4.1: Вступ до спектрального аналізу

Багато часових рядів, обговорюваних у попередніх розділах, відображали сильні періодичні компоненти: номери сонячних плям Приклад 1.1.1, кількість захоплених рисі Прикладу 1.1.2 та австралійські дані про продаж вина Приклад 1.4.1. Часто існує очевидний вибір на період$d$ такої циклічної частини, як річна картина продажів вина. Враховуючи$d$, можна було б продовжити, видаляючи сезонні ефекти, як у розділі 1.4. У перших двох прикладах, однак, дещо складніше визначити точне значення$d$. У цьому розділі обговорюється загальний метод для розгляду періодичних компонентів часового ряду. Щоб ускладнити справу, зазвичай трапляється, що в часовому ряду одночасно присутні кілька циклічних закономірностей. Як приклад нагадаємо дані південного індексу коливань (SOI), які демонструють як річну картину, так і так звану модель El Ni$\tilde{n}$ o.

Функції синуса і косинуса є прототипами періодичних функцій. Вони будуть використані тут для опису циклічної поведінки в часових рядах. Перш ніж це зробити, цикл визначається як один повний період синуса або косинуса функції протягом часового інтервалу довжини$2\pi$. Визначте також частоту

$$\omega=\dfrac 1d \nonumber$$

як кількість циклів за спостереження, де$d$ позначається період часового ряду (тобто кількість спостережень в циклі). Для щомісячних спостережень з річним періодом,$d=12$ а значить і$\omega=1/12=0.083$ циклами за спостереження. Тепер перегляньте процес

$$X_t=R\sin(2\pi\omega t+\varphi) \nonumber$$

як введено в прикладі 1.2.2, використовуючи конвенцію$\lambda=2\pi\omega$. Щоб включити випадковість в цей процес, виберіть амплітуду$R$ і фазу,$\varphi$ щоб бути випадковими величинами. Еквівалентне представлення цього процесу дається

$$X_t=A\cos(2\pi\omega t)+B\sin(2\pi\omega t), \nonumber$$

з$A=R\sin(\varphi)$ і,$B=R\cos(\varphi)$ як правило, незалежні стандартні нормальні варіації. Потім,$R^2=A^2+B^2$ є$\chi$ -квадрат випадкової величини з 2 ступенями свободи і$\varphi=\tan^{-1}(B/A)$ рівномірно розподіляється по$(-\pi,\pi]$. Причому,$R$ і$\varphi$ є незалежними. Вибравши зараз значення$\omega$ однієї конкретної періодичності можна описати. Для розміщення більше одного, здається природним розглянути суміші цих періодичних серій з декількома частотами і амплітудами:

$$X_t=\sum_{j=1}^m \big[A_j\cos(2\pi\omega_jt)+B_j\sin(2\pi\omega_jt)\big], \qquad t\in\mathbb{Z}, \nonumber$$

де$A_1,\ldots,A_m$ і$B_1,\ldots,B_m$ є незалежними випадковими величинами з нульовим середнім і$\sigma_1^2,\ldots,\sigma_m^2$ дисперсіями, і$\omega_1,\ldots,\omega_m$ є різними частотами. Можна показати, що$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ є слабо стаціонарним процесом з лаг- ч ACVF

$$\gamma(h)=\sum_{j=1}^m\sigma_j^2\cos(2\pi\omega_j h),\qquad h\in\mathbb{Z}. \nonumber$$

Останній результат дає, зокрема, що$\gamma(0)=\sigma_1^2+\ldots+\sigma_m^2$. Дисперсія$X_t$ - це, отже, сума дисперсій складових.

Приклад 4.1.1. Нехай$m=2$ і вибирайте$A_1=B_1=1$,$A_2=B_2=4$ щоб бути постійним так само, як$\omega_1=1/12$ і і$\omega_2=1/6$. Це означає, що

$$X_t=X_t^{(1)}+X_t^{(2)} =\big[\cos(2\pi t/12)+\sin(2\pi t/12)\big]+\big[4\cos(2\pi t/6)+4\sin(2\pi t/6)\big] \nonumber$$

це сума двох періодичних складових, з яких одна демонструє річний цикл, а інша - цикл на півроку. Для всіх задіяних процесів реалізації$n=48$ спостережень (дані за 4 роки) відображені на малюнку 4.1. Також показаний графік четвертого часового ряду, який містить$X_t$ спотворений стандартним нормальним незалежним шумом,$\tilde X_t$. Відповідний код R такий:

> t = 1:
48> x1 = cos (2* пі* т/12) +гріх (2* пі* т/12)
> x2 = 4* cos (2* пі* т/6) +4* гріх (2* пі* т/6)
> х = х1+х2
> тильдекс = х+норма (48)

Зверніть увагу, що квадрат амплітуди$X_t^{(1)}$ дорівнює$1^2+1^2=2$. Таким чином, максимальне і$X_t^{(1)}$ мінімальне значення є$\pm\sqrt{2}$. Аналогічно отримуємо і$\pm\sqrt{32}$ для другого компонента.

