5.3: Експоненціальний розподіл

Експоненціальний розподіл часто стосується кількості часу, поки не відбудеться якась конкретна подія. Наприклад, кількість часу (починається зараз) до землетрусу має експоненціальний розподіл. Інші приклади включають тривалість часу, у хвилинах, міжміських ділових телефонних дзвінків та кількість часу, у місяцях, триває автомобільний акумулятор. Також можна показати, що значення зміни, яке у вас є в кишені або гаманці, приблизно слідує за експоненціальним розподілом.

Значення для експоненціальної випадкової величини відбуваються наступним чином. Тут менше великих значень і більше малих значень. Наприклад, маркетингові дослідження показали, що кількість грошей, які клієнти витрачають за одну поїздку в супермаркет, слідує експоненціальному розподілу. Є більше людей, які витрачають невеликі суми грошей і менше людей, які витрачають великі суми грошей.

Експоненціальні розподіли зазвичай використовуються при розрахунках надійності продукту або тривалості часу, який триває виріб.

Випадкова величина для експоненціального розподілу є безперервною і часто вимірює плин часу, хоча вона може бути використана в інших додатках. Типовими питаннями можуть бути: «яка ймовірність того, що якась подія відбудеться протягом наступних$x$ годин або днів, або яка ймовірність того, що якась подія відбудеться між$x_1$ годинами та$x_2$ годинами, або яка ймовірність того, що подія займе більше$x_1$ годин для виконання. ?» Коротше кажучи, випадкова величина$X$ дорівнює (а) часу між подіями або (б) часу для завершення дії, наприклад очікування клієнта. Функція щільності ймовірності задається:

$$f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}\nonumber$$

де$\mu$ - історичний середній час очікування.

і має середнє і стандартне відхилення$1/\mu$.

Альтернативна форма формули експоненціального розподілу визнає те, що часто називають фактором розпаду. Фактор розпаду просто вимірює, наскільки швидко ймовірність події знижується у міру$X$ збільшення випадкової величини. Коли використовується позначення з використанням параметра розпаду m, функція щільності ймовірності представлена у вигляді:

$$f(x)=m e^{-m x}\nonumber$$

де$m=\frac{1}{\mu}$

Для обчислення ймовірностей для питомих функцій щільності ймовірностей використовується функція кумулятивної щільності. Функція кумулятивної щільності (cdf) є просто інтегралом pdf і є:

$$F(x)=\int_{0}^{\infty}\left[\frac{1}{\mu} e^{-\frac{x}{\mu}}\right]=1-e^{-\frac{x}{\mu}}\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{3}$

Нехай$X$ = кількість часу (у хвилинах), який поштовий клерк проводить з клієнтом. Час, як відомо з історичних даних, має середню кількість часу, рівну чотирьом хвилинам.

Враховується, що$\mu = 4$ хвилини, тобто середній час, який клерк проводить з замовником, становить 4 хвилини. Пам'ятайте, що ми все ще робимо ймовірність, і, таким чином, нам потрібно сказати параметри населення, такі як середнє значення. Щоб робити будь-які розрахунки, нам потрібно знати середнє значення розподілу: історичний час надання послуги, наприклад. Знання історичного середнього дозволяє обчислити параметр розпаду, м.

$m=\frac{1}{\mu}$. Тому,$m=\frac{1}{4}=0.25$.

Коли в позначенні використовується параметр розпаду, m, функція щільності ймовірності представляється у вигляді$f(x)=m e^{-m x}$, яка є просто вихідною формулою з m заміщеним на$\frac{1}{\mu}$, або$f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}$.

Для обчислення ймовірностей для експоненціальної функції щільності ймовірностей нам потрібно використовувати функцію кумулятивної щільності. Як показано нижче, крива для функції кумулятивної щільності:

$f(x) = 0.25e^{–0.25x}$де x - мінімум нуль і$m = 0.25$.

Наприклад,$f(5) = 0.25e^{(-0.25)(5)} = 0.072$. Іншими словами, функція має значення .072 коли$x = 5$.

