6.2: Використання звичайного розподілу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 99634

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Затінена область на наступному графіку вказує область праворуч від\(x\). Ця область представлена ймовірністю\(P(X > x)\). Нормальні таблиці забезпечують ймовірність між середнім, нулем для стандартного нормального розподілу та певним значенням, таким як\(x_1\). Це незаштрихована частина графіка від середнього до\(x_1\).

Це нормальна крива розподілу. Значення x позначається на горизонтальній осі, X. Вертикальна лінія простягається від точки x до кривої, а область під кривою зліва від x затінюється. Площа цього затіненого ділянки представляє ймовірність того, що значення змінної менше x.

Оскільки нормальний розподіл симетричний,\(x_1\) якби була однакова відстань зліва від середньої площі, ймовірність, в лівому хвості, була б такою ж, як затінена область в правому хвості. Також майте на увазі, що через симетрію цього розподілу половина ймовірності знаходиться праворуч від середнього і половина - зліва від середнього.

Розрахунки ймовірностей

Щоб знайти ймовірність для функцій щільності ймовірностей з неперервною випадковою величиною, нам потрібно обчислити площу під функцією через значення, які\(X\) нас цікавлять. Для нормального розподілу це здається складним завданням, враховуючи складність формули. Існує, однак, простий спосіб отримати те, що ми хочемо. Ось знову формула нормального розподілу:

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\nonumber\]

Дивлячись на формулу нормального розподілу, незрозуміло, як ми будемо вирішувати ймовірність робити це так само, як ми це робили з попередніми функціями ймовірності. Там ми помістили дані в формулу і зробили математику.

Щоб вирішити цю головоломку, ми починаємо знати, що площа під функцією щільності ймовірності є ймовірністю.

Це показує, що площа між\(X_1\) і\(X_2\) є ймовірністю, як зазначено у формулі:\(P (X_1 \leq X \leq X_2)\)

Математичним інструментом, необхідним для пошуку площі під кривою, є інтегральне числення. Інтеграл нормальної функції щільності ймовірності між двома точками x ₁ і x ₂ є площею під кривою між цими двома точками і є ймовірністю між цими двома точками.

Робити ці інтеграли не весело і може бути дуже багато часу. Але тепер, пам'ятаючи, що існує нескінченна кількість нормальних розподілів, ми можемо розглянути той із середнім нулем і стандартним відхиленням 1. Цей конкретний нормальний розподіл отримує назву Стандартний нормальний розподіл. Введення цих значень у формулу зводиться до дуже простого рівняння. Тепер ми можемо досить легко обчислити всі ймовірності для будь-якого значення х, для цього конкретного нормального розподілу, який має середнє значення нуля і стандартне відхилення 1. Вони були створені і доступні тут, у додатку до тексту або скрізь в Інтернеті. Вони представлені різними способами. Таблиця в цьому тексті є найпоширенішою презентацією і налаштована з ймовірностями на половину розподілу, починаючи з нуля, середнього і рухаючись назовні. Затінена область на графіку у верхній частині таблиці в Статистичних таблицях представляє ймовірність від нуля до конкретного\(Z\) значення, зазначеного на горизонтальній осі,\(Z\).

Єдина проблема полягає в тому, що навіть з цією таблицею було б смішним збігом обставин, що наші дані мали середнє значення нуля і стандартне відхилення одиниці. Рішення полягає в перетворенні розподілу, який ми маємо, із середнім та стандартним відхиленням, на цей новий стандартний нормальний розподіл. Стандартна нормаль має випадкову величину, яка називається\(Z\).

Використовуючи стандартну нормальну таблицю, яку зазвичай називають звичайною таблицею, щоб знайти ймовірність одного стандартного відхилення, перейдіть до\(Z\) стовпця, зчитуючи вниз до 1.0, а потім прочитайте у стовпці 0. Це число,\(0.3413\) це ймовірність від нуля до 1 стандартного відхилення. У верхній частині таблиці знаходиться затінена область в розподілі, яка є ймовірністю одного стандартного відхилення. Таблиця вирішила нашу інтегральну задачу числення. Але тільки в тому випадку, якщо наші дані мають середнє значення нуля і стандартне відхилення 1.

