11.2: Випробування однієї дисперсії

До цих пір наш інтерес був виключно до параметра популяції$μ$ або його аналога в біноміальному,$p$. Звичайно, середнє значення населення є найбільш критичною інформацією, яку потрібно мати, але в деяких випадках нас цікавить мінливість результатів деякого розподілу. Майже у всіх виробничих процесах якість вимірюється не тільки тим, наскільки точно машина відповідає цілі, але і варіативністю процесу. Якби наповнення мішків картопляними чіпсами не тільки був би інтерес до середньої ваги мішка, але і скільки варіацій було у вагах. Ніхто не хоче бути впевненим, що середня вага є точним, коли їх мішок не має чіпів. Напруга електрики може відповідати деякому середньому рівню, але велика мінливість, спайки, можуть завдати серйозної шкоди електричним машинам, особливо комп'ютерам. Я хотів би не тільки мати високу середню оцінку в моїх класах, але і низьку варіацію про це означає. Коротше кажучи, статистичні тести, що стосуються дисперсії розподілу, мають велике значення та багато застосувань.

Тест однієї дисперсії передбачає, що основний розподіл є нормальним. Нульова та альтернативна гіпотези викладені з точки зору дисперсії населення. Статистика тесту така:

$$\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\nonumber$$

де:

• $n$= загальна кількість спостережень у вибіркових даних
• $s^2$= дисперсія зразка
• $\sigma_{0}^{2}$= гіпотезоване значення дисперсії популяції
• $H_{0} : \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}$
• $H_{a} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}$

Ви можете думати про s як про випадкову величину в цьому тесті. Кількість ступенів свободи - це$df = n - 1$. Тест однієї дисперсії може бути правохвостим, лівохвостим або двохвостим. Приклад$\PageIndex{1}$ покаже вам, як налаштувати нульову та альтернативну гіпотези. Нульова та альтернативна гіпотези містять твердження про дисперсію популяції.

Приклад$\PageIndex{1}$

Інструктори з математики зацікавлені не тільки в тому, як їхні студенти роблять на іспитах, в середньому, але як бали іспиту варіюються. Для багатьох інструкторів дисперсія (або стандартне відхилення) може бути важливішою, ніж середня.

Припустимо, інструктор з математики вважає, що стандартне відхилення для його підсумкового іспиту становить п'ять балів. Один з його кращих учнів думає інакше. Студент стверджує, що стандартне відхилення становить більше п'яти балів. Якби студент проводив тест гіпотези, якими були б нульові та альтернативні гіпотези?

Відповідь

Незважаючи на те, що нам дано стандартне відхилення населення, ми можемо налаштувати тест, використовуючи дисперсію населення наступним чином.

• $H_{0} : \sigma^{2} \leq 5^{2}$
• $H_{a} : \sigma^{2}>5^{2}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Інструктор SCUBA хоче записати колективні глибини кожного зі своїх учнів під час їх перевірки. Його цікавить, як змінюються глибини, хоча всі повинні були бути на одній глибині. Він вважає, що стандартне відхилення становить три фути. Його помічник вважає, що стандартне відхилення становить менше трьох футів. Якби інструктор проводив тест, якими були б нульові та альтернативні гіпотези?

Приклад$\PageIndex{2}$

З окремими лініями біля різних вікон поштове відділення виявляє, що стандартне відхилення часу очікування для клієнтів у п'ятницю вдень становить 7,2 хвилини. Поштове відділення експериментує з єдиною, основною лінією очікування і виявляє, що для випадкової вибірки з 25 клієнтів час очікування для клієнтів має стандартне відхилення 3,5 хвилини в п'ятницю вдень.

З рівнем значущості 5%, перевірити твердження, що один рядок викликає меншу різницю між часом очікування для клієнтів.

Відповідь

Оскільки твердження полягає в тому, що один рядок викликає меншу варіацію, це тест однієї дисперсії. Параметр - дисперсія популяції,$\sigma^2$.

Випадкова величина: стандартне відхилення$s$ зразка - це випадкова величина. Нехай$s$ = стандартне відхилення для часу очікування.

