6.2: Задачі про випадкові величини та ймовірності
- Page ID
- 98750
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Наступна проста випадкова величина знаходиться в канонічному вигляді:
\(X = -3.75 I_A - 1.13 I_B + 0 I_C + 2.6 I_D\).
\(\{X \in (-4, 2]\}\)Висловлюйте події\(\{X \in (0, 3]\}\)\(\{X \in (-\infty, 1]\}\),, і {\(X \ge 0\)} з точки зору\(A\),\(B\),\(C\), і\(D\).
- Відповідь
-
- \(A \bigvee B \bigvee C\)
- \(D\)
- \(A \bigvee B \bigvee C\)
- \(C\)
- \(C \bigvee D\)
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Випадкова величина\(X\), в канонічній формі, задається\(X = -2I_{A} - I_B + I_C + 2I_D + 5I_E\).
Висловити події\(\{X \in [2, 3)\}\)\(\{X \le 0\}\),\(\{X < 0\}\),,\(\{|X - 2| \le 3\}\), і\(\{X^2 \ge 4\}\), з точки зору\(A, B, C, D, and E\).
- Відповідь
-
- \(D\)
- \(A \bigvee B\)
- \(A \bigvee B\)
- \(B \bigvee C \bigvee D \bigvee E\)
- \(A \bigvee D \bigvee E\)
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Клас\(\{C_j: 1 \le j \le 10\}\) є розділом. Випадкова величина\(X\) має значення {1, 3, 2, 3, 4, 2, 2, 1, 3, 5, 2} на\(C_1\) прохідному\(C_{10}\), відповідно. Експрес X\) в канонічній формі.
- Відповідь
-
T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2]; [X,I] = sort(T) X = 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 I = 1 7 3 6 10 2 4 8 5 9
\(X = I_A + 2I_B + 3I_C + 4I_D + 5I_E\)
\(A = C_1 \bigvee C_7\),\(B = C_3 \bigvee C_6 \bigvee C_{10}\),\(C = C_2 \bigvee C_4 \bigvee C_8\),\(D = C_5\),\(E = C_9\)
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Клас\(\{C_j: 1 \le j \le 10\}\) у Вправі має відповідні ймовірності 0,08, 0,13, 0,06, 0,09, 0,14, 0,11, 0,12, 0,07, 0,11, 0,09. Визначаємо розподіл для\(X\)
- Відповідь
-
T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2]; pc = 0.01*[8 13 6 9 14 11 12 7 11 9]; [X,PX] = csort(T,pc); disp([X;PX]') 1.0000 0.2000 2.0000 0.2600 3.0000 0.2900 4.0000 0.1400 5.0000 0.1100
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Колесо обертається, отримуючи на однаково ймовірній основі цілі числа від 1 до 10. Нехай C i - подія, на якій колесо зупиняється\(i\),\(1 \le i \le 10\). Кожен\(P(C_i) = 0.1\). Якщо цифри 1, 4 або 7 з'являються, гравець втрачає десять доларів; якщо цифри 2, 5 або 8 з'являються, гравець нічого не отримує; якщо цифри 3, 6 або 9 з'являються, гравець отримує десять доларів; якщо число 10 з'являється, гравець втрачає один долар. Випадкова величина, що виражає результати, може бути виражена в примітивній формі як
\(X = -10I_{C_1} + 0I_{C_2} + 10I_{C_3} - 10I_{C_4} + 0I_{C_5} + 10I_{C_6} - 10I_{C_7} + 0I_{C_8} + 10I_{C_9} - I_{C_{10}}\)
- Визначте розподіл для\(X\), (a) вручну, (b) за допомогою MATLAB.
- Визначте\(P(X < 0)\),\(P(X > 0)\).
- Відповідь
-
p = 0.1*ones(1,10); c = [-10 0 10 -10 0 10 -10 0 10 -1]; [X,PX] = csort(c,p); disp([X;PX]') -10.0000 0.3000 -1.0000 0.1000 0 0.3000 10.0000 0.3000 Pneg = (X<0)*PX' Pneg = 0.4000 Ppos = (X>0)*PX' Ppos = 0.300
Вправа\(\PageIndex{6}\)
У магазині є вісім предметів для продажу. Ціни складають $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 і $7,50 відповідно. Заходить клієнт. Вона купує один з предметів з ймовірностями 0,10, 0,15, 0,15, 0,20, 0,10 0,05, 0,10 0,15. Може бути записана випадкова величина, що виражає суму її покупки.