Однак найважливішим моментом тут є те, що ймовірність одного стандартного відхилення на одному нормальному розподілі однакова для кожного нормального розподілу. Якщо сукупність даних має середнє значення 10 і стандартне відхилення 5, то ймовірність від 10 до 15, одне стандартне відхилення, така ж, як від нуля до 1, одне стандартне відхилення від стандартного нормального розподілу. Для обчислення ймовірностей, областей, для будь-якого нормального розподілу, нам потрібно лише перетворити конкретний нормальний розподіл в стандартний нормальний розподіл і шукати відповідь в таблицях. Як огляд, тут знову ж таки формула стандартизації:

\[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

де\(Z\) значення на стандартному нормальному розподілі,\(X\) - це значення з нормального розподілу, яке бажає перетворити в стандартне нормальне,\(\mu\) і\(\sigma\) є, відповідно, середнім і стандартним відхиленням цієї популяції. Зверніть увагу, що рівняння використовує\(\mu\) і\(\sigma\) яке позначає параметри популяції. Це все ще стосується ймовірності, тому ми завжди маємо справу з населенням, з відомими значеннями параметрів та відомим розподілом. Важливо також зазначити, що оскільки нормальний розподіл симетричний, не має значення, чи є z-оцінка позитивною чи негативною при обчисленні ймовірності. Одне стандартне відхилення вліво (негативний Z-бал) охоплює ту ж площу, що і одне стандартне відхилення вправо (позитивний Z-бал). Саме тому в таблицях Standard Normal не передбачені області для лівої частини розподілу. Через таку симетрію формулу Z-score іноді записують як:

\[Z=\frac{|x-\mu|}{\sigma}\nonumber\]

Де вертикальні лінії в рівнянні означають абсолютне значення числа.

Те, що стандартизує формула насправді робить обчислення кількості\(X\) стандартних відхилень від середнього її власного розподілу. Стандартизуюча формула і поняття підрахунку стандартних відхилень від середнього - секрет всього, що ми будемо робити в цьому класі статистики. Причиною цього є те, що вся статистика зводиться до варіації, а підрахунок стандартних відхилень - міра варіації.

Ця формула, у багатьох маскуванні, буде з'являтися знову і знову протягом усього цього курсу.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Підсумкові бали іспиту в класі статистики зазвичай розподілялися із середнім значенням 63 та стандартним відхиленням п'яти.

a. знайти ймовірність того, що випадково обраний студент набрав більше 65 на іспиті.
b. знайти ймовірність того, що випадково обраний студент набрав менше 85.

Відповідь на

Нехай\(X\) = бал на підсумковому іспиті. \(X \sim N(63, 5)\), Де\(\mu = 63\) і\(\sigma = 5\).

Намалюйте графік.

Потім знайдіть\(P(x > 65)\).

\(P(x > 65) = 0.3446\)

Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 63 на горизонтальній осі. Точка 65 також маркується. Вертикальна лінія проходить від точки 65 до кривої. Область ймовірності праворуч від 65 затінена; вона дорівнює 0,3446.

\[Z_{1}=\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}=\frac{65-63}{5}=0.4\nonumber\]

\(P\left(x \geq x_{1}\right)=P\left(Z \geq Z_{1}\right)=0.3446\)

Імовірність того, що будь-який студент, обраний випадковим чином балів більше 65, дорівнює 0,3446. Ось як ми знайшли цю відповідь.

Відповідь б

Нормальна таблиця надає ймовірності від нуля до значення\(Z_1\). Для цієї проблеми питання можна записати так:\(P(X \geq 65) = P(Z \geq Z1)\), яка область в хвості. Щоб знайти цю область, формула була б\(0.5 – P(X \leq 65)\). Одна половина ймовірності вище середнього значення, оскільки це симетричний розподіл. Графік показує, як знайти площу в хвості, віднімаючи цю частину від середнього нуля до\(Z_1\) значення. Остаточна відповідь:\(P(X \geq 63) = P(Z \geq 0.4) = 0.3446\)

\(z=\frac{65-63}{5}=0.4\)

Площа зліва від\(Z_1\) середнього нуля дорівнює\(0.1554\)

\(P(x > 65) = P(z > 0.4) = 0.5 – 0.1554 = 0.3446\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{85-63}{5}=4.4\)який перевищує максимальне значення за стандартною звичайною таблицею. Тому ймовірність того, що один студент набере менше 85, становить приблизно одну або 100%.

