2.3: Проблеми мінтермінного аналізу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98519

Paul Pfeiffer
Rice University

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо клас\(\{A, B, C, D\}\) подій. Припустимо, ймовірність того, що хоча б одна з подій\(A\) або\(C\) відбувається дорівнює 0,75 і ймовірність того, що відбудеться хоча б одне з чотирьох подій, дорівнює 0,90. Визначте ймовірність того, що жодна з подій\(A\) або хоча б одна з подій\(B\) або\(C\) не\(D\) відбувається.

Відповідь

Використовуйте викрійку\(P(E \cup F) = P(E) + P(E^c F)\) і\((A \cup C)^c = A^c C^c\).

\(P(A \cup C \cup B \cup D) = P(A \cup C) + P(A^c C^c (B \cup D))\), щоб\(P(A^c C^c (B \cup D)) = 0.90 - 0.75 = 0.15\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Використовуйте minterm maps, щоб показати, які з наступних тверджень вірні для будь-якого класу\(\{A, B, C\}\):

a.\(A \cup (BC)^c = A \cup B \cup B^c C^c\)
b.\((A \cup B)^c = A^c C \cup B^c C\)
c.\(A \subset AB \cup AC \cup BC\)
Повторіть частину (1) за допомогою індикаторних функцій (оцінюється на minterms).
Повторіть частину (1) за допомогою m-процедури minvec3 та логічних операцій MATLAB.

Відповідь

Ми використовуємо процедуру MATLAB, яка відображає основні закономірності.

minvec3
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
E = A|~(B&C);
F = A|B|(Bc&Cc);
disp([E;F])
     1     1     1     0     1     1     1     1   % Not equal
     1     0     1     1     1     1     1     1
G = ~(A|B);
H = (Ac&C)|(Bc&C);
disp([G;H])
     1     1     0     0     0     0     0     0   % Not equal
     0     1     0     1     0     1     0     0
K = (A&B)|(A&C)|(B&C);
disp([A;K])
     0     0     0     0     1     1     1     1   % A not contained in K
     0     0     0     1     0     1     1     1

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Використовуйте (1) мінтермові карти, (2) індикаторні функції (оцінені на мінтермах), (3) логічні операції m-процедури minvec3 та MATLAB, щоб показати, що

а.\(A(B \cup C^c) \cup A^c BC \subset A (BC \cup C^c) \cup A^c B\)
б.\(A \cup A^c BC = AB \cup BC \cup AC \cup AB^c C^c\)

Відповідь

Ми використовуємо процедуру MATLAB, яка відображає основні закономірності.

minvec3
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
E = (A&(B|Cc))|(Ac&B&C);
F = (A&((B&C)|Cc))|(Ac&B);
disp([E;F])
     0     0     0     1     1     0     1     1   % E subset of F
     0     0     1     1     1     0     1     1
G = A|(Ac&B&C);
H = (A&B)|(B&C)|(A&C)|(A&Bc&Cc);
disp([G;H])
     0     0     0     1     1     1     1     1    % G = H
     0     0     0     1     1     1     1     1

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Мінтерми для заходів\(\{A, B, C, D\}\), організованих як на мінтермальній карті, є

                     0.0168    0.0072    0.0252    0.0108
                     0.0392    0.0168    0.0588    0.0252
                     0.0672    0.0288    0.1008    0.0432
                     0.1568    0.0672    0.2352    0.1008

Яка ймовірність того, що три і більше подій відбуваються на судовому розгляді? З рівно двох? З двох або менше?

