1.1: Імовірність

Вступ

Моделі ймовірності і методики пронизують багато важливих сфер сучасного життя. Різноманітність типів випадкових процесів, моделей і методів надійності, а також статистичні міркування в експериментальній роботі відіграють значну роль в інженерних і фізичних науках. Рішення задач управлінського рішення використовують як допоміжні засоби аналізу рішень, теорії ліній очікування, теорії запасів, часових рядів, аналізу витрат в умовах невизначеності - все це корениться в прикладній теорії ймовірностей. Методи статистичного аналізу використовують аналіз ймовірностей як основну дисципліну.

Сучасні імовірнісні розробки стають все більш витонченими математично. Щоб використовувати їх, практикуючий потребує надійної концептуальної основи, яка, на щастя, може бути досягнута на помірному рівні математичної складності. Необхідно розробити відчуття структури базової математичної моделі, ролі різних типів припущень та основних стратегій постановки та вирішення проблеми.

Ймовірність має коріння, які сягають далеко в давнину. Поняття «шанс» зіграло центральну роль у повсюдній практиці азартних ігор. Але випадкові вчинки часто були пов'язані з магією або релігією. Наприклад, в єврейській Біблії є численні випадки, коли рішення приймалися «жеребком» або якимось іншим випадковим механізмом, з розумінням того, що результат був визначений волею Божою. У Новому Завіті книга Діянь описує вибір наступника Юди Іскаріота як одного з «Дванадцятьох». Було висунуто два імена, Йосип Барбас і Матіас. Група молилася, потім намалювала жереб, який припав на Матіаса.

Ранні розробки ймовірності як математичної дисципліни, звільняючи її від свого релігійного і магічного підтексту, прийшли як відповідь на питання про азартні ігри, зіграні неодноразово. Математична формулювання багато в чому зобов'язана творчості П'єра де Ферма і Блеза Паскаля в сімнадцятому столітті. Гра описується з точки зору чітко визначеного судового розгляду (п'єси); результатом будь-якого судового розгляду є один із конкретних наборів помітних результатів. Хоча результат будь-якої гри не передбачуваний, спостерігаються певні «статистичні закономірності» результатів. Можливі результати описуються таким чином, щоб кожен результат здавався однаково ймовірним. Якщо таких можливих «однаково ймовірних» результатів N, кожному присвоюється ймовірність 1/ N.

Розробники математичної ймовірності також взяли сигнали з ранньої роботи з аналізу статистичних даних. Піонерська робота Джона Граунта в сімнадцятому столітті була спрямована на вивчення «статистики життєдіяльності», таких як записи пологів, смертей та різних захворювань. Граунт визначив частки людей в Лондоні, які померли від різних захворювань протягом періоду на початку сімнадцятого століття. Через тридцять років, в 1693 році, Едмонд Галлей (за якого названа комета) опублікував перші таблиці страхування життя. Щоб застосувати ці результати, розглядається вибір члена населення на випадковій основі. Потім призначається ймовірність того, що у такої людини буде дане захворювання. Пробним тут є підбір людини, але інтерес полягає в певних характеристиках. Ми можемо говорити про випадок, коли обрана людина помре від певної хвороби - скажімо «споживання». Хоча це людина, яка вибирається, це смерть від споживання, яка представляє інтерес. З цієї статистичної формулювання виник інтерес не тільки до ймовірностей як дробів або відносних частот, але і до середніх або очікувань. Ці середні значення відіграють істотну роль у сучасній ймовірності.

Ми не намагаємося простежити цю історію, яка була довгою і зупинкою, хоча і відзначена спалахами блиску. Певні поняття та закономірності, що випливають із досвіду та інтуїції, потребують роз'яснення. Ми переходимо швидше безпосередньо до математичної формулювання («математичної моделі»), яка найбільш успішно охопила ці суттєві ідеї. Ця модель, що йде корінням в математичну систему, відому як теорія мір, називається моделлю Колмогорова, на честь геніального російського математика А.Н.Колмогорова (1903-1987). Колмогорову вдалося об'єднати різні розробки, розпочаті на рубежі століть, головним чином, в працях Е.Бореля і Г.Лебега з теорії мір. Колмогоров опублікував свій епохальний твір німецькою мовою в 1933 році. Вона була перекладена англійською мовою і опублікована в 1956 році видавничою компанією «Челсі».

