5.2: Рівномірний розподіл

Last updated
Save as PDF

Page ID: 99944

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Рівномірний розподіл є безперервним розподілом ймовірностей і стосується подій, які однаково ймовірні. При розробці проблем, які мають рівномірний розподіл, будьте обережні, якщо дані є включними або виключними з кінцевих точок.

Математичне твердження рівномірного розподілу дорівнює

\(f(x) = \frac{1}{b-a}\)для\(a \leq x \leq b\)

де\(a =\) найнижче значення\(x\)\(b =\) і найбільше значення\(x\).

Формули теоретичного середнього і стандартного відхилення

\(\mu=\frac{a+b}{2}\)і\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Дані, які слідують за кількістю пасажирів на 35 різних чартерних рибальських човнів. Середнє значення зразка = 7,9, а стандартне відхилення вибірки = 4,33. Дані слідують за рівномірним розподілом, де всі значення між нулем і 14 включно однаково вірогідні. Викладіть значення\(a\) і\(b\). Запишіть розподіл в належних позначеннях, і обчисліть теоретичне середнє і стандартне відхилення.

\ (\ індекс сторінки {1}\) «>

1	12	4	10	4	14	11
7	11	4	13	2	4	6
3	10	0	12	6	9	10
5	13	4	10	14	12	11
6	10	11	0	11	13	2

Таблиця 5.1

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Кількість часу, в хвилинах, яке людина повинна чекати автобуса, рівномірно розподіляється між нулем і 15 хвилинами включно.

а. яка ймовірність того, що людина чекає менше 12,5 хвилин?

Відповідь

а. нехай\(X\) = кількість хвилин, які людина повинна чекати автобуса. \(a = 0\)і\(b = 15\). \(X \sim U(0, 15)\). Запишіть функцію щільності ймовірності. \(f(x) = \frac{1}{15-0}=\frac{1}{15}\)для\(0 \leq x \leq 15\).

Знайти\(P(x < 12.5)\). Намалюйте графік.

\[P(x<k)=\text { (base) (height) }=(12.5-0)\left(\frac{1}{15}\right)=0.8333\nonumber\]

Імовірність того, що людина чекає менше 12,5 хвилин, становить 0,8333.

На цьому показаний графік функції f (x) = 1/15. Горизонтальна лінія коливається від точки (0, 1/15) до точки (15, 1/15). Вертикальна лінія проходить від осі x до кінця лінії в точці (15, 1/15), створюючи прямокутник. Область затінюється всередині прямокутника від x = 0 до x = 12,5.

б. в середньому, скільки часу повинен чекати людина? Знайти середнє\(\mu\), і стандартне відхилення,\(\sigma\).

Відповідь: б\(\mu=\frac{a+b}{2}=\frac{15+0}{2}=7.5\). В середньому людина повинна почекати 7,5 хвилин.

\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}=\sqrt{\frac{(15-\theta)^{2}}{12}}=4.3\). Стандартне відхилення становить 4,3 хвилини.

c Дев'яносто відсотків часу, час, який людина повинна чекати, падає нижче якого значення?

Примітка

Це просить ^90-й процентиль.

Відповідь

c. знайти ^90-й процентиль. Намалюйте графік. Нехай\(k =\) ^90-й процентиль.

\ (P (x<k) >
\(0.90=(k)\left(\frac{1}{15}\right)\)

\(k=(0.90)(15)=13.5\)

^90-й процентиль становить 13,5 хвилин. Дев'яносто відсотків часу людина повинна чекати не більше 13,5 хвилин.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Загальна тривалість бейсбольних ігор у вищій лізі в сезоні 2011 рівномірно розподілена між 447 годин і 521 годин включно.

Знайдіть\(a\)\(b\) і опишіть, що вони собою представляють.
Напишіть дистрибутив.
Знайдіть середнє і стандартне відхилення.
Яка ймовірність того, що тривалість ігор для команди в сезоні 2011 року становить від 480 до 500 годин?