Відповідь

Ми використовуємо mintable (4) і визначаємо позиції з правильним числом одиниць (кількістю входжень). Альтернативним є використання minvec4 та вираження логічних комбінацій, які дають правильне число (и) одиниць.

npr02_04
Minterm probabilities are in pm.  Use mintable(4)
a = mintable(4);
s = sum(a);         % Number of ones in each minterm position
P1 = (s>=3)*pm'   % Select and add minterm probabilities
P1 =  0.4716
P2 = (s==2)*pm'
P2 =  0.3728
P3 = (s<=2)*pm'
P3 =  0.5284

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Мінтерми для заходів\(\{A, B, C, D, E\}\), організованих як на мінтермальній карті, є

       0.0216  0.0324  0.0216  0.0324  0.0144  0.0216  0.0144  0.0216
       0.0144  0.0216  0.0144  0.0216  0.0096  0.0144  0.0096  0.0144
       0.0504  0.0756  0.0504  0.0756  0.0336  0.0504  0.0336  0.0504
       0.0336  0.0504  0.0336  0.0504  0.0224  0.0336  0.0224  0.0336

Яка ймовірність того, що три і більше подій відбуваються на судовому розгляді? З рівно чотирьох? З трьох або менше? Або двох, або чотирьох?

Відповідь

Ми використовуємо mintable (5) і визначаємо позиції з правильним числом одиниць (кількістю входжень).

npr02_05
Minterm probabilities are in pm.  Use mintable(5)
a = mintable(5);
s = sum(a);         % Number of ones in each minterm position
P1 = (s>=3)*pm'   % Select and add minterm probabilities
P1 =  0.5380
P2 = (s==4)*pm'
P2 =  0.1712
P3 = (s<=3)*pm'
P3 =  0.7952
P4 = ((s==2)|(s==4))*pm'
P4 =  0.4784

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Припустимо\(P(A \cup B^c C) = 0.65\),\(P(AC) = 0.2\),\(P(A^c B) = 0.25\)

\(P(A^c C^c) = 0.25\),\(P(BC) = 0.30\). Визначте\(P((AC^c \cup A^c C) B^c)\).

Потім визначте\(P((AB^c \cup A^c) C^c)\) і\(P(A^c(B \cup C^c))\), якщо це можливо.

Відповідь

% file npr02_06.m       % Data file
% Data for Exercise 2.3.6.
minvec3
DV = [A|Ac; A|(Bc&C); A&C; Ac&B; Ac&Cc; B&Cc];
DP = [1      0.65     0.20 0.25  0.25   0.30];
TV = [((A&Cc)|(Ac&C))&Bc; ((A&Bc)|Ac)&Cc; Ac&(B|Cc)];
disp('Call for mincalc')
npr02_06             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3000     % The first and third target probability
    3.0000    0.3500     % is calculated. Check with minterm map.
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Припустимо\(P((AB^c \cup A^cB)C) = 0.4\)\(P(AB) = 0.2\),\(P(A^cC^c) = 0.3\),\(P(A) = 0.6\),\(P(C) = 0.5\),, і\(P(AB^cC^c) = 0.1\). Визначте\(P(A^c C^c \cup AC)\)\(P(AB^c \cup A^c)C^c)\), і\(P(A^c(B \cup C^c))\), якщо це можливо.

Відповідь

% file npr02_07.m
% Data for Exercise 2.3.7.
minvec3
DV = [A|Ac; ((A&Bc)|(Ac&B))&C; A&B; Ac&Cc;  A;  C; A&Bc&Cc];
DP = [ 1        0.4            0.2   0.3   0.6 0.5   0.1];
TV = [(Ac&Cc)|(A&C); ((A&Bc)|Ac)&Cc; Ac&(B|Cc)];
disp('Call for mincalc')
npr02_07             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.7000    % All target probabilities calculable
    2.0000    0.4000    % even though not all minterms are available
    3.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Припустимо\(P(A) = 0.6\)\(P(C) = 0.4\),\(P(AC) = 0.3\),,\(P(A^cB) = 0.2\) і\(P(A^cB^cC^c) = 0.1\).

Визначте\(P((A \cup B)C^c\)\(P(AC^c \cup A^c C)\), і\(P(AC^c \cup A^cB)\), якщо це можливо.