Графік виглядає наступним чином:

Малюнок$\PageIndex{13}$

Зверніть увагу, що графік є кривою зниження. Коли$x = 0$,

$f(x) = 0.25e^{(−0.25)(0)} = (0.25)(1) = 0.25 = m$. Максимальне значення на осі y завжди$m$, одне ділиться на середнє.

Вправа$\PageIndex{3}$

Кількість часу покупки подружжям для ювілейних листівок можна змоделювати експоненціальним розподілом із середньою кількістю часу, рівним восьми хвилинам. Запишіть розподіл, вкажіть функцію щільності ймовірності та графік розподілу.

Приклад$\PageIndex{4}$

а Використовуючи інформацію в прикладі$\PageIndex{3}$, знайдіть ймовірність того, що клерк витрачає чотири-п'ять хвилин з випадково обраним клієнтом.

Відповідь

а. знайти$P (4 < x < 5)$.
Функція кумулятивного розподілу (CDF) дає область зліва.
$P(x < x) = 1 – e^{–mx}$
$P(x < 5) = 1 – e^{(–0.25)(5)} = 0.7135$і$P(x < 4) = 1 – e^{(–0.25)(4)} = 0.6321$
$P(4 < x < 5)= 0.7135 – 0.6321 = 0.0814$

Малюнок 5.14

Вправа$\PageIndex{4}$

Кількість днів, на які мандрівники купують авіаквитки, можна змоделювати експоненціальним розподілом із середньою кількістю часу, рівним 15 днів. Знайдіть ймовірність того, що мандрівник придбає квиток менше, ніж за десять днів до цього. Скільки днів чекають половина всіх мандрівників?

Приклад$\PageIndex{5}$

В середньому якась комп'ютерна частина вистачає на десять років. Тривалість часу, яку триває комп'ютерна частина, розподіляється експоненціально.

а. яка ймовірність того, що комп'ютерна частина служить більше 7 років?

Відповідь

а. нехай$x =$ кількість часу (у роках) триває комп'ютерна частина.
\ mu = 10 так$m=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{10}=0.1$
знайти$P(x > 7)$. Намалюйте графік.
$P(x > 7) = 1 – P(x < 7)$.
З тих$P(X < x) = 1 – e^{–mx}$ пір$P(X > x) = 1 – ( 1 –^{e–mx}) = e^{–mx}$
$P(x > 7) = e(–0.1)(7) = 0.4966$. Імовірність того, що комп'ютерна частина служить більше семи років, є$0.4966$.

Малюнок$\PageIndex{15}$

б. в середньому, як довго триватимуть п'ять комп'ютерних частин, якщо вони використовуються одна за одною?

Відповідь

б. в середньому одна комп'ютерна частина вистачає на десять років. Тому п'ять комп'ютерних деталей, якщо вони використовуються одразу за одною, прослужать, в середньому, (5) (10) = 50 років.

d Яка ймовірність того, що комп'ютерна частина триває від дев'яти до 11 років?

Відповідь

d. знайти$P (9 < x < 11)$. Намалюйте графік.

Малюнок$\PageIndex{16}$

$P(9 < x < 11) = P(x < 11) – P(x < 9) = (1 – e^{(–0.1)(11)}) – (1 – e^{(–0.1)(9)}) = 0.6671 – 0.5934 = 0.0737$. Імовірність того, що комп'ютерна частина триває від дев'яти до 11 років, є$0.0737$.

Вправа$\PageIndex{5}$

В середньому пара кросівок може тривати 18 місяців, якщо використовувати її щодня. Тривалість часу кросівок останнього розподілена експоненціально. Яка ймовірність того, що пара кросівок триває більше 15 місяців? В середньому, як довго триватимуть шість пар кросівок, якщо вони використовуються одна за одною? Вісімдесят відсотків кросівок тривають не більше, скільки часу, якщо використовувати кожен день?

Приклад$\PageIndex{6}$

Припустимо, що тривалість телефонного дзвінка, в хвилинах, є експоненціальною випадковою величиною з параметром розпаду$\frac{1}{12}$. Параметр розпаду p [- ще один спосіб перегляду 1/λ. Якщо інша людина приїжджає на громадський телефон безпосередньо перед вами, знайдіть ймовірність того, що вам доведеться чекати більше п'яти хвилин. Нехай X = тривалість телефонного дзвінка, у хвилинах.