• $H_{0} : \sigma^{2} \geq 7.2^{2}$
• $H_{a} : \sigma^{2}<7.2^{2}$

Дистрибутив для тесту:$\chi_{24}^{2}$, де:

• $n$= кількість вибіркових клієнтів
• $df = n – 1 = 25 – 1 = 24$

Розрахуйте статистику тесту:

$\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}}=5.67$

де$n = 25$,$s = 3.5$, і$\sigma = 7.2$.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Графік Chi-квадрата показує розподіл і відзначає критичне значення з 24 ступенями свободи при 95% рівні довіри$\alpha = 0.05$, 13,85. Критичне значення 13.85 прийшло з таблиці Chi в квадраті, яка читається дуже схоже на таблицю студентів t. Різниця полягає в тому, що розподіл учнів t симетричний, а розподіл Чі в квадраті - ні. У верхній частині таблиці Chi в квадраті ми бачимо не тільки знайомі 0,05, 0,10 і т.д. але і 0,95, 0,975 і т.д. це стовпці, які використовуються для пошуку критичного значення лівої руки. На графіку також відзначається розрахована$\chi^2$ тестова статистика 5.67. Порівнюючи статистику тесту з критичним значенням, як ми це робили з усіма іншими тестами гіпотез, приходимо до висновку.

Слово «менше» говорить вам, що це тест з лівим хвостом.

Прийміть рішення: Оскільки обчислена статистика тесту знаходиться в хвості, ми не можемо прийняти$H_0$. Це означає, що ви відкидаєте$\sigma^2 \geq 7.2^2$. Іншими словами, ви не думаєте, що зміна часу очікування становить 7,2 хвилини або більше; ви думаєте, що зміна часу очікування менше.

Висновок: На рівні 5% значущості, з даних, є достатньо доказів, щоб зробити висновок, що один рядок викликає меншу різницю між часом очікування або з одним рядком час очікування клієнта змінюється менше 7,2 хвилин.

Приклад$\PageIndex{3}$

Професор Хедлі має слабкість до крему заповнені пончики, але він вважає, що деякі пекарні не належним чином заповнюють пончики. Зразок з 24 пончиків виявляє середню кількість начинки, рівну 0,04 склянки, а стандартне відхилення зразка становить 0,11 склянки. Професор Хедлі зацікавлений в середній кількості начинки, звичайно, але він особливо засмучується, якщо один пончик кардинально відрізняється від іншого. Професор Хедлі не любить сюрпризів.

Перевірте на 95% нульову гіпотезу про те, що дисперсія популяції бубликів значно відрізняється від середньої кількості наповнення.

Відповідь

Це явно проблема, що стосується розбіжностей. У цьому випадку ми тестуємо один зразок, а не порівнюємо два зразки з різних популяцій. Таким чином, нульові та альтернативні гіпотези:

$$H_{0} : \sigma^{2}=0.04\nonumber$$

$$H_{0} : \sigma^{2} \neq 0.04\nonumber$$

Тест налаштований як двоххвостий тест, оскільки професор Хедлі виявив занепокоєння занадто великою варіацією в наповненні, а також занадто малою: його неприязнь до сюрпризу - це будь-який рівень наповнення поза очікуваним середнім показником 0,04 чашки. Тестова статистика обчислюється таким чином:

$$\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{o}^{2}}=\frac{(24-1) 0 \cdot 11^{2}}{0.04^{2}}=6.9575\nonumber$$

$\chi^2$Розрахункова статистика тесту, 6.96, знаходиться в хвості, тому на рівні 0.05 значущості ми не можемо прийняти нульову гіпотезу про те, що дисперсія в наповненні пончика дорівнює 0,04 чашки. Здається, професору Хедлі судилося зустрічати розчарування з кожним бітом.

Малюнок$\PageIndex{4}$

Вправа$\PageIndex{3}$

FCC проводить тести швидкості широкосмугового зв'язку, щоб виміряти, скільки даних в секунду проходить між комп'ютером споживача та Інтернетом. Станом на серпень 2012 року стандартне відхилення швидкості Інтернету між провайдерами Інтернет-послуг (провайдерами) становило 12,2 відсотка. Припустимо, береться вибірка з 15 провайдерів, а стандартне відхилення - 13,2. Аналітик стверджує, що стандартне відхилення швидкостей більше, ніж повідомлялося. Викладіть нульову та альтернативну гіпотези, обчислите ступені свободи, статистику тесту, намалюйте графік розподілу та позначте область, пов'язану з рівнем довіри, і зробіть висновок. Тест на рівні 1% значущості.