\(X = 3.5 I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5 I_{C_3} + 7.5 I_{C_4} + 5.0 I_{C_5} + 5.0I_{C_6} + 3.5 I_{C_7} + 7.5I_{C_8}\)
Визначте розподіл для\(X\) (a) вручну, (b) за допомогою MATLAB.
- Відповідь
-
p = 0.01*[10 15 15 20 10 5 10 15]; c = [3.5 5 3.5 7.5 5 5 3.5 7.5]; [X,PX] = csort(c,p); disp([X;PX]') 3.5000 0.3500 5.0000 0.3000 7.5000 0.3500
Вправа\(\PageIndex{7}\)
Припустимо\(X\),\(Y\) в канонічній формі знаходяться
\(X = 2 I_{A_1} + 3 I_{A_2} + 5 I_{A_3}\)\(Y = I_{B_1} + 2 I_{B_2} + 3I_{B_3}\)
Вони\(P(A_i)\) складають 0,3, 0,6, 0,1 відповідно і\(P(B_j)\) складають 0,2 0,6 0,2. Кожна пара {\(A_i, B_j\)} незалежна. Розглянемо випадкову величину\(Z = X + Y\). Потім\(Z = 2 + 1\) на\(A_1 B_1\)\(A_2 B_3\),\(Z = 3 + 3\) далі і т.д. визначають значення\(Z\) на кожному\(A_i B_j\) і визначають відповідне\(P(A_i B_j)\). З цього визначаємо розподіл для\(Z\).
- Відповідь
-
A = [2 3 5]; B = [1 2 3]; a = rowcopy(A,3); b = colcopy(B,3); Z =a + b % Possible values of sum Z = X + Y Z = 3 4 6 4 5 7 5 6 8 PA = [0.3 0.6 0.1]; PB = [0.2 0.6 0.2]; pa= rowcopy(PA,3); pb = colcopy(PB,3); P = pa.*pb % Probabilities for various values P = 0.0600 0.1200 0.0200 0.1800 0.3600 0.0600 0.0600 0.1200 0.0200 [Z,PZ] = csort(Z,P); disp([Z;PZ]') % Distribution for Z = X + Y 3.0000 0.0600 4.0000 0.3000 5.0000 0.4200 6.0000 0.1400 7.0000 0.0600 8.0000 0.0200
Вправа\(\PageIndex{8}\)
Для випадкових величин в вправи, нехай\(W = XY\). Визначте значення\(W\) по кожному\(A_i B_j\) і визначте розподіл\(W\).
- Відповідь
-
XY = a.*b XY = 2 3 5 % XY values 4 6 10 6 9 15 W PW % Distribution for W = XY 2.0000 0.0600 3.0000 0.1200 4.0000 0.1800 5.0000 0.0200 6.0000 0.4200 9.0000 0.1200 10.0000 0.0600 15.0000 0.0200
Вправа\(\PageIndex{9}\)
Згортається пара кубиків.
- \(X\)Дозволяти бути мінімум з двох чисел, які з'являються вгору. Визначаємо розподіл для\(X\)
- \(Y\)Дозволяти бути максимум з двох чисел. Визначте розподіл для\(Y\).
- \(Z\)Дозволяти сума двох чисел. Визначте розподіл для\(Z\).
- \(W\)Дозволяти абсолютне значення різниці. Визначте його розподіл.
