tw} \Omega^2 ds \nonumber \]

    Константи сили, з репрезентативними значеннями для dsDNA, є:

    Розтяжка:\(\kappa_{st} = \kappa_{st-entropic} + \kappa_{st-enthalpic} \)

    \( \kappa_{st-entropic} \approx 3k_BT/ \ell_p L_c \)

    Вигин:\( \kappa_b \)

    \( \kappa_b \approx 205 \text{ pN nm}^2 \)

    Скручування:\(\kappa_{tw} \)

    \( \kappa_{tw} \approx (86 \text{ nm})k_BT = 353 \text{ pN nm}^2\)

    Напишіть

    Додатковим спотворенням тонких стрижнів є writhe, що відноситься до зв'язаного скручування і намотування, і є важливим фактором супернамотування ДНК. Скручування стрижня може викликати в площині петлі стрижня, наприклад, як зустрічається при спробі намотати садовий шланг. Число Writhe W стрижня відноситься до кількості повних петель, зроблених стрижнем. Writhe може бути позитивним або негативним в залежності від того, чи стрижень перетинає над собою справа наліво або зліва направо. Число скручування T - це число Ω = 2π обертань стрижня, а також може бути позитивним або негативним.

    clipboard_ed75d1773f3ef7ffb4c0eeeac0f79f440.png

    Зв'язкове число L = T+W зберігається в В-формі ДНК, так що скручування може бути перетворено в writhe і навпаки. Оскільки ДНК в клітині природно негативно перекручується в нуклеосомах, топоізомерази використовуються для зміни числа зв'язування шляхом розриву та реформування хребта фосфодіефіру після розслаблення скручування. Негативно перекручена ДНК може бути перетворена в кругову ДНК шляхом локального пузиріння (розмотування в окремі нитки).

    _____________________________________

    1. Боал Д.Х., Механіка клітини, 2-е изд. (Кембриджський університетський прес, Кембридж, Великобританія, 2012).