Оцінка 85 дорівнює 4.4 стандартних відхилень від середнього показника 63, що виходить за рамки стандартної нормальної таблиці. Тому ймовірність того, що один студент набере менше 85, приблизно одна (або 100%).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Гольф бали для шкільної команди були зазвичай розподілені із середнім значенням 68 і стандартне відхилення трьох. Знайдіть ймовірність того, що випадково обраний гольфіст набрав менше 65.

Приклад\(\PageIndex{2A}\)

Персональний комп'ютер використовується для офісної роботи на дому, досліджень, спілкування, особистих фінансів, освіти, розваг, соціальних мереж і безлічі інших речей. Припустимо, що середня кількість годин використання побутового персонального комп'ютера для розваг становить дві години на добу. Припустимо, що час для розваг зазвичай розподілений, а стандартне відхилення для часу становить півгодини.

а. знайти ймовірність того, що побутовий персональний комп'ютер використовується для розваг між 1,8 і 2,75 годинами на добу.

Відповідь

а. нехай\(X\) = кількість часу (в годинами) побутової персональний комп'ютер використовується для розваг. \(X \sim N(2, 0.5)\)де\(\mu= 2\) і\(\sigma = 0.5\).

Знайти\(P(1.8 < X < 2.75)\).

Імовірність, за якою ви шукаєте, - це область між\(X = 1.8\) і\(X = 2.75\). \(P(1.8 < X < 2.75) = 0.5886\)

Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 2 на горизонтальній осі. Значення 1,8 і 2,75 також маркуються на осі x. Вертикальні лінії простягаються від 1,8 і 2,75 до кривої. Область між лініями затінюють.

\(P(1.8 \leq X \leq 2.75) = P(Z_1 \leq Z \leq Z_2)\)

Імовірність того, що побутовий персональний комп'ютер використовується в межах від 1,8 до 2,75 годин на добу для розваг, становить 0,5886.

Приклад\(\PageIndex{2B}\)

б. знайти максимальну кількість годин на добу, що нижній квартиль домочадців використовує персональний комп'ютер для розваг.

Відповідь

Рішення 6.4

б. щоб знайти максимальну кількість годин на добу, яке нижній квартиль домочадців використовує персональний комп'ютер для розваг, знайдіть ^25-й процентиль\(k\), де\(P(x < k) = 0.25\).

Це нормальна крива розподілу. Область під лівим хвостом кривої затінюється. Затінена область показує, що ймовірність того, що x менше k дорівнює 0,25. Звідси випливає, що k = 1,67. — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

\(f(Z)=0.5-0.25=0.25, \text { therefore } Z \approx-0.675(\text { or just } 0.67 \text { using the table) } Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-2}{0.5}=-0.675 , \text {therefore } x=-0.675 * 0.5+2=1.66\)

Максимальна кількість годин на добу, яке нижній квартиль домочадців використовує персональний комп'ютер для розваг, становить 1,66 години.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Гольф бали для шкільної команди були зазвичай розподілені із середнім значенням 68 і стандартне відхилення трьох. Знайти ймовірність того, що гольфіст забив між 66 і 70.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

У США вік від 13 до 55+ користувачів смартфонів приблизно дотримується нормального розподілу з приблизним середнім і стандартним відхиленням в 36,9 років і 13,9 років відповідно.

а. визначити ймовірність того, що випадковий користувач смартфона у віковому діапазоні від 13 до 55+ становить від 23 до 64,7 років.

Відповідь

Відповідь: а. 0,8186; б. 0,8413

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Фермер цитрусових, який вирощує мандаринові апельсини, виявляє, що діаметри мандаринових апельсинів, заготовлених на його фермі, дотримуються нормального розподілу із середнім діаметром 5,85 см і стандартним відхиленням 0,24 см.

а. знайти ймовірність того, що випадково обраний мандарин з цієї ферми має діаметр більше 6,0 см. Намалюйте графік.

Відповідь

\[Z_{1}=\frac{6-5.85}{.24}=.625\nonumber\]

\(P(x \geq 6) = P(z \geq 0.625) = 0.2670\)

б Середні 20% мандаринових апельсинів з цієї ферми мають діаметри між ______ і ______.

\(f(Z)=\frac{0.20}{2}=0.10, \text { therefore } Z \approx \pm 0.25\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-5.85}{0.24}=\pm 0.25 \rightarrow \pm 0.25 \cdot 0.24+5.85=(5.79,5.91)\)