Використання позначень підсумовування
- Page ID
- 97279
Результати навчання
- Оцініть вираз, що включає в себе підсумовувальні позначення.
- Застосовуйте позначення підсумовування для обчислення статистики.
Це позначення називається підсумовувальним позначенням і виглядає як:
\[\sum_{i=1}^{n}a_i \nonumber \]
У цьому позначенні,\(a_i\) це вираз, який містить індекс,\(i\) і ви підключіть 1, а потім 2, а потім 3 до останнього числа,\(n\) а потім скласти всі результати.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Розрахувати
\[\sum_{i=1}^{4}3i\nonumber \]
Рішення
Спочатку зверніть увагу, що i = 1, потім 2, потім 3 і нарешті 4. Ми повинні помножити кожен з них на 3 і скласти їх:
\[ \begin{align*} \sum_{i=1}^{4}3i &= 3\left(1\right)+3\left(2\right)+3\left(3\right)+3\left(4\right) \\[4pt] &=3+6+9+12\:=\:30 \end{align*}\nonumber \]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Формула для вибіркового середнього, іноді званого середнім, становить
\[\bar x\:=\:\frac{\sum_{i-1}^nx_i}{n}\nonumber \]
Було проведено опитування 8 літніх людей, скільки сексуальних партнерів у них було за життя. Їхні відповіді були {4,12,1,3,4,9,24,7}. Використовуйте формулу, щоб знайти середнє значення зразка.
Рішення
Зверніть увагу, що чисельник формули просто говорить нам, щоб скласти числа вгору. Обчислення чисельника спочатку дає:
\[\sum_{i=1}^8x_i=4+12+1+3+4+9+24+7\:=64\nonumber \]
Тепер, коли у нас є чисельник обчислюється, формула говорить нам, щоб розділити на п, який просто 8. У нас є:
\[\bar x\:=\frac{\:64}{8}=8\nonumber \]
Таким чином, вибіркова середня кількість сексуальних партнерів цієї групи протягом життя становить 8.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Наступна найважливіша статистика - стандартне відхилення. Формула для зразка стандартного відхилення така:
\[s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2}{n-1}}\nonumber \]
Розглянемо дані в попередньому прикладі. Знайдіть стандартне відхилення.
Рішення
Формула досить складна, але якщо вирішувати її по одній частині за раз, використовуючи порядок операцій належним чином, ми можемо досягти успіху в пошуку зразка стандартного відхилення для даних. Зверніть увагу, що є дужки, тому, виходячи з порядку операцій, ми повинні зробити віднімання в дужках спочатку. Оскільки це все частина суми, у нас є вісім різних віднімань, щоб зробити. З наших розрахунків в попередньому прикладі вибіркове середнє значення було\(\bar x = 8\). Обчислюємо 8 віднімань:
\[4-\:8\:=\:-4,\:\:12-8=4,\:1-8=-7,\:3-8=-5,\:\nonumber \]
\[\:4-8=-4,\:9-8=1,\:24-8=16,\:7-8=-1\nonumber \]
Наступна арифметика, щоб зробити квадрат кожної з відмінностей, щоб отримати:
\[\left(-4\right)^2=16,\:\:\left(4\right)^2=16,\left(-7\right)^2=49,\:\left(-5\right)^2=25,\:\nonumber \]
\[\left(-4\right)^2=16,\:1^2=1,\:16^2=256,\:(-1)^2=1\nonumber \]
Тепер у нас є всі записи в підсумовуванні, тому ми складаємо їх усі:
\[16+16+49+25+16+1+256+1=380\nonumber \]
Тепер ми можемо написати
\[s=\sqrt{\frac{380}{8-1}}=\sqrt{\frac{380}{7}}\nonumber \]
Ми можемо помістити це в калькулятор або комп'ютер, щоб отримати:
\[s=\sqrt{\frac{380}{7}}=\:7.3679\nonumber \]
Вправа: очікуване значення
Очікувана величина, EV, визначається за формулою
\[EV=\sum_{i=1}^nx_i\:P\left(x_i\right)\nonumber \]
Де\(x_i\) можливі результати та\(P\left(x_i\right)\) ймовірності результатів. Припустимо, наведена нижче таблиця показує кількість яєць в кладці білоголового орлана і ймовірності виникнення цього числа.
| х | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| П (х) | 0.2 | 0.4 | 0.3 | 0.1 |
Знайдіть очікуване значення.
Приклад 1: Знайдіть суму, написану в підсумовуванні/сигма-нотації