Для статистика зараз важливо розробити інструменти для відновлення періодичності даних. Гілка статистики, що займається цією проблемою, називається спектральним аналізом. Стандартний метод в цій області заснований на періодограмі, яка введена зараз. Припустимо на той момент, що параметр частоти$\omega_1=1/12$ в прикладі 4.1.1 відомий. Для отримання оцінок$A_1$ і$B_1$, можна спробувати запустити регресію за допомогою пояснювальних змінних$Y_{t,1}=\cos(2\pi t/12)$ або$Y_{t,2}=\sin(2\pi t/12)$ обчислити оцінювачі найменших квадратів

\ почати {вирівнювати*}
\ капелюх A_1=&\ dfrac {\ сума_ {t=1} ^nx_ty_ {t,1}} {\ сума {t=1} ^nY_ {t,1} ^2} =\ dfrac 2n\ sum_ {t=1} ^nx_t\ cos (2\ пі т/12),\\ [.2см]
\ капелюх B_1=&\ dfrac {\ сума_ {t=1} ^nx_ty_ {t,2}} {\ sum_ {t=1} ^nY_ {t,2} ^2} =\ dfrac 2n\ sum_ {t=1} ^nx_t\ sin (2\ пі т/12).
\ end {вирівнювати*}

Малюнок 4.1: Графіки часових _{рядів (X t} ⁽¹⁾), (X _t ⁽²⁾), (X _t) та$\tilde X_t$

Оскільки, в цілому, задіяні частоти не будуть відомі статистику до аналізу даних, вищесказане пропонує вибрати ряд потенційних\(\omega's, say j/n for $j=1,\ldots,n/2$ і запустити тривалу регресію форми

$$X_t=\sum_{j=0}^{n/2}\big[A_j\cos(2\pi jt/n)+B_j\sin(2\pi jt/n)\big]. \tag{4.1.1}$$

Це призводить до найменших квадратів оцінок$\hat A_j$ і$\hat B_j$ з яких слід вибирати «значущі». Зверніть увагу, що регресія в 4.1.1 є ідеальним, тому що існує стільки невідомих, скільки змінних! Зауважте також, що

$$P(j/n)=\hat A_j^2+\hat B_j^2 \nonumber$$

є по суті (аж до нормалізації) оцінювачем кореляції між часовим рядом$X_t$ і відповідною сумою періодичних косинусних і синусоїдних функцій на частоті$j/n$. Колекція всіх$P(j/n)$$j=1,\ldots,n/2$, називається масштабована періодограма. Його можна швидко обчислити за допомогою алгоритму, відомого як швидке перетворення Фур'є (БПФ), який, в свою чергу, заснований на дискретному перетворенні Фур'є (DFT)

$$d(j/n)=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{t=1}^nX_t\exp(-2\pi ijt/n). \nonumber$$

Частоти$j/n$ називаються Фур'є або основними частотами. Так як$\exp(-ix)=\cos(x)-i\sin(x)$ і$|z|^2=z\bar{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$ для будь-якого комплексного числа випливає$z=a+ib$, що

$$I(j/n)=|d(j/n)|^2=\dfrac 1n\left(\sum_{t=1}^nX_t\cos(2\pi jt/n)\right)^2+\dfrac 1n\left(\sum_{t=1}^nX_t\sin(2\pi jt/n)\right)^2. \nonumber$$

Кількість$I(j/n)$ позначається як періодограма. Відразу випливає, що періодограма і масштабована періодограма пов'язані через ідентичність$4I(j/n)=nP(j/n)$.

Приклад 4.1.2. Використовуючи вирази та позначення Прикладу 4.1.1, періодограма та масштабована періодограма обчислюються в R наступним чином:

> t = 1:48
> l = abs (fft (x) /sqrt (48)) ^
2> P = 4*
I/48> f = 0:24
/48>ділянка (f, P [1:25] , тип = «л»)
> аблайн (v=1/12)
> аблайн (v=1/6)

Відповідну (масштабовану) періодограмму для$(\tilde X_t)$ можна отримати аналогічним чином. Масштабовані періодограми показані на лівій і середній панелі малюнка 4.2. На правій панелі відображається масштабована періодограма іншої версії,$(\tilde X_t)$ в якій стандартний нормальний шум був замінений звичайним шумом з дисперсією 9. З цих графіків видно, що періодичність шести місяців добре видно на графіках (див. Пунктирні вертикальні лінії при x=1/6. Менш виражений річний цикл (вертикальна лінія при x = 1/12 все ще видно на перших двох масштабованих періодограмах, але втрачається, якщо дисперсія шуму збільшується, як на правій графіці. Однак зауважте, що шкала y відрізняється для всіх трьох графіків.

Малюнок 4.2: Масштабовані періодограми ($X_t$),$(\tilde X_t^{(1)})$,$(\tilde X_t^{(2)})$

В ідеальній ситуації, коли ми спостерігаємо періодичну складову без додаткового забруднення шумом, ми можемо, крім того, зрозуміти, чому періодограма може бути корисною для виявлення дисперсійного розкладання зверху. Ми показали в рядках, що передують Приклад 4.1.1, що квадратні амплітуди$X_{t}^{(1)}$ і$X_t^{(2)}$ складають 2 і 32 відповідно. Ці значення легко зчитуються з масштабованої періодограми на лівій панелі малюнка 4.2. Забруднення шумом змінює ці значення.

У наступному розділі встановлено, що підхід в часовій області (заснований на властивостях ACVF, тобто регресії за минулими значеннями часового ряду) та підхід частотної області (з використанням періодичного функціонального підходу через фундаментальні частоти, тобто регресія на синусоїдних і косинусних функціях) еквівалент. Деякі подробиці наведено про спектральну щільність (аналог популяції періодограми) і про властивості самої періодограми.

Автори та атрибуція

• Template:ContribAue
• Template:ContribNakano