Результати та події

Ймовірність застосовується до ситуацій, в яких існує чітко визначене випробування, можливі результати якого знаходяться серед тих, що знаходяться в заданому базовому наборі. Типовими є наступні.

• Пара кубиків кидається; результат розглядається з точки зору кількості плям, що з'являються на верхніх гранях двох кубиків. Якщо результат розглядається як впорядкована пара, є тридцять шість однаково ймовірних результатів. Якщо результат характеризується загальною кількістю плям на двох загиблих, то можливих результатів одинадцять (не однаково ймовірних).
• Проводиться опитування голосуючого населення. Результати характеризуються відповідями на питання. Наприклад, відповіді можуть бути класифіковані як позитивні (або сприятливі), негативні (або несприятливі) або невизначені (або відсутність думки).
• Проводиться вимір. Результат описується числом, що представляє величину величини у відповідних одиницях. У деяких випадках можливі значення потрапляють серед скінченної множини цілих чисел. В інших випадках можливими значеннями може бути будь-яке дійсне число (зазвичай в якомусь заданому інтервалі).
• Набагато більш складні поняття результатів зустрічаються в сучасній теорії. Наприклад, в теорії зв'язку або управління система зв'язку відчуває в своєму житті тільки один потік сигналу. Але система зв'язку не розрахована на єдиний потік сигналу. Він розрахований на один з нескінченного набору можливих сигналів. Імовірність зіткнення з певним видом сигналу важлива при проектуванні. Такі сигнали складають підмножину більшого набору всіх можливих сигналів.

Ці міркування показують, що наша модель ймовірності повинна мати справу

• Випробування, яке призводить до (вибирає) результат з набору концептуально можливих результатів. Випробування не буде успішно завершено до тих пір, поки один з результатів не буде реалізований.
• З кожним результатом пов'язана певна характеристика (або сукупність ознак), що відноситься до проблеми під рукою. При опитуванні політичних думок вибирається саме людина. Ця людина має безліч особливостей і характеристик (раса, вік, стать, рід діяльності, релігійні уподобання, переваги щодо їжі тощо). Але першочерговим ознакою, що характеризує результат, є політична думка з поставленого питання. Звичайно, деякі інші особливості можуть бути цікавими для аналізу опитування.

Притаманним неформальної думки, так само як і точному аналізу, є поняття події, якому ймовірність може бути призначена як міра ймовірності того, що подія відбудеться на будь-якому судовому розгляді. Успішна математична модель повинна сформулювати ці поняття з точністю. Виявляється подія з точки зору характеристики спостережуваного результату. Подія «сприятлива відповідь» на питання опитування відбувається, якщо спостережуваний результат має таку характеристику; тобто, якщо (якщо і тільки тоді) респондент відповідає ствердно. Розтягується рука з п'яти карт. Подія «один або кілька тузів» відбувається, якщо рука насправді намальована має принаймні один туз. Якщо в цій же руці є дві карти масті треф, то подія «дві трефи» сталася. Ці міркування призводять до наступного визначення.

Визначення. Подія, що визначається деякою характеристикою можливих результатів, є сукупністю тих результатів, що мають цю характеристику. Подія відбувається, якщо результат судового розгляду є членом цієї множини (тобто має характеристику, що визначає подію).

• Подія кидання «сімки» з парою кубиків (яку ми називаємо подією SEVEN) складається з набору тих можливих результатів із загальною кількістю семи плям. Подія SEVEN відбувається, якщо результатом є одна з таких комбінацій із загальною кількістю семи місць (тобто належить події SEVEN). Це можна було б представити наступним чином. Припустимо, два кубика розрізняються (скажімо за кольором) і зроблена картинка кожної з тридцяти шести можливих комбінацій. На зворотному боці кожного малюнка напишіть кількість плям. Тепер подія SEVEN складається з набору всіх цих фотографій з сімома на звороті. Кидання кубиків еквівалентно вибору випадковим чином однієї з тридцяти шести картинок. Подія SEVEN відбувається, якщо вибрана картина є однією з безлічі цих фотографій з сімома на звороті.
• Спостерігаючи протягом дуже довгого (теоретично нескінченного) часу сигнал, що проходить через канал зв'язку, еквівалентний вибору одного з концептуально можливих сигналів. Зараз такі сигнали мають безліч характеристик: максимальне пікове значення, частотний спектр, ступінь диференційованості, середнє значення за заданий часовий проміжок і т.д. якщо сигнал має пікове абсолютне значення менше десяти вольт, то частотний спектр істотно обмежений від 60 герц до 10000 герц, з піковим швидкість зміни 10000 вольт в секунду, то це один з безлічі сигналів з цими характеристиками. Сталася подія «сигнал має ці характеристики». Цей набір (подія) складається з незліченної нескінченності таких сигналів.

