4.4: Лінійна фільтрація

Лінійний фільтр використовує конкретні коефіцієнти$(\psi_s\colon s\in\mathbb{Z})$, звані функцією імпульсної відгуку, для перетворення слабо стаціонарної вхідної серії$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ в вихідний ряд$(Y_t\colon t\in\mathbb{Z})$ за допомогою

$$Y_t=\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_sX_{t-s}, \qquad t\in\mathbb{Z}, \nonumber$$

де$\sum_{s=-\infty}^\infty|\psi_s|<\infty$. Потім функція частотної характеристики

$$\Psi(\omega)=\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_s\exp(-2\pi i\omega s) \nonumber$$

чітко визначена. Зверніть увагу, що двоточкове ковзне середнє Приклад 4.2.2 та різнична послідовність$\nabla X_t$ є прикладами лінійних фільтрів. З іншого боку, будь-який\/причинний процес ARMA можна ідентифікувати як лінійний фільтр, застосований до послідовності білого шуму. Неявно це поняття вже використовувалося для обчислення спектральних щільностей у прикладах 4.2.2 та 4.2.3. Щоб дослідити це більш детально, давайте$\gamma_X(h)$ і$\gamma_Y(h)$ позначимо ACVF вхідного процесу$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ і вихідного процесу$(Y_t\colon t\in\mathbb{Z})$ відповідно і позначимо по$f_X(\omega)$ і$f_Y(\omega)$ відповідні спектральні щільності. Нижче наведено основний результат в цьому розділі.

Теорема 4.4.1.

За припущеннями, зробленими в цьому розділі, він вважає, що$f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)$.

Доказ. Спочатку зауважте, що

$\gamma_Y(h)=E\big[(Y_{t+h}-\mu_Y)(Y_t-\mu_Y)]\\[.2cm]$

$=\sum_{r=-\infty}^\infty\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_r\psi_s\gamma(h-r+s)\\[.2cm]$

$=\sum_{r=-\infty}^\infty\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_r\psi_s\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega(h-r+s))f_X(\omega)d\omega\\[.2cm]$

$=\int_{-1/2}^{1/2}\Big(\sum_{r=-\infty}^\infty\psi_r\exp(-2\pi i\omega r)\Big)\Big(\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_s\exp(2\pi i\omega s)\Big)\exp(2\pi i\omega h)f_X(\omega)d\omega\\[.2cm]$

$=\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega h)|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)d\omega.$

Тепер визначте$f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)$, що є твердженням теореми.

Теорема 4.4.1 пропонує спосіб обчислення спектральної щільності причинного процесу ARMA. З цією метою нехай$(Y_t\colon t\in\mathbb{Z})$ буде такий причинний ARMA (p, q) процес задовольняє$Y_t=\psi(B)Z_t$, де$(Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim\mbox{WN}(0,\sigma^2)$ і

$$\psi(z)=\dfrac{\theta(z)}{\phi(z)}=\sum_{s=0}^\infty\psi_sz^s,\qquad |z|\leq 1. \nonumber$$

з$\theta(z)$ і$\phi(z)$ є ковзною середньою та авторегресійною поліномом відповідно. Відзначимо, що$(\psi_s\colon s\in\mathbb{N}_0)$ можна розглядати як спеціальну функцію імпульсного відгуку.

Наслідок 4.4.1.

Якщо$(Y_t\colon t\in\mathbb{Z})$ це причинний АРМА (p, q)\) процес. Потім його спектральна щільність задається

$$f_Y(\omega)=\sigma^2\dfrac{|\theta(e^{-2\pi i\omega})|^2}{|\phi(e^{-2\pi i\omega})|^2}. \nonumber$$

Доказ. Застосувати теорему 4.4.1 з вхідною послідовністю$(Z_t\colon t\in\mathbb{Z})$. Тоді$f_Z(\omega)=\sigma^2$, і, крім того, функція частотної характеристики

$$\Psi(\omega)=\sum_{s=0}^\infty\psi_s\exp(-2\pi i\omega s)=\psi(e^{-2\pi i\omega})=\dfrac{\theta(e^{-2\pi i\omega})}{\phi(e^{-2\pi i\omega})}. \nonumber$$

З тих пір$f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)$, доказ повний.

Наслідок 4.4.1 дає простий підхід до визначення параметричних оцінок спектральної щільності для причинно-наслідкових процесів ARMA (p, q) шляхом простої заміни кількості популяції відповідними аналогами вибірки. Це дає оцінювач спектральної густини

$$\hat f(\omega)=\hat\sigma_n^2\dfrac{|\hat\theta(e^{-2\pi i\omega})|^2}{|\hat\phi(e^{-2\pi i\omega})|^2}. \nonumber$$

Тепер будь-який з методів оцінки, розглянутих в розділі 3.5, може бути застосований під час обчислень$\hat f(\omega)$.

Дописувачі

• Template:ContribAue
• Template:ContribNakano