Повноваження і коріння

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Результати навчання

Підніміть число до влади за допомогою технології.
Візьміть квадратний корінь числа за технологією.
Застосовуйте порядок операцій, коли є корінь або влада.

Це може бути складним завданням, коли ми вперше намагаємось використати технологію, щоб підняти число до сили або взяти квадратний корінь числа. У цьому розділі ми розглянемо деякі вказівки щодо того, як успішно взяти повноваження та коріння числа. Ми також продовжимо нашу практику з порядком операцій, пам'ятаючи, що до тих пір, поки немає дужок, експоненти завжди приходять перед усіма іншими операціями. Ми побачимо, що прийняття сили числа виникає з ймовірністю і приживається до пошуку стандартних відхилень.

Повноваження

Майже кожен калькулятор, комп'ютер, і смартфон може приймати повноваження числа. Потрібно лише пам'ятати, що символ «^» використовується для позначення «до сили». Нам також потрібно пам'ятати, щоб використовувати дужки, якщо нам потрібно змусити іншу арифметику прийти до ступеня.

Приклад $\PageIndex{1}$

Оцінити: $1.04^5$ і округлити до двох знаків після коми.

Рішення

Це, безумовно, вимагає використання технологій. Більшість калькуляторів, будь то ручні калькулятори або комп'ютерні калькулятори, використовують символ «^» (зсув 6 на клавіатурі) для піднесення до степеня. Набираємо:

$1.04^5 = 1.2166529\nonumber$

Нас просять округлити до двох знаків після коми. Оскільки третій десятковий знак - це 6, який дорівнює 5 або більше, ми округляємо, щоб отримати:

$1.04^5\approx1.22\nonumber$

Приклад $\PageIndex{2}$

Оцінити: $2.8^{5.3\times0.17}$ і округлити до двох знаків після коми.

Рішення

Спочатку зауважте, що на комп'ютері ми використовуємо «*» (shift 8) для представлення множення. Якби ми поставили 2,8 ^ 5.3 * 0,17 в калькулятор, ми б отримали неправильну відповідь, оскільки він виконає зведення до степеня перед множенням. Оскільки початкове питання має множення всередині показника, ми повинні змусити калькулятор спочатку виконати множення. Ми можемо гарантувати, що множення відбувається спочатку, включивши дужки:

$2.8 ^{5.3 \times 0.17} = 2.52865\nonumber$

Тепер округляйте до десяткових знаків, щоб отримати:

$2.8^{5.3\times0.17}\approx2.53\nonumber$

Приклад $\PageIndex{3}$

Якщо ми хочемо знайти ймовірність того, що якщо ми кидаємо шестисторонній матриці п'ять разів, що перші два рулони будуть кожен з 1 або 2, а останні три рулони будуть парними, то ймовірність:

$\left(\frac{1}{3}\right)^2\:\times\left(\frac{1}{2}\right)^3\nonumber$

Яка ця ймовірність округлена до трьох знаків після коми?

Рішення

Знаходимо:

$(1 / 3) ^ 2 (1 / 2) ^ 3 \approx 0.013888889\nonumber$

Тепер округляйте до трьох знаків після коми, щоб отримати

$\left(\frac{1}{3}\right)^2\:\times\left(\frac{1}{2}\right)^3 \approx0.014\nonumber$

Квадратні коріння

Квадратні коріння зустрічаються часто в статистиці, особливо коли ми дивимося на стандартні відхилення. Нам потрібно мати можливість використовувати калькулятор або комп'ютер для обчислення квадратного кореня числа. Існує два підходи, які зазвичай працюють. Перший підхід полягає у використанні $\sqrt{\:\:}$ символу на калькуляторі, якщо він є. Для комп'ютера зазвичай працює використання sqrt (). Наприклад, якщо ви введете 10* sqrt (2) у рядку пошуку Google, він покаже вам 14.1421356. Другий спосіб, який працює для майже будь-який калькулятор, будь то ручний калькулятор або комп'ютерний калькулятор, полягає в тому, щоб зрозуміти, що квадратний корінь числа є те ж саме, що і число до 1/2 потужності. Для того щоб не довелося загортати 1/2 в дужки, простіше набирати число до 0,5 потужності.

Приклад $\PageIndex{3}$

Оцінити $\sqrt{42}$ і округлити відповідь до двох знаків після коми.

Рішення

Залежно від технології, яку ви використовуєте, ви або введіть символ квадратного кореня, а потім цифру 42, а потім закрийте дужки, якщо вони представлені, а потім натисніть Enter. Якщо ви використовуєте комп'ютер, ви можете використовувати sqrt (42). Третій спосіб, який буде працювати для обох, - це ввести:

$42^{0.5} \approx 6.4807407\nonumber$

Потім ви повинні округлити до двох знаків після коми. Оскільки 0 менше 5, округляємо вниз, щоб отримати:

$\sqrt{42}\approx6.48\nonumber$

Приклад $\PageIndex{4}$

«Z-оцінка» - для значення 28 для розподілу вибірки з розміром вибірки 60, що надходить від популяції із середнім значенням 28,3, а стандартне відхилення 5 визначається:

$z=\frac{28-28.3}{\frac{5}{\sqrt{60}}}\nonumber$

Знайти z-рахунок, округлений до двох знаків після коми.

Рішення

Ми повинні бути обережними щодо порядку операцій, коли вкладаємо його в калькулятор. Вводимо:

$(28 - 28.3)/(5 / 60 ^\wedge 0.5) = -0.464758\nonumber$

Нарешті, ми округляємо до 2 знаків після коми. Оскільки 4 менше 5, округляємо вниз, щоб отримати:

$z=\frac{28-28.3}{\frac{5}{\sqrt{60}}}=-0.46\nonumber$

Вправа

Стандартна похибка, яка є середнім показником того, наскільки далекі засоби вибірки від середнього рівня популяції, визначається:

$\sigma_\bar x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\nonumber$

де $\sigma_\bar x$ стандартна похибка, $\sigma$ - стандартне відхилення, і розмір $n$ вибірки. Знайдіть стандартну похибку, якщо стандартне відхилення населення $\sigma$ , становить 14 $n$ , а розмір вибірки - 11.