Відповідь

% file npr02_08.m
% Data for Exercise 2.3.8.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  C;  A&C; Ac&B; Ac&Bc&Cc];
DP = [ 1   0.6 0.4  0.3  0.2     0.1];
TV = [(A|B)&Cc; (A&Cc)|(Ac&C); (A&Cc)|(Ac&B)];
disp('Call for mincalc')
 
 
npr02_08             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.5000    % All target probabilities calculable
    2.0000    0.4000    % even though not all minterms are available
    3.0000    0.5000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Припустимо\(P(A) = 0.5\)\(P(AB) = P(AC) = 0.3\),, і\(P(ABC^c) = 0.1\).

Визначте\(P(A(BC^c)^c\) і\(P(AB \cup AC \cup BC)\).

Потім повторіть з додатковими даними\(P(A^cB^cC^c) = 0.1\) і\(P(A^c BC) = 0.05\)

Відповідь

% file npr02_09.m
% Data for Exercise 2.3.9.
minvec3
DV = [A|Ac;  A; A&B; A&C; A&B&Cc];
DP = [ 1    0.5 0.3  0.3   0.1];
TV = [A&(~(B&Cc)); (A&B)|(A&C)|(B&C)];
disp('Call for mincalc')
 
% Modification for part 2
% DV = [DV; Ac&Bc&Cc; Ac&B&C];
% DP = [DP 0.1 0.05];
npr02_09             % Call for data
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.4000    % Only the first target probability calculable
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&Bc&Cc; Ac&B&C];  % Modification of data
DP = [DP 0.1 0.05];
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.4000             % Both target probabilities calculable
    2.0000    0.4500             % even though not all minterms are available
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{10}\)

З огляду на\(P(A) = 0.6\)\(P(A^c B^c) = 0.2\),\(P(AC^c) = 0.4\),, і\(P(ACD^c) = 0.1\).

Визначте\(P(A^c B \cup A(C^c \cup D))\).

Відповідь

% file npr02_10.m
% Data for Exercise 2.3.10.
minvec4
DV = [A|Ac;  A;  Ac&Bc; A&Cc; A&C&Dc];
DP = [1     0.6  0.2    0.4    0.1];
TV = [(Ac&B)|(A&(Cc|D))];
disp('Call for mincalc')
npr02_10
Variables are A, B, C, D, Ac, Bc, Cc, Dc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.7000             % Checks with minterm map solution
The number of minterms is 16
The number of available minterms is 0
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Опитування представницької групи студентів дає наступну інформацію:

52 відсотки - чоловіки
85 відсотків живуть у кампусі
78 відсотків - чоловіки або активні в очних видах спорту (або обидва)
30 відсотків живуть у кампусі, але не займаються спортом
32 відсотки чоловіків, живуть у кампусі та займаються спортом
8 відсотків чоловіків і живуть поза кампусом
17 відсотків є студентами-чоловіками, неактивними у спорті

Яка ймовірність того, що випадково обраний студент є чоловіком і живе в кампусі?
Яка ймовірність того, що чоловік, який знаходиться на кампусі студента, який не займається спортом?
Яка ймовірність того, що студентка активно займається спортом?

Відповідь

% file npr02_11.m
% Data for Exercise 2.3.11.
% A = male;  B = on campus;  C = active in sports
minvec3
DV = [A|Ac;  A;   B;  A|C; B&Cc; A&B&C; A&Bc; A&Cc];
DP = [ 1    0.52 0.85 0.78 0.30  0.32   0.08 0.17];
TV = [A&B; A&B&Cc; Ac&C];
disp('Call for mincalc')
 
npr02_11
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.4400
    2.0000    0.1200
    3.0000    0.2600
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Опитування 100 осіб голосуючого віку показує, що 60 - чоловіки, 30 з яких не ототожнюються з політичною партією; 50 - члени політичної партії; 20 нечленів партії проголосували на останніх виборах, 10 з яких жінки. Скільки нечленів політичної партії не проголосували? Пропозиція Висловіть числа як дріб і розглядайте як ймовірності.