Однією з переваг такого формулювання події як підмножини базової множини можливих результатів є те, що ми можемо використовувати елементарну теорію множин як допоміжний засіб для формулювання. А інструменти, такі як діаграми Венна та індикаторні функції для вивчення комбінацій подій, надають потужні засоби для встановлення та візуалізації взаємозв'язків між подіями. Формалізуємо ці ідеї наступним чином:

• \(\Omega\)Дозволяти бути сукупністю всіх можливих результатів базового випробування або експерименту. Ми називаємо це основним простором або певною подією, оскільки якщо судовий процес буде проведено успішно, результат буде в\(\Omega\); отже, подія\(\Omega\) обов'язково відбудеться на будь-якому судовому процесі. Треба однозначно вказати, які результати «можливі». У гортанні монети єдиними прийнятими результатами є «голови» і «хвости». Якщо монета стоїть на її краю, скажімо, притулившись до стіни, ми зазвичай вважаємо, що це результат неналежного судового розгляду.
• Як ми зазначаємо вище, кожен результат може мати кілька характеристик, які є основою для опису подій. Припустимо, ми малюємо одну карту зі звичайної колоди гральних карт. Кожна карта характеризується «номіналом» (від двох до десяти, валет, дама, король, туз) і «масть» (трефи, серця, діаманти, піки). Туз витягується (відбувається подія ТУЗ), якщо результат (карта) належить до набору (події) з чотирьох карт з тузом як номінал. Серце витягується, якщо карта належить до набору з тринадцяти карт з серцем як масті. Тепер може бути бажаним вказати події, які передбачають різні логічні комбінації характеристик. Таким чином, нас може зацікавити подія номіналом є валет або король, а костюм - серце або лопата. Набір для валета або короля представлений союзом,\(J \cup K\) а набір для серця або лопати - союз\(H \cup S\). Виникнення обох умов означає, що результат знаходиться в перетині (загальній частині), позначеному\(\cap\). Таким чином, подія, про яку йдеться, є

  \(E = (J \cup K) \cap (H \cup S)\)

Позначення теорії множин, таким чином, робить можливим точне формулювання події\(E\).

Іноді нас цікавить ситуація, при якій результат не має однієї з характеристик. Таким чином, набір карт, який не має серця масті, є сукупністю всіх тих результатів, а не у випадку H. У теорії множин це комплементарний множина (подія)\(H^c\).

Події є взаємовиключними, якщо на будь-якому судовому розгляді може відбутися не більше одного. Це умова, що множини, що представляють події, є неспільними (тобто не мають спільних членів).

Поняття про неможливу подію корисно. Неможлива подія - це, у встановленій термінології, порожній набір\(\emptyset\). Подія\(\emptyset\) не може відбутися, оскільки вона не має учасників (не містить результатів). \(\emptyset\)Одне використання полягає в тому, щоб забезпечити простий спосіб вказати, що два набори є взаємовиключними. Сказати\(AB = \emptyset\) (тут ми використовуємо альтернативний\(AB\) для\(A \cap B\)) - це стверджувати, що події\(A\) і не\(B\) мають спільного результату, отже, не можуть відбуватися на будь-якому даному випробуванні.

Мова та позначення множин забезпечують точну мову та позначення подій та їх комбінацій. Нижче ми збираємо деякі корисні факти про логічні (часто звані булевими) комбінаціями подій (як множини). Поняття булевих комбінацій може бути застосовано до довільних класів множин. З цієї причини іноді корисно використовувати набір індексів для позначення членства. Ми говоримо, що індекс J підраховується, якщо він скінченний або незліченно нескінченний; в іншому випадку це не злічено. У наступному воно може бути довільним.