- Відповідь
-
t = 1:6; c = ones(6,6); [x,y] = meshgrid(t,t) x = 1 2 3 4 5 6 % x-values in each position 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 y = 1 1 1 1 1 1 % y-values in each position 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 m = min(x,y); % min in each position M = max(x,y); % max in each position s = x + y; % sum x+y in each position d = abs(x - y); % |x - y| in each position [X,fX] = csort(m,c) % sorts values and counts occurrences X = 1 2 3 4 5 6 fX = 11 9 7 5 3 1 % PX = fX/36 [Y,fY] = csort(M,c) Y = 1 2 3 4 5 6 fY = 1 3 5 7 9 11 % PY = fY/36 [Z,fZ] = csort(s,c) Z = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fZ = 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 %PZ = fZ/36 [W,fW] = csort(d,c) W = 0 1 2 3 4 5 fW = 6 10 8 6 4 2 % PW = fW/36
Вправа\(\PageIndex{10}\)
Мінтермальні ймовірності\(p(0)\) через\(p(15)\) для класу\(\{A, B , C, D\}\), по порядку,
0.072 0,048 0,018 0.012 0.168 0.112 0.042 0.028 0.062 0,048 0,028 0,028 0,010 0.170 0.110 0.040 0.
Визначаємо розподіл для випадкової величини
\(X = -5.3I_A - 2.5 I_B + 2.3 I_C + 4.2 I_D - 3.7\)
- Відповідь
-
% file npr06_10.m % Data for Exercise 6.2.10. pm = [ 0.072 0.048 0.018 0.012 0.168 0.112 0.042 0.028 ... 0.062 0.048 0.028 0.010 0.170 0.110 0.040 0.032]; c = [-5.3 -2.5 2.3 4.2 -3.7]; disp('Minterm probabilities are in pm, coefficients in c') npr06_10 Minterm probabilities are in pm, coefficients in c canonic Enter row vector of coefficients c Enter row vector of minterm probabilities pm Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution XDBN XDBN = -11.5000 0.1700 -9.2000 0.0400 -9.0000 0.0620 -7.3000 0.1100 -6.7000 0.0280 -6.2000 0.1680 -5.0000 0.0320 -4.8000 0.0480 -3.9000 0.0420 -3.7000 0.0720 -2.5000 0.0100 -2.0000 0.1120 -1.4000 0.0180 0.3000 0.0280 0.5000 0.0480 2.8000 0.0120
Вправа\(\PageIndex{11}\)
У вівторок ввечері «Х'юстон Рокетс», «Орландо Меджік» та «Чикаго Буллз» мають ігри (але не один з одним). Нехай A буде подією перемоги Ракети,\(B\) бути подією магічної перемоги, і\(C\) бути подією биків перемоги. Припустимо, клас {\(A, B, C\)} є незалежним, з відповідними ймовірностями 0,75, 0,70 0,8. Хлопець Еллен - скажений фанат Rockets, який не любить Magic. Він хоче зробити ставку на ігри. Вона вирішує взяти його на свої ставки наступним чином:
- $10 до 5 на Rockets - тобто вона втрачає п'ять, якщо Ракети виграють і отримує десять, якщо вони програють
- Від 10 до 5 проти магії
- навіть від 5 до 5 доларів на Биків.
Виграш Еллен може бути виражений у вигляді випадкової величини
\(X = -5 I_A + 10 I_{A^c} + 10 I_B - 5 I_{B^c} - 5 I_C + 5I_{C^c} = -15 I_A + 15 I_B - 10 I_C + 10\)
Визначте розподіл для\(X\). Які ймовірності Еллен втрачає гроші, ламається навіть або виходить попереду?
- Відповідь
-
P = 0.01*[75 70 80]; c = [-15 15 -10 10]; canonic Enter row vector of coefficients c Enter row vector of minterm probabilities minprob(P) Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution disp(XDBN) -15.0000 0.1800 -5.0000 0.0450 0 0.4800 10.0000 0.1200 15.0000 0.1400 25.0000 0.0350 PXneg = (X<0)*PX' PXneg = 0.2250 PX0 = (X==0)*PX' PX0 = 0.4800 PXpos = (X>0)*PX' PXpos = 0.2950
Вправа\(\PageIndex{12}\)
Клас {\(A, B, C, D\)} має мінтермальні ймовірності
\(pm = 0.001 *\)[5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]
- Визначте, чи є клас незалежним.
- Випадкова величина\(X = I_A + I_B + I_C + I_D\) підраховує кількість подій, які відбуваються під час судового розгляду. Знайдіть розподіл по X і визначте ймовірність того, що два або більше трапляються на пробі. Знайдіть ймовірність того, що один або три з них трапляються на суді.
