Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

9.2: Черв'ячний ланцюг

Черв'ячний ланцюг (WLC) - це, мабуть, найбільш часто зустрічаються моделі полімерного ланцюга при описі механіки і термодинаміки макромолекул. Ця модель описує поведінку тонкого гнучкого стрижня і особливо корисна для опису жорстких ланцюгів зі слабкою кривизною, таких як подвійна багатониткова ДНК. Його поведінка залежить тільки від двох параметрів, які описують стрижень:κb його жорсткість на вигин іLC, довжина контуру.

clipboard_e52c60ca1fff869ee59c1223b0d22c4c2.png

Давайте визначимо змінні в цій моделі WLC:

  • sThe distance separating two points along the contour of the rod
  • rNormal unit vector
  • t=rsTangent vector
  • ts Curvature of chain
  • =1Ris inverse of local radius of curvature

Черв'ячатий ланцюг характеризується:

  • Довжина стійкості, яка визначається через тангенс векторної кореляційної функції:

g(s)=t(0)t(s)=exp[|s|/p]

  • Енергія вигину: Енергія, необхідна для згинання дотичних векторів сегмента довжини s, може бути виражена як

Ub=12κbL0ds(ts)2

Енергія згинання

clipboard_ea6b7a68a8a133d6de793434959a69d2c.png

Оцінимо енергію вигину WLC, зробивши деякі спрощують припущення, корисні для досить жорстких стрижнів. Якщо розглядати короткі відстані, на яких кривизна невелика, тоθs/R і

tsdθds=1R

Тоді ми можемо висловити енергію вигину через кут:

Ub12sκbθ2

Зверніть увагу на схожість цього виразу з енергією, необхідною для витіснення частинки, пов'язаної в гармонійний потенціал з постійною сили k: U = ½kx 2. Енергія вигину може бути використана для отримання термодинамічних середніх. Наприклад, ми можемо обчислити дисперсію для кутів тангенса вектора як функція s (сферичні координати):

θ2(s)=1Qbend2π0dϕπ0dθsinθθ2eUb(θ)/kBT=2skBTκb

Ось ми і скористалисяsinθθ. Функція перегородки при згинанні стрижня - це:

Qbend=2π0dϕπ0dθsinθeUb(θ)/kBT

Стійкість Довжина

Щоб описати довжину стійкості WLC, ми визнаємо, що Equation\ ref {9.2.1} можна записати якg(s)=cosθ(s) і розширити це для малогоθ:

g(s)=cosθ(s)=1θ2(s)2+...112θ2(s)

і з Рівняння\ ref {9.2.3} ми можемо записати:

g(s)1skBTκb

Якщо порівняти це з розширенням експоненціальної в рівнянні\ ref {9.2.1}

g(s)=e|s|/p1|s|p

отримуємо вираз для довжини стійкості черв'ячного ланцюга

p=κbkBT

Відстань від кінця до кінця

Наскрізна відстань для WLC отримується шляхом інтеграції вектора тангенса по одній довжині контуру:

R=LC0dst(s)

Отже, дисперсія в наскрізній відстані визначається з тангенсної векторної автокореляційної функції, яку ми приймаємо, щоб мати експоненціальну форму:

R2=RR=LC0dsLC0dst(s)t(s)=LC0dsLC0dse(ss)/p

R2=2pLC22p(1eLC/p)

Розглянемо цей вираз в двох межах:

rigid:pLCR2L2C

\text{flexible:} \qquad \ell_p \ll L_C \qquad \langle R^2 \rangle \approx 2L_C \ell_p \rightarrow n_e \ell_e^2 \rightarrow \therefore 2\ell_p = \ell_e

Приклад\PageIndex{1}: DNA Bending in Nucleosomes

Яка енергія потрібна для обгортання ДНК навколо октамера гістону в нуклеосомі? Дволанцюгова ДНК - це жорсткий полімер з довжиною персистенції\ell_p \approx 50 нм, але нуклеосома має радіус ~ 4,5 нм.

clipboard_e995714703ed7ca874231a0a3afd99a74.png

Рішення

З\ell_p і k B T = 4,1 пН нм визначити жорсткість на вигин можна за допомогою:

\kappa_b = \ell_p k_BT = (50\text{ nm})(4.1 \text{ pN nm}) = 205\text{ pN nm}^2

Тоді енергія, необхідна для згинання dsDNA в один повний цикл

\begin{aligned} U_b &\cong \dfrac{\kappa_b \theta^2}{2s} \approx \dfrac{\kappa_b (2\pi)^2}{2(2\pi R)} = \dfrac{\pi \kappa_b}{R} \\ &= \dfrac{\pi(205 \text{ pn nm}^2 )}{4.5 \text{ nm}} = 143 \text{ pN nm} \\ &= 35k_BT = 15 \text{ kcal (mol loops)}^{-1} \\ &\qquad \text{or } 0.15 \text{ kcal basepair}^{-1} \end{aligned}

Механіка континууму тонкого стрижня 1

Черв'ячний ланцюг - це модель, отримана з механіки континууму тонкого стрижня. Крім вигину, тонкий стрижень схильний до інших спотворень: розтягування, скручування, написання.

clipboard_eba0ee0edd979d2186ad5f8d4df8051a5.png

Підіб'ємо підсумки енергій, необхідних для цих деформацій:

Змінні деформації:

  • S: Положення уздовж контуру стрижня
  • L 0: Незбурена довжина стрижня
  • \vec{t}: Дотичний вектор.
  • d\vec{t}/ds: викривлення
  • Ω: Місцевий поворот

Енергія для спотворення стрижня дорівнює

U = U_{st} +U_b+U_{tw} \nonumber

У гармонійному наближенні для відновлювальної сили ми можемо записати ці внески як

U= \dfrac{1}{2} \int^L_{L_0} \kappa_{st} s ds \, + \dfrac{1}{2} \int^L_{L_0} \kappa_b \left( \dfrac{d\vec{t}}{ds} \right)^2 ds + \dfrac{1}{2} \int^L_{L_0} \kappa_{tw} \Omega^2 ds \nonumber

Константи сили, з репрезентативними значеннями для dsDNA, є:

Розтяжка:\kappa_{st} = \kappa_{st-entropic} + \kappa_{st-enthalpic}

\kappa_{st-entropic} \approx 3k_BT/ \ell_p L_c

Вигин: \kappa_b

\kappa_b \approx 205 \text{ pN nm}^2

Скручування:\kappa_{tw}

\kappa_{tw} \approx (86 \text{ nm})k_BT = 353 \text{ pN nm}^2

Напишіть

Додатковим спотворенням тонких стрижнів є writhe, що відноситься до зв'язаного скручування і намотування, і є важливим фактором супернамотування ДНК. Скручування стрижня може викликати в площині петлі стрижня, наприклад, як зустрічається при спробі намотати садовий шланг. Число Writhe W стрижня відноситься до кількості повних петель, зроблених стрижнем. Writhe може бути позитивним або негативним в залежності від того, чи стрижень перетинає над собою справа наліво або зліва направо. Число скручування T - це число Ω = 2π обертань стрижня, а також може бути позитивним або негативним.

clipboard_ed75d1773f3ef7ffb4c0eeeac0f79f440.png

Зв'язкове число L = T+W зберігається в В-формі ДНК, так що скручування може бути перетворено в writhe і навпаки. Оскільки ДНК в клітині природно негативно перекручується в нуклеосомах, топоізомерази використовуються для зміни числа зв'язування шляхом розриву та реформування хребта фосфодіефіру після розслаблення скручування. Негативно перекручена ДНК може бути перетворена в кругову ДНК шляхом локального пузиріння (розмотування в окремі нитки).

_____________________________________

  1. Боал Д.Х., Механіка клітини, 2-е изд. (Кембриджський університетський прес, Кембридж, Великобританія, 2012).