Що таке$m, \mu$, і$\sigma$? Імовірність того, що потрібно почекати більше п'яти хвилин, становить _______.

Відповідь

$m = \frac{1}{12}$

$\mu = 12$

$\sigma = 12$

$P(x > 5) = 0.6592$

Приклад$\PageIndex{7}$

Час очікування між подіями часто моделюється за допомогою експоненціального розподілу. Наприклад, припустимо, що в середньому 30 клієнтів на годину надходять в магазин і час між прибуттями розподіляється експоненціально.

1. В середньому, скільки хвилин проходить між двома послідовними заїздами?
2. Коли магазин вперше відкривається, скільки часу в середньому потрібно, щоб три клієнти прибули?
3. Після прибуття клієнта знайдіть ймовірність того, що наступний клієнт приїде менше однієї хвилини.
4. Після прибуття клієнта знайдіть ймовірність того, що наступний клієнт приїде більше п'яти хвилин.
5. Чи є експоненціальний розподіл розумним для цієї ситуації?

Відповідь

a. Оскільки ми очікуємо, що 30 клієнтів прибудуть на годину (60 хвилин), ми очікуємо, що в середньому один клієнт прибуде кожні дві хвилини в середньому.

b.Оскільки один клієнт прибуває кожні дві хвилини в середньому, три клієнти приїдуть в середньому шість хвилин.

c.Нехай$X =$ час між заїздами, в хвилинах. За частиною а$\mu = 2$, так$m = \frac{1}{2}= 0.5$.
Сукупна функція розподілу є$P(X < x) = 1 – e^{(-0.5)(x)}$
Таким чином$P(X < 1) = 1 – e^{(–0.5)(1)} = 0.3935$.

Малюнок$\PageIndex{17}$

д$P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – (1 – e^{(-0.5)(5)}) = e^{–2.5} \approx 0.0821$.

Малюнок$\PageIndex{18}$

Ця модель передбачає, що один клієнт прибуває одночасно, що може бути нерозумним, оскільки люди можуть робити покупки групами, що призводить до того, що кілька клієнтів прибувають одночасно. Він також передбачає, що потік клієнтів не змінюється протягом дня, що не діє, якщо деякі часи дня зайняті більше, ніж інші.

Незапам'ятованість експоненціального розподілу

Нагадаємо, що кількість часу між клієнтами для розглянутого раніше поштового клерка розподіляється експоненціально із середнім значенням двох хвилин. Припустимо, що з моменту прибуття останнього клієнта минуло п'ять хвилин. Оскільки зараз минуло незвично довгий проміжок часу, здавалося б, більш імовірно, що клієнт прибуде протягом наступної хвилини. З експоненціальним розподілом це не так - додатковий час, витрачений на очікування наступного клієнта, не залежить від того, скільки часу вже минуло з моменту останнього клієнта. Це називається властивістю без пам'яті. Функції експоненціальної та геометричної щільності ймовірностей є єдиними функціями ймовірності, які мають властивість без пам'яті. Зокрема, властивість без пам'яті говорить про те, що

$P(X > r + t | X > r) = P (X > t)$для всіх$r \geq 0$ і$t \geq 0$

Наприклад, якщо з моменту останнього прибуття клієнта минуло п'ять хвилин, то ймовірність того, що до прибуття наступного клієнта пройде більше однієї хвилини, обчислюється за допомогою r = 5 і t = 1 у вищезгаданому рівнянні.

$P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = e^{(-0.5)(1)} = 0.6065$.

Це така ж ймовірність, що і очікування більше однієї хвилини, поки клієнт приїде після попереднього прибуття.

Експоненціальний розподіл часто використовується для моделювання довговічності електричного або механічного пристрою. У $\PageIndex{5}$прикладі термін служби певної комп'ютерної частини має експоненціальний розподіл із середнім значенням десяти років. Властивість без пам'яті говорить про те, що знання того, що сталося в минулому, не впливає на майбутні ймовірності. У цьому випадку це означає, що стара деталь не має більшої ймовірності зламатися в будь-який конкретний час, ніж абсолютно нова деталь. Іншими словами, частина залишається такою ж хорошою, як нова, поки вона раптово не зламається. Наприклад, якщо деталь проіснувала вже десять років, то ймовірність того, що вона триває ще сім років$P(X > 17|X > 10) = P(X > 7) = 0.4966$, є, де вертикальна лінія читається як «дана».

