5.2: Рівномірний розподіл

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 5.1: Властивості неперервних функцій щільності ймовірностей
- 5.3: Експоненціальний розподіл

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Рівномірний розподіл є безперервним розподілом ймовірностей і стосується подій, які однаково ймовірні. При розробці проблем, які мають рівномірний розподіл, будьте обережні, якщо дані є включними або виключними з кінцевих точок.

Математичне твердження рівномірного розподілу дорівнює

$f(x) = \frac{1}{b-a}$ для $a \leq x \leq b$

де $a =$ найнижче значення $x$ $b =$ і найбільше значення $x$ .

Формули теоретичного середнього і стандартного відхилення

$\mu=\frac{a+b}{2}$ і $\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}$

Вправа $\PageIndex{1}$

Дані, які слідують за кількістю пасажирів на 35 різних чартерних рибальських човнів. Середнє значення зразка = 7,9, а стандартне відхилення вибірки = 4,33. Дані слідують за рівномірним розподілом, де всі значення між нулем і 14 включно однаково вірогідні. Викладіть значення $a$ і $b$ . Запишіть розподіл в належних позначеннях, і обчисліть теоретичне середнє і стандартне відхилення.

\ (\ індекс сторінки {1}\) «>

1	12	4	10	4	14	11
7	11	4	13	2	4	6
3	10	0	12	6	9	10
5	13	4	10	14	12	11
6	10	11	0	11	13	2

Таблиця 5.1

Приклад $\PageIndex{2}$

Кількість часу, в хвилинах, яке людина повинна чекати автобуса, рівномірно розподіляється між нулем і 15 хвилинами включно.

а. яка ймовірність того, що людина чекає менше 12,5 хвилин?

Відповідь

а. нехай $X$ = кількість хвилин, які людина повинна чекати автобуса. $a = 0$ і $b = 15$ . $X \sim U(0, 15)$ . Запишіть функцію щільності ймовірності. $f(x) = \frac{1}{15-0}=\frac{1}{15}$ для $0 \leq x \leq 15$ .

Знайти $P(x < 12.5)$ . Намалюйте графік.

$P(x<k)=\text { (base) (height) }=(12.5-0)\left(\frac{1}{15}\right)=0.8333\nonumber$

Імовірність того, що людина чекає менше 12,5 хвилин, становить 0,8333.

На цьому показаний графік функції f (x) = 1/15. Горизонтальна лінія коливається від точки (0, 1/15) до точки (15, 1/15). Вертикальна лінія проходить від осі x до кінця лінії в точці (15, 1/15), створюючи прямокутник. Область затінюється всередині прямокутника від x = 0 до x = 12,5.

б. в середньому, скільки часу повинен чекати людина? Знайти середнє $\mu$ , і стандартне відхилення, $\sigma$ .

Відповідь: б $\mu=\frac{a+b}{2}=\frac{15+0}{2}=7.5$ . В середньому людина повинна почекати 7,5 хвилин.

$\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}=\sqrt{\frac{(15-\theta)^{2}}{12}}=4.3$ . Стандартне відхилення становить 4,3 хвилини.

c Дев'яносто відсотків часу, час, який людина повинна чекати, падає нижче якого значення?

Примітка

Це просить ^90-й процентиль.

Відповідь

c. знайти ^90-й процентиль. Намалюйте графік. Нехай $k =$ ^90-й процентиль.

\ (P (x<k) >
$0.90=(k)\left(\frac{1}{15}\right)$

$k=(0.90)(15)=13.5$

^90-й процентиль становить 13,5 хвилин. Дев'яносто відсотків часу людина повинна чекати не більше 13,5 хвилин.

Вправа $\PageIndex{2}$

Загальна тривалість бейсбольних ігор у вищій лізі в сезоні 2011 рівномірно розподілена між 447 годин і 521 годин включно.

Знайдіть $a$ $b$ і опишіть, що вони собою представляють.
Напишіть дистрибутив.
Знайдіть середнє і стандартне відхилення.
Яка ймовірність того, що тривалість ігор для команди в сезоні 2011 року становить від 480 до 500 годин?