- Відповідь
-
npr06_12 Minterm probabilities in pm, coefficients in c a = imintest(pm) The class is NOT independent Minterms for which the product rule fails a = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 canonic Enter row vector of coefficients c Enter row vector of minterm probabilities pm Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution XDBN = 0 0.0050 1.0000 0.0430 2.0000 0.2120 3.0000 0.4380 4.0000 0.3020 P2 = (X>=2)*PX' P2 = 0.9520 P13 = ((X==1)|(X==3))*PX' P13 = 0.4810
Вправа\(\PageIndex{13}\)
Джеймс очікує три чеки поштою, за $20, $26 і $33 доларів. Їх прибуття - це події\(A, B, C\). Припустимо, що клас є незалежним, з відповідними ймовірностями 0.90, 0.75, 0.80. Тоді
\(X = 20 I_A + 26 I_B + 33 I_C\)
являє собою загальну отриману суму. Визначте розподіл для\(X\). Яка ймовірність того, що він отримає не менше 50 доларів? Менше 30 доларів?
- Відповідь
-
c = [20 26 33 0]; P = 0.01*[90 75 80]; canonic Enter row vector of coefficients c Enter row vector of minterm probabilities minprob(P) Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution disp(XDBN) 0 0.0050 20.0000 0.0450 26.0000 0.0150 33.0000 0.0200 46.0000 0.1350 53.0000 0.1800 59.0000 0.0600 79.0000 0.5400 P50 = (X>=50)*PX' P50 = 0.7800 P30 = (X <30)*PX' P30 = 0.0650
Вправа\(\PageIndex{14}\)
Азартний гравець робить три ставки. Він відкладає по два долари за кожну ставку. Він забирає три долари (його початкова ставка плюс один долар), якщо він виграє першу ставку, чотири долари, якщо він виграє другу ставку, і шість доларів, якщо він виграє третю. Його чистий виграш може бути представлений випадковою величиною.
\(X = 3I_A + 4I_B + 6I_C - 6\), з\(P(A) = 0.5\),\(P(B) = 0.4\),\(P(C) = 0.3\)
Припустимо, що результати ігор незалежні. Визначте розподіл для\(X\).
- Відповідь
-
c = [3 4 6 -6]; P = 0.1*[5 4 3]; canonic Enter row vector of coefficients c Enter row vector of minterm probabilities minprob(P) Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution dsp(XDBN) -6.0000 0.2100 -3.0000 0.2100 -2.0000 0.1400 0 0.0900 1.0000 0.1400 3.0000 0.0900 4.0000 0.0600 7.0000 0.0600
Вправа\(\PageIndex{15}\)
Генрі йде в господарський магазин. Він вважає силовий дриль на 35 доларів, торцевий ключ, встановлений на 56 доларів, набір викруток на 18 доларів, лещата в 24 долари та молоток на 8 доларів. Він самостійно приймає рішення про придбання окремих предметів, з відповідними ймовірностями 0,5, 0,6, 0,7, 0,4, 0,9. Нехай\(X\) буде сума його загальних покупок. Визначте розподіл для\(X\).
- Відповідь
-
c = [35 56 18 24 8 0]; P = 0.1*[5 6 7 4 9]; canonic Enter row vector of coefficients c Enter row vector of minterm probabilities minprob(P) Use row matrices X and PX for calculations Call for XDBN to view the distribution disp(XDBN) 0 0.0036 8.0000 0.0324 18.0000 0.0084 24.0000 0.0024 26.0000 0.0756 32.0000 0.0216 35.0000 0.0036 42.0000 0.0056 43.0000 0.0324 50.0000 0.0504 53.0000 0.0084 56.0000 0.0054 59.0000 0.0024 61.0000 0.0756 64.0000 0.0486 67.0000 0.0216 74.0000 0.0126 77.0000 0.0056 80.0000 0.0036 82.0000 0.1134 85.0000 0.0504 88.0000 0.0324 91.0000 0.0054 98.0000 0.0084 99.0000 0.0486 106.0000 0.0756 109.0000 0.0126 115.0000 0.0036 117.0000 0.1134 123.0000 0.0324 133.0000 0.0084 141.0000 0.0756
Вправа\(\PageIndex{16}\)
Виконується послідовність випробувань (не обов'язково самостійних). Нехай\(E_i\) буде подія успіху на\(i\) компонентному випробуванні. Ми пов'язуємо з кожним випробуванням «функцію виплати»\(X_i = aI_{E_i} + b I_{E_i^c}\). Таким чином,\(a\) заробляється сума, якщо на суді є успіх і сума\(b\) (як правило, негативна), якщо є збій. Нехай\(S_n\) буде кількість успіхів у\(n\) випробуваннях і\(W\) буде чистою виплатою. Покажіть, що\(W = (a - b) S_n + bn\).
