11.5: Тест на однорідність

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 11.4: Випробування на незалежність
- 11.6: Порівняння тестів Chi-Square

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Тест на доброту придатності може бути використаний для визначення того, чи відповідає популяція певному розподілу, але цього буде недостатньо, щоб вирішити, чи дотримуються дві популяції однакового невідомого розподілу. Інший тест, який називається тестом на однорідність, може бути використаний для того, щоб зробити висновок про те, чи мають дві популяції однаковий розподіл. Щоб розрахувати статистику тесту для тесту на однорідність, дотримуйтесь тієї ж процедури, що і при тесті на незалежність.

ПРИМІТКА

Очікуване значення всередині кожної комірки повинно бути не менше п'яти, щоб ви могли використовувати цей тест.

Гіпотези

$H_0$ : Розподіл двох популяцій однаковий.
$H_a$ : Розподіл двох популяцій не однаковий.

Тестова статистика

Використовуйте статистику $\chi^2$ тесту. Він обчислюється так само, як і тест на незалежність.

Ступені свободи ( $\bf{df}$ )

$df = \text{ number of columns }- 1$

Вимоги

Всі значення в таблиці повинні бути більше або дорівнювати п'яти.

Загальне використання

Порівняння двох популяцій. Наприклад: чоловіки проти жінок, до проти після, схід проти заходу. Змінна є категоріальною з більш ніж двома можливими значеннями відповіді.

Приклад $\PageIndex{1}$

Чи мають студенти чоловічої та жіночої статі однаковий розподіл умов життя? Використовуйте рівень значущості 0,05. Припустимо, що 250 випадково відібраних студентів-чоловіків та 300 випадково відібраних студенток коледжу запитали про їхні умови проживання: гуртожиток, квартира, з батьками, інше. Результати наведені в табл $\PageIndex{18}$ . Чи мають студенти чоловічої та жіночої статі однаковий розподіл умов життя?

\ (\ pageIndex {18}\) Розподіл живих домовленостей для чоловіків та жінок коледжу «>

Таблиця $\PageIndex{18}$ Розподіл живих домовленостей для чоловіків коледжу та жінок коледжу
	Гуртожиток	Квартира	З батьками	Інше
Самці	72	84	49	45
Самки	91	86	88	35

Відповідь

Рішення 11.11

$H_0$ : Розподіл житлових умов для студентів коледжів є таким же, як розподіл житлових умов для студенток коледжів.

$H_a$ : Розподіл умов проживання для студентів коледжів чоловічої статі не є таким же, як розподіл умов проживання для студенток коледжу.

Ступені свободи ( $\bf{df}$ ):
$df =\text{ number of columns }– 1 = 4 – 1 = 3$

Розподіл для тесту: $\chi_3^2$

Обчисліть тест статистика: $\chi_c^2 = 10.129$

Графік CHI-квадрата показує розподіл і відзначає критичне значення з трьома ступенями свободи при 95% рівні довіри $\alpha = 0.05$ , 7,815. На графіку також відзначається розрахована $\chi^2$ тестова статистика 10.129. Порівнюючи статистику тесту з критичним значенням, як ми це робили з усіма іншими тестами гіпотез, приходимо до висновку.

Прийміть рішення: Оскільки обчислена статистика тесту знаходиться в хвості, ми не можемо прийняти $H_0$ . Це означає, що дистрибутиви не однакові.

Висновок: На рівні 5% значущості, з даних, є достатні докази, щоб зробити висновок про те, що розподіл умов проживання для студентів коледжів чоловічої та жіночої статі не однаковий.

Зверніть увагу, що висновок полягає лише в тому, що дистрибутиви не однакові. Ми не можемо використовувати тест на однорідність, щоб зробити будь-які висновки про те, чим вони відрізняються.

Вправа $\PageIndex{1A}$

Чи мають сім'ї та одинокі однаковий розподіл автомобілів? Використовуйте рівень значущості 0,05. Припустимо, що 100 випадково обраних сімей і 200 випадково відібраних синглів запитали, який тип автомобіля вони їздили: спорт, седан, хетчбек, вантажівка, фургон/позашляховик. Результати наведені в табл $\PageIndex{19}$ . Чи мають сім'ї та одинокі однаковий розподіл автомобілів? Тест на рівні значущості 0,05.

\ (\ Індекс сторінки {19}\) «>

Таблиця $\PageIndex{19}$
	Спорт	Sedan	Хетчбек	Вантажівка	Фургон/позашляховик
Сім'я	5	15	35	17	28
Одномісний	45	65	37	46	7

Вправа $\PageIndex{1B}$

Школи Ліги Плюща отримують багато заявок, але тільки деякі можуть бути прийняті. У школах, перерахованих в таблиці $\PageIndex{20}$ , приймаються два види заяв: регулярне і дострокове рішення.

\ (\ Індекс сторінки {20}\) «>

Таблиця $\PageIndex{20}$
Прийнятий тип заявки	Коричневий	Колумбія	Корнелл	Дартмут	Пенн	Єльський
Регулярний	2 115	1 792	5 306	1 734	2 685	1 245
Дострокове рішення	577	627	1 228	444	1 195	761

Ми хочемо знати, чи кількість прийнятих регулярних заявок відповідає тому ж розподілу, що і кількість прийнятих ранніх заявок. Створіть нульову та альтернативну гіпотези, ступені свободи та статистику тесту, намалюйте графік $\chi^2$ розподілу та покажіть критичне значення та розрахункове значення тестової статистики, а також зробіть висновок про тест однорідності.