Приклад$\PageIndex{8}$

Знову зверніться до поштового клерка, де час, який проводить поштовий клерк зі своїм клієнтом, має експоненціальний розподіл із середнім значенням чотирьох хвилин. Припустимо, клієнт провів чотири хвилини з поштовим клерком. Яка ймовірність того, що він або вона проведе хоча б додаткові три хвилини з поштовим клерком?

Параметр розпаду$X$ є$m = \frac{1}{4} = 0.25$, так$X \sim Exp(0.25)$.

Функція кумулятивного розподілу є$P(X < x) = 1 – e^{–0.25x}$.

Ми хочемо знайти$P (X > 7|X > 4)$. Майно без пам'яті говорить про це$P (X > 7|X > 4) = P (X > 3)$, тому нам просто потрібно знайти ймовірність того, що клієнт витрачає більше трьох хвилин з поштовим клерком.

Це$P(X > 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – (1 – e^{–0.25⋅3}) = e^{–0.75} \approx 0.4724$.

Малюнок$\PageIndex{19}$

Зв'язок між Пуассоном і експоненціальним розподілом

Існує цікавий зв'язок між експоненціальним розподілом і розподілом Пуассона. Припустимо, що час, що проходить між двома послідовними подіями, слідує за експоненціальним розподілом із середнім значенням$\mu$ одиниць часу. Також припустимо, що ці часи є незалежними, а це означає, що час між подіями не впливає час між попередніми подіями. Якщо ці припущення дотримуються, то кількість подій за одиницю часу слідує за розподілом Пуассона із середнім значенням$\mu$. Нагадаємо, що якщо$X$ має розподіл Пуассона зі$\mu$ середнім, то$P(X=x)=\frac{\mu^{x_{e}-\mu}}{x !}$.

Формула для експоненціального розподілу:$P(X=x)=m e^{-m x}=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}$ де$m =$ параметр швидкості, або$\mu =$ середній час між входженнями.

Ми бачимо, що експоненціальна є двоюрідним братом розподілу Пуассона, і вони пов'язані за допомогою цієї формули. Існують важливі відмінності, які роблять кожен розподіл актуальним для різних типів проблем ймовірності.

По-перше, Пуассона має дискретну випадкову величину$x$, де час; безперервна змінна штучно розбита на дискретні шматки. Ми побачили, що кількість входжень події в заданому часовому інтервалі$x$, слідує за розподілом Пуассона.

Наприклад, кількість разів дзвонить телефон на годину. На відміну від цього, час між входженнями слідує за експоненціальним розподілом. Наприклад. Телефон просто дзвонив, як довго це буде, поки він знову не дзвонить? Ми вимірюємо довжину часу інтервалу, безперервної випадкової величини, експоненціальної, а не події протягом інтервалу, Пуассона.

Експоненціальний розподіл проти розподілу Пуассона

Візуальний спосіб показати як подібності, так і відмінності між цими двома розподілами - це часова лінія.

Малюнок 5.20

Випадкова величина для розподілу Пуассона дискретна і, таким чином, підраховує події протягом заданого періоду часу$\PageIndex{20}$,$t_1$ щоб$t_2$ на малюнку, і обчислює ймовірність виникнення цього числа. Кількість подій, чотири на графіку, вимірюється при підрахунку чисел; отже, випадкова величина Пуассона є дискретною випадковою величиною.

Експоненціальний розподіл ймовірностей обчислює ймовірності проходження часу, неперервна випадкова величина. На малюнку$\PageIndex{20}$ це показано у вигляді дужки від t ₁ до наступного входження події, позначеної трикутником.

Класичні питання розподілу Пуассона: «скільки людей приїдуть до мого вікна перевірки в наступну годину?».

