4.4: Лінійна фільтрація
- Page ID
- 97214
Лінійний фільтр використовує конкретні коефіцієнти\((\psi_s\colon s\in\mathbb{Z})\), звані функцією імпульсної відгуку, для перетворення слабо стаціонарної вхідної серії\((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\) в вихідний ряд\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\) за допомогою
\[ Y_t=\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_sX_{t-s}, \qquad t\in\mathbb{Z}, \nonumber \]
де\(\sum_{s=-\infty}^\infty|\psi_s|<\infty\). Потім функція частотної характеристики
\[ \Psi(\omega)=\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_s\exp(-2\pi i\omega s) \nonumber \]
чітко визначена. Зверніть увагу, що двоточкове ковзне середнє Приклад 4.2.2 та різнична послідовність\(\nabla X_t\) є прикладами лінійних фільтрів. З іншого боку, будь-який\/причинний процес ARMA можна ідентифікувати як лінійний фільтр, застосований до послідовності білого шуму. Неявно це поняття вже використовувалося для обчислення спектральних щільностей у прикладах 4.2.2 та 4.2.3. Щоб дослідити це більш детально, давайте\(\gamma_X(h)\) і\(\gamma_Y(h)\) позначимо ACVF вхідного процесу\((X_t\colon t\in\mathbb{Z})\) і вихідного процесу\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\) відповідно і позначимо по\(f_X(\omega)\) і\(f_Y(\omega)\) відповідні спектральні щільності. Нижче наведено основний результат в цьому розділі.
Теорема 4.4.1.
За припущеннями, зробленими в цьому розділі, він вважає, що\(f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)\).
Доказ. Спочатку зауважте, що
\(\gamma_Y(h)=E\big[(Y_{t+h}-\mu_Y)(Y_t-\mu_Y)]\\[.2cm]\)
\(=\sum_{r=-\infty}^\infty\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_r\psi_s\gamma(h-r+s)\\[.2cm]\)
\(=\sum_{r=-\infty}^\infty\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_r\psi_s\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega(h-r+s))f_X(\omega)d\omega\\[.2cm]\)
\(=\int_{-1/2}^{1/2}\Big(\sum_{r=-\infty}^\infty\psi_r\exp(-2\pi i\omega r)\Big)\Big(\sum_{s=-\infty}^\infty\psi_s\exp(2\pi i\omega s)\Big)\exp(2\pi i\omega h)f_X(\omega)d\omega\\[.2cm]\)
\(=\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega h)|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)d\omega.\)
Тепер визначте\(f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)\), що є твердженням теореми.
Теорема 4.4.1 пропонує спосіб обчислення спектральної щільності причинного процесу ARMA. З цією метою нехай\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\) буде такий причинний ARMA (p, q) процес задовольняє\(Y_t=\psi(B)Z_t\), де\((Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim\mbox{WN}(0,\sigma^2)\) і
\[ \psi(z)=\dfrac{\theta(z)}{\phi(z)}=\sum_{s=0}^\infty\psi_sz^s,\qquad |z|\leq 1. \nonumber \]
з\(\theta(z)\) і\(\phi(z)\) є ковзною середньою та авторегресійною поліномом відповідно. Відзначимо, що\((\psi_s\colon s\in\mathbb{N}_0)\) можна розглядати як спеціальну функцію імпульсного відгуку.
Наслідок 4.4.1.
Якщо\((Y_t\colon t\in\mathbb{Z})\) це причинний АРМА (p, q)\) процес. Потім його спектральна щільність задається
\[ f_Y(\omega)=\sigma^2\dfrac{|\theta(e^{-2\pi i\omega})|^2}{|\phi(e^{-2\pi i\omega})|^2}. \nonumber \]
Доказ. Застосувати теорему 4.4.1 з вхідною послідовністю\((Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\). Тоді\(f_Z(\omega)=\sigma^2\), і, крім того, функція частотної характеристики
\[ \Psi(\omega)=\sum_{s=0}^\infty\psi_s\exp(-2\pi i\omega s)=\psi(e^{-2\pi i\omega})=\dfrac{\theta(e^{-2\pi i\omega})}{\phi(e^{-2\pi i\omega})}. \nonumber \]
З тих пір\(f_Y(\omega)=|\Psi(\omega)|^2f_X(\omega)\), доказ повний.
Наслідок 4.4.1 дає простий підхід до визначення параметричних оцінок спектральної щільності для причинно-наслідкових процесів ARMA (p, q) шляхом простої заміни кількості популяції відповідними аналогами вибірки. Це дає оцінювач спектральної густини
\[ \hat f(\omega)=\hat\sigma_n^2\dfrac{|\hat\theta(e^{-2\pi i\omega})|^2}{|\hat\phi(e^{-2\pi i\omega})|^2}. \nonumber \]
Тепер будь-який з методів оцінки, розглянутих в розділі 3.5, може бути застосований під час обчислень\(\hat f(\omega)\).