Відповідь

% file npr02_12.m
% Data for Exercise 2.3.12.
% A = male;  B = party member; C = voted last election
minvec3
DV = [A|Ac;  A;  A&Bc;  B;  Bc&C; Ac&Bc&C];
DP = [  1   0.60 0.30  0.50 0.20  0.10];
TV = [Bc&Cc];
disp('Call for mincalc')
npr02_12
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{13}\)

У період неспокійної погоди, нехай A буде подією дощу в Остіні, B бути подією дощу в Х'юстоні, а C бути подією дощу в Сан-Антоніо. Припустимо:

\(P(AB) = 0.35\),\(P(AB^c) = 0.15\),\(P(AC) = 0.20\),\(P(AB^c \cup A^cB) = 0.45\)

\(P(BC) = 0.30\)\(P(B^c C) = 0.05\)\(P(A^c B^c C^c) = 0.15\)

Яка ймовірність опадів у всіх трьох містах?
Яка ймовірність опадів рівно в двох з трьох міст?
Яка ймовірність опадів саме в одному з міст?

Відповідь

% file npr02_13.m
% Data for Exercise 2.3.13.
% A = rain in Austin;  B = rain in Houston;
% C = rain in San Antonio
minvec3
DV = [A|Ac; A&B; A&Bc; A&C; (A&Bc)|(Ac&B); B&C; Bc&C; Ac&Bc&Cc];
DP = [  1   0.35 0.15  0.20    0.45        0.30 0.05   0.15];
TV = [A&B&C; (A&B&Cc)|(A&Bc&C)|(Ac&B&C); (A&Bc&Cc)|(Ac&B&Cc)|(Ac&Bc&C)];
disp('Call for mincalc')
npr02_13
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.2000
    2.0000    0.2500
    3.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Сто студентів опитують про хід навчання та плани аспірантури. Нехай\(A =\) захід студент - чоловік;\(B =\) захід студент вивчає інженерну\(C=\) техніку; захід студент планує принаймні один рік іноземної мови;\(D =\) захід студент планує навчання в аспірантурі (включаючи професійну школу). Результати опитування:

Є 55 студентів-чоловіків; 23 студентів-інженерів, 10 з яких жінки; 75 студентів прийматимуть заняття з іноземної мови, включаючи всіх жінок; 26 чоловіків та 19 жінок планують аспірантуру; 13 студентів-інженерів та 8 жінок-інженерів планують аспірантуру; 20 студентів-інженерів візьмуть іноземна мова та план аспірантури; 5 студенти не інженерних планують аспірантуру, але не курси іноземних мов; 11 неінженерних, жінки студенти планують вивчення іноземної мови та аспірантуру.

Яка ймовірність вибору студента, який планує заняття іноземною мовою та аспірантуру?
Яка ймовірність вибору жінки-інженера, яка не планує навчання в аспірантурі?
Яка ймовірність вибору студента-чоловіка, який або вивчає іноземну мову, але не має наміру навчатися в аспірантурі або не буде вивчати іноземну мову, але планує навчання в аспірантурі?

Відповідь

% file npr02_14.m
% Data for Exercise 2.3.14.
% A = male;  B = engineering;
% C = foreign language; D = graduate study
minvec4
DV = [A|Ac; A; B; Ac&B; C; Ac&C; A&D; Ac&D; A&B&D; ...
      Ac&B&D; B&C&D; Bc&Cc&D; Ac&Bc&C&D];
DP = [1 0.55 0.23 0.10 0.75 0.45 0.26 0.19 0.13 0.08 0.20 0.05 0.11];
TV = [C&D; Ac&Dc; A&((C&Dc)|(Cc&D))];
disp('Call for mincalc')
npr02_14
Variables are A, B, C, D, Ac, Bc, Cc, Dc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3900
    2.0000    0.2600          % Third target probability not calculable
The number of minterms is 16
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Опитування 100 студентів показує, що: 60 є студентами-чоловіками; 55 студентів живуть в кампусі, 25 з яких жінки; 40 регулярно читають студентську газету, 25 з яких жінки; 70 вважають себе досить активними у студентських справах - 50 з них живуть в кампусі; 35 з досить активних студентів читають газету регулярно; Всі жінки, які живуть в кампусі і 5, які живуть поза кампусом вважають себе активними; 10 читачів на кампусі жінок вважають себе активними, як і 5 з жінок поза кампусом; 5 чоловіків є активними, поза кампусом, не читачів газети.