- Відповідь
-
\(X_i = aI_{E_i} + b(1 - I_{E_i}) = (a - b) I_{E_i} + b\)
\(W = \sum_{i = 1}^{n} X_i = (a - b) \sum_{i = 1}^{n} I_{E_i} + bn = (a - b) S_n + bn\)
Вправа\(\PageIndex{17}\)
Маркер розміщується в опорній позиції на лінії (приймається за походження); монета підкидається неодноразово. Якщо голова повертається вгору, маркер переміщується на одну одиницю вправо; якщо хвіст повертається вгору, маркер переміщується на одну одиницю вліво.
- Показати, що позиція в кінці десяти кидків задається випадковою величиною
\(X = \sum_{i = 1}^{10} I_{E_i} - \sum_{i = 1}^{10} I_{E_i^c} = 2 \sum_{i = 1}^{10} I_{E_i} - 10 = 2S_{10} - 10\)
де\(E_i\) - подія голови на\(i\) кидку і\(S_{10}\) - кількість голів в десяти випробуваннях.
- Після десяти кидків, які можливі позиції та ймовірності перебування в кожному?
- Відповідь
-
\(X_i = I_{E_i} - I_{E_i^c} = I_{E_i} - (1 - I_{E_i}) = 2I_{E_i} - 1\)
\(X = \sum_{i = 1}^{10} X_i = 2\sum_{i = 1}^{n} I_{E_i} - 10\)
S = 0:10; PS = ibinom(10,0.5,0:10); X = 2*S - 10; disp([X;PS]') -10.0000 0.0010 -8.0000 0.0098 -6.0000 0.0439 -4.0000 0.1172 -2.0000 0.2051 0 0.2461 2.0000 0.2051 4.0000 0.1172 6.0000 0.0439 8.0000 0.0098 10.0000 0.0010
Вправа\(\PageIndex{18}\)
Маргарет вважає п'ять покупок на суму 5, 17, 21, 8, 15 доларів з відповідними ймовірностями 0,37, 0,22, 0,38, 0,81, 0,63. Енн розглядає шість покупок у сумах 8, 15, 12, 18, 15, 12 доларів, з відповідними ймовірностями 0,77, 0,52, 0,23, 0,41, 0,83, 0,58. Припустимо, що всі одинадцять можливих покупок утворюють самостійний клас.
- Визначте розподіл за\(X\), суму, куплену Маргарет.
- Визначте розподіл за\(Y\), суму, куплену Анною.
- Визначте розподіл на\(Z = X + Y\), загальну суму двох закупівель.
Пропозиція для частини (c). Дозвольте MATLAB виконати розрахунки.
- Відповідь
-
[r,s] = ndgrid(X,Y); [t,u] = ndgrid(PX,PY); z = r + s; pz = t.*u; [Z,PZ] = csort(z,pz);
% file npr06_18.m cx = [5 17 21 8 15 0]; cy = [8 15 12 18 15 12 0]; pmx = minprob(0.01*[37 22 38 81 63]); pmy = minprob(0.01*[77 52 23 41 83 58]); npr06_18 [X,PX] = canonicf(cx,pmx); [Y,PY] = canonicf(cy,pmy); [r,s] = ndgrid(X,Y); [t,u] = ndgrid(PX,PY); z = r + s; pz = t.*u; [Z,PZ] = csort(z,pz); a = length(Z) a = 125 % 125 different values plot(Z,cumsum(PZ)) % See figure Plotting details omitted