\({A_i : i \in J}\)клас множин\(A_i\), по одному для кожного індексу\(i\) в наборі індексів\(J\)

Наприклад, якщо\(J = {1, 2, 3}\)\({A_i : i \in J}\) то клас\({A_1, A_2, A_3}\), і

\(\bigcup_{i \in J} A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3\),\(\bigcup_{i \in J} A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3\),

Якщо\(J = {1, 2, \cdot\cdot\cdot}\)\({A_i: i \in J}\) тоді послідовність\({A_1: 1 \le i}\), і

\(\bigcup_{i \in J} A_i = \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i\),\(\bigcap_{i \in J} A_i = \bigcap_{i = 1}^{\infty} A_i\)

Якщо подія E є об'єднанням класу подій, то подія E відбувається, якщо відбувається хоча б одна подія в класі. Якщо F - перетин класу подій, то подія F відбувається, якщо всі події в класі відбуваються на випробуванні.

Роль нероз'єднаних об'єднань настільки важлива за ймовірністю, що корисно мати символ, що вказує на об'єднання незв'язаного класу. Ми використовуємо великий V для позначення того, що множини, об'єднані в союзі, нероз'ємні. Таким чином, наприклад, пишемо

\(A = \bigvee_{i = 1}^{n} A_i\)позначити\(A = \bigcup_{i = 1}^{n} A_i\) з умовою, що\(A_i\) утворюють нез'єднаний клас

Події, отримані з класу

Розглянемо клас\({E_1, E_2, E_3}\) подій. Нехай\(A_k\) буде подія, яка точно\(k\) відбувається на судовому розгляді і\(B_k\) бути подією, яка\(k\) або більше відбувається на суді. Тоді

\(A_0 = E_1^c E_2^c E_3^c\),\(A_1 = E_1 E_2^c E_3^c \bigvee E_1^c E E_3^c \bigvee E_1^c E_2^c E_3\),\(A_2 = E_1 E_2 E_3^c \bigvee E_1 E_2^c E_3 \bigvee E_1^c E_2 E_3\),\(A_3 = E_1 E_2 E_3\)

Союзи є неспільними, оскільки кожна пара термінів має\(E_i\)\(E_i^c\) в одному і в іншому, принаймні один\(i\). Тепер\(B_k\) можна виражати через\ (a_k\. Наприклад

\(V_2 = A_2 \bigvee A_3\)

Союз у цьому вираженні для\(B_2\) є неспільним, оскільки ми не можемо мати рівно два з них, і рівно три з них відбуваються на одному і тому ж випробуванні.\(E_i\) Ми можемо висловити\(B_2\) безпосередньо з точки\(E_i\) зору наступного:

\(B_2 = E_1 E_2 \cup E_1 E_3 \cup E_2 E_3\)

Тут союз не розривний, взагалі. Однак якщо одна пара, скажімо\({E_1, E_3}\), неспільна, то\(E_1 E_3 = \emptyset\) і пара\({E_1 E_2, E_2 E_3}\) незв'язана (намалюйте діаграму Венна). Припустимо,\(C\) що подія перші два відбуваються або останні два відбуваються, але жодна інша комбінація. Тоді

\(C = E_1 E_2 E_3^c \bigvee E_1^c E_2 E_3\)

Нехай\(D\) буде подія, що відбувається одне або три події,

\(D = A_1 \bigvee A_3 = E_1 E_2^c E_3^c \bigvee E_1^c E_2 E_3^c \bigvee E_1^c E_2^c E_3 \bigvee E_1 E_2 E_3\)

Важливі закономірності в теорії множин, відомі як правила DeMorgan, корисні при передачі подій. Для\({A_i: i \in J}\) довільного класу подій,

\([\bigcup_{i \in J} A_i]^c = \bigcap_{i \in J} A_i^c\)і\([\bigcap_{i \in J} A_i]^c = \bigcup_{i \in J} A_i^c\)

Результат не в союзі (тобто, не принаймні в одному), якщо він не може бути у всіх\(A_i\), і він не знаходиться в перетині (тобто не у всіх), якщо він не може бути принаймні в одному з\(A_i\).\(A_i\)

продовження прикладу

Висловлюйте подію не більше одного виникнення подій в\({E_1, E_2, E_3}\) як\(B_2^c\).

\(B_2^c = [E_1 E_2 \cup E_1 E_3 \cup E_2 E_3]^c = (E_1^c \cup E_2^c) (E_1^c \cup E_3^c) (E_2^3 \cup E_3^c) = E_1^c E_2^c \cup E_1^c E_3^c \cup E_2^c E_3^c\)

Останній вираз показує, що не більше одного з\(E_i\) відбувається, якщо хоча б два з них не відбулися.