Використання позначