8.2: Самоуникаючі прогулянки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 17951

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Щоб врахувати виключені обсяги, можна перерахувати полімерні конфігурації, в яких жодні дві намистини не займають однакову ділянку. Такі конфігурації називаються самостійними прогулянками (пилами). Теоретично передбачається, що кількість конфігурацій для випадкової прогулянки по кубічній решітці повинна масштабуватися з кількістю бісеру як\(\Omega_p (n) \propto z^n n^{\gamma - 1}\), де\(\gamma\) константа, яка дорівнює 1 для випадкової прогулянки. Явно оцінюючи самоуникаючі прогулянки (SAV) на кубічній решітці можна показати, що

\[\Omega_p (n) = 0.2 \alpha^n n^{\gamma - 1}\nonumber\]

де\(\alpha = 4.68\) і\(\gamma = 1.16\), а ланцюгова ентропія

\[S_p (n) = k_B [n \ln \alpha + (\gamma - 1) \ln n - 1.6].\nonumber\]

Порівнюючи цей вираз з нашим першим результатом,\(\Omega_P = Mz(z - 1)^{n - 2}\) зауважимо, що в межі випадкової прогулянки по кубічній решітці α=z=6, коли ми виключаємо лише зворотний крок для розміщення наступної кульки поверх попередньої\(\alpha = (z - 1) =5\), а чисельно визначене значення є\(\alpha = 4.68\).

_______________________________________

2. Вандерзанде, Ґратчасті моделі полімерів (Cambridge University Press, Кембридж, Великобританія, 1998).