Класичні питання експоненціального розподілу - це «скільки часу буде, поки наступна людина не приїде», або варіант, «як довго людина залишиться тут, як тільки вона приїде?».

Знову ж таки, формула експоненціального розподілу така:

$$f(x)=m e^{-m x} \operatorname{orf}(x)=\frac{1}{\mu} e^{-\frac{1}{\mu} x}\nonumber$$

Ми бачимо відразу схожість між експоненціальною формулою і формулою Пуассона.

$$P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber$$

Обидві функції щільності ймовірності базуються на залежності між часом та експоненціальним зростанням або розпадом. «е» у формулі є константою з наближеною величиною 2,71828 і є основою натуральної логарифмічної експоненціальної формули зростання. Коли люди кажуть, що щось зросло експоненціально, це те, про що вони говорять.

Приклад експоненціального та Пуассона дасть зрозуміти, що відмінності були двома. Він також покаже цікаві програми, які вони мають.

Розподіл Пуассона

Припустимо, що історично 10 клієнтів прибувають на касові лінії щогодини. Пам'ятайте, що це все ще ймовірність, тому нам доведеться розповісти про ці історичні цінності. Ми бачимо, що це проблема ймовірності Пуассона.

Ми можемо помістити цю інформацію в функцію щільності ймовірності Пуассона і отримати загальну формулу, яка обчислить ймовірність будь-якої конкретної кількості клієнтів, які прибувають в наступну годину.

Формула призначена для будь-якого значення випадкової величини, яку ми вибрали, і тому х ставиться у формулу. Ось така формула:

$$f(x)=\frac{10^{x} e^{-10}}{x !}\nonumber$$

Як приклад, ймовірність того, що 15 осіб прибудуть до каси в наступну годину, становила б

$$P(x=15)=\frac{10^{15} e^{-10}}{15 !}=0.0611\nonumber$$

Тут ми вставили х = 15 і розрахували ймовірність того, що в наступну годину приїдуть 15 чоловік, становить 0.061.

Експоненціальний розподіл

Якщо ми збережемо ті ж історичні факти, що 10 клієнтів приїжджають щогодини, але нас зараз цікавить час обслуговування, яке людина проводить за прилавком, то ми б скористалися експоненціальним розподілом. Функція експоненціальної ймовірності для будь-якого значення x, випадкової величини, для цього конкретного касового лічильника історичних даних:

$$f(x)=\frac{1}{.1} e^{-x / 1}=10 e^{-10 x}\nonumber$$

Щоб обчислити$\mu$, історичний середній час обслуговування, ми просто ділимо кількість людей, які прибувають за годину, 10, на часовий проміжок, одну годину, і мають$\mu = 0.1$. Історично склалося, що люди проводять 0,1 години біля каси, або 6 хвилин. Це пояснює .1 у формулі.

Існує природна плутанина як$\mu$ в Пуассоні, так і в експоненціальних формулах. Вони мають різне значення, хоча і мають один і той же символ. Середнє значення експоненції ділиться на середнє значення Пуассона. Якщо вам дано історичну кількість прибуття, у вас є середнє значення Пуассона. Якщо вам дається історичний проміжок часу між подіями, ви маєте середнє значення експоненціального.

Продовжуючи наш приклад на касі клерка; якщо ми хотіли знати ймовірність того, що людина витратить 9 хвилин або менше на перевірку, то ми використовуємо цю формулу. По-перше, ми перетворюємо в ті ж одиниці часу, які є частинами однієї години. Дев'ять хвилин - це 0,15 однієї години. Далі відзначимо, що ми просимо діапазон значень. Це завжди має місце для безперервної випадкової величини. Запишемо питання ймовірності так:

$$p(x \leq 9)=1-10 e^{-10 x}\nonumber$$

Тепер ми можемо поставити цифри в формулу, і ми маємо наш результат.

$$p(x=.15)=1-10 e^{-10(.15)}=0.7769\nonumber$$

Імовірність того, що клієнт витратить 9 хвилин або менше на перевірку, є$0.7769$.

Ми бачимо, що у нас є висока ймовірність вийти менш ніж за дев'ять хвилин і крихітна ймовірність того, що 15 клієнтів прибудуть в наступну годину.