Скільки активних чоловіків або не читачів, або поза кампусом?
Скільки неактивних чоловіків не є постійними читачами?

Відповідь

% file npr02_15.m
% Data for Exercise 2.3.15.
% A = men; B = on campus; C = readers; D = active
minvec4
DV = [A|Ac; A;  B;  Ac&B;  C;  Ac&C;  D;  B&D; C&D; ...
     Ac&B&D; Ac&Bc&D; Ac&B&C&D; Ac&Bc&C&D; A&Bc&Cc&D];
DP = [1  0.6 0.55 0.25 0.40 0.25 0.70 0.50 0.35 0.25 0.05 0.10 0.05 0.05];
TV = [A&D&(Cc|Bc); A&Dc&Cc];
disp('Call for mincalc')
npr02_15
Variables are A, B, C, D, Ac, Bc, Cc, Dc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3000
    2.0000    0.2500
The number of minterms is 16
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Телевізійна станція проводить телефонне опитування, щоб визначити, скільки осіб у своїй основній області перегляду переглянули три останні спеціальні програми, які ми називаємо a, b та c.

221 бачили принаймні a; 209 бачили принаймні b; 112 бачили принаймні c; 197 бачили щонайменше дві програми; 45 бачили всі три; 62 бачили принаймні a та c; кількість бачив принаймні a та b вдвічі більше, ніж кількість, які бачили принаймні b та c.

(а) Скільки бачили хоча б одну спеціальну?
(б) Скільки бачили лише одну спеціальну програму?

Відповідь

% file npr02_16.m
% Data for Exercise 2.3.16.
minvec3
DV = [A|Ac; A;    B;    C; (A&B)|(A&C)|(B&C); A&B&C; A&C; (A&B)-2*(B&C)];
DP = [ 1  0.221 0.209 0.112   0.197           0.045  0.062      0];
TV = [A|B|C; (A&Bc&Cc)|(Ac&B&Cc)|(Ac&Bc&C)];
npr02_16
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3000
    2.0000    0.1030
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Станція інспекції автомобільної безпеки виявила, що в 1000 автомобілів тестували:

100% потрібне вирівнювання коліс, ремонт гальм та регулювання фар
325 потрібно щонайменше два з цих трьох пунктів
125 необхідних фар і гальма роботи
550 потрібно при вирівнюванні коліс

Скільки потрібно тільки вирівнювання коліс?
Скільки хто не потребує вирівнювання коліс потрібно один або жоден з інших елементів?

Відповідь

% file npr02_17.m
% Data for Exercise 2.3.17.
% A = alignment;  B = brake work;  C = headlight
minvec3
DV = [A|Ac; A&B&C; (A&B)|(A&C)|(B&C); B&C;    A  ];
DP = [ 1    0.100      0.325          0.125 0.550];
TV = [A&Bc&Cc; Ac&(~(B&C))];
disp('Call for mincalc')
npr02_17
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.2500
    2.0000    0.4250
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 3
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Припустимо\(P(A(B \cup C)) = 0.3\)\(P(A^c) = 0.6\),, і\(P(A^c B^c C^c) = 0.1\).

Визначте\(P(B \cup C)\)\(P((AB \cup A^c B^c)C^c \cup AC)\), і\(P(A^c (B \cup C^c))\), якщо це можливо.

Повторіть проблему з додатковими даними\(P(A^c BC) = 0.2\) і\(P(A^cB) = 0.3\).

Відповідь

% file npr02_18.m
% Date for Exercise 2.3.18.
minvec3
DV = [A|Ac; A&(B|C); Ac; Ac&Bc&Cc];
DP = [ 1     0.3     0.6    0.1];
TV = [B|C; (((A&B)|(Ac&Bc))&Cc)|(A&C); Ac&(B|Cc)];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&C; Ac&B];
% DP = [DP   0.2     0.3];
npr02_18
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.8000
    2.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 2
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&B&C; Ac&B];      % Modified data
DP = [DP   0.2     0.3];
mincalc                       % New calculation
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.8000
    2.0000    0.4000
    3.0000    0.4000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 5
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Комп'ютерний магазин продає комп'ютери, монітори, принтери. Клієнт заходить в магазин. Нехай A, B, C будуть відповідними подіями клієнт купує комп'ютер, монітор, принтер. Припустимо такі ймовірності:

\(P(AB)\)Імовірність покупки і комп'ютера, і монітора дорівнює 0,49.
\(P(ABC^c)\)Імовірність покупки і комп'ютера, і монітора, але не принтера - 0,17.
\(P(AC)\)Імовірність покупки і комп'ютера, і принтера становить 0,45.
\(P(BC)\)Імовірність покупки як монітора, так і принтера становить 0,39
\(P(AC^c \bigvee A^cC)\)Імовірність покупки комп'ютера або принтера, але не обох дорівнює 0,50.
\(P(AB^c \bigvee A^cB)\)Імовірність покупки комп'ютера або монітора, але не обох дорівнює 0,43.
\(P(BC^c \bigvee B^c C)\)Імовірність покупки монітора або принтера, але не обох дорівнює 0,43.

Яка ймовірність\(P(A)\)\(P(B)\), або покупки\(P(C)\) кожного?
Яка ймовірність покупки рівно двох з трьох предметів?
Яка ймовірність покупки хоча б двох?
Яка ймовірність покупки всіх трьох?

Відповідь

% file npr02_19.m
% Data for Exercise 2.3.19.
% A = computer;  B = monitor;  C = printer
minvec3
DV = [A|Ac; A&B; A&B&Cc; A&C; B&C; (A&Cc)|(Ac&C); ...
          (A&Bc)|(Ac&B); (B&Cc)|(Bc&C)];
DP = [1 0.49 0.17 0.45 0.39 0.50 0.43 0.43];
TV = [A; B; C; (A&B&Cc)|(A&Bc&C)|(Ac&B&C); (A&B)|(A&C)|(B&C); A&B&C];
disp('Call for mincalc')
npr02_19
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.8000
    2.0000    0.6100
    3.0000    0.6000
    4.0000    0.3700
    5.0000    0.6900
    6.0000    0.3200
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Дані є\(P(A) = 0.232\),\(P(B) = 0.228\),\(P(ABC) = 0.045\),\(P(AC) = 0.062\),\(P(AB \cup AC \cup BC) = 0.197\) і\(P(BC0 = 2P(AC)\).

Визначте\(P(A \cup B \cup C)\) і\(P(A^c B^c C)\), якщо це можливо.

Повторіть, з додатковими даними\(P(C) = 0.230\).

Відповідь

% file npr02_20.m
% Data for Exercise 2.3.20.
minvec3
DV = [A|Ac; A;     B;  A&B&C; A&C; (A&B)|(A&C)|(B&C); B&C - 2*(A&C)];
DP = [  1  0.232 0.228 0.045 0.062      0.197            0];
TV = [A|B|C; Ac&Bc&Cc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; C];
% DP = [DP  0.230 ];
 
npr02_20
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
disp(PMA)
    2.0000    0.0480
    3.0000   -0.0450    % Negative minterm probabilities indicate
    4.0000   -0.0100    % inconsistency of data
    5.0000    0.0170
    6.0000    0.1800
    7.0000    0.0450
DV = [DV; C];
DP = [DP 0.230];
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Дані такі:\(P(A) = 0.4\),\(P(AB) = 0.3\),\(P(ABC) = 0.25\),\(P(C) = 0.65\),\(P(A^cC^c) = 0.3\). Визначте наявні мінімальні ймовірності і наступні,

якщо обчислюваний:

\(P(AC^c \cup A^c C)\),\(P(A^cB^c)\),\(P(A \cup B)\),\(P(AB^c)\)

Маючи лише шість пунктів даних (включаючи\(P(\Omega) = P(A \bigvee A^c) = 1\), доступні не всі мінтерми. Спробуйте додаткові дані\(P(A^cB C^c) = 0.1\) і\(P(A^cB^c) = 0.3\). Чи є вони послідовними і лінійно незалежними? Чи доступні всі мінімальні ймовірності?

Відповідь

% file npr02_21.m
% Data for Exercise 2.3.21.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&B; A&B&C;  C;  Ac&Cc];
DP = [ 1   0.4  0.3  0.25   0.65  0.3 ];
TV = [(A&Cc)|(Ac&C); Ac&Bc; A|B; A&Bc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
% DP = [DP   0.1      0.3 ];

npr02_21
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3500
    4.0000    0.1000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
DP = [DP   0.1      0.3 ];
mincalc
Data vectors are linearly independent
 Computable target probabilities
    1.0000    0.3500
    2.0000    0.3000
    3.0000    0.7000
    4.0000    0.1000
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Повторіть вправу зі\(P(AB)\) зміненим від 0,3 до 0,5. Який результат? Поясніть причину такого результату.

Відповідь

% file npr02_22.m
% Data for Exercise 2.3.22.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&B; A&B&C;  C;  Ac&Cc];
DP = [ 1   0.4  0.5  0.25   0.65  0.3 ];
TV = [(A&Cc)|(Ac&C); Ac&Bc; A|B; A&Bc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
% DP = [DP   0.1      0.3 ];

npr02_22
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 4
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
disp(PMA)
    4.0000   -0.2000
    5.0000    0.1000
    6.0000    0.2500
    7.0000    0.2500
DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
DP = [DP   0.1      0.3 ];
mincalc
Data vectors are linearly independent
Data probabilities are INCONSISTENT
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 8
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
disp(PMA)
         0    0.2000
    1.0000    0.1000
    2.0000    0.1000
    3.0000    0.2000
    4.0000   -0.2000
    5.0000    0.1000
    6.0000    0.2500
    7.0000    0.2500

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Повторіть Вправу з вихідною матрицею ймовірностей даних, але з\(AB\) заміною\(AC\) на матрицю векторів даних. Який результат? Чи працює mincalc в цьому випадку? Перевірте результати на мінтерм-карті.

Відповідь

% file npr02_23.m
% Data for Exercise 2.3.23.
minvec3
DV = [A|Ac; A;  A&C; A&B&C;  C;  Ac&Cc];
DP = [ 1   0.4  0.3  0.25   0.65  0.3 ];
TV = [(A&Cc)|(Ac&C); Ac&Bc; A|B; A&Bc];
disp('Call for mincalc')
% Modification
% DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
% DP = [DP   0.1      0.3 ];
npr02_23
Variables are A, B, C, Ac, Bc, Cc
They may be renamed, if desired.
Call for mincalc
mincalc
Data vectors are NOT linearly independent
Warning: Rank deficient, rank = 5  tol =    5.0243e-15
 Computable target probabilities
    1.0000    0.4500
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 2
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA
DV = [DV; Ac&B&Cc; Ac&Bc];
DP = [DP   0.1      0.3 ];
mincalc
Data vectors are NOT linearly independent
Warning: Matrix is singular to working precision.
 Computable target probabilities
     1   Inf             % Note that p(4) and p(7) are given in data
     2   Inf
     3   Inf
The number of minterms is 8
The number of available minterms is 6
Available minterm probabilities are in vector pma
To view available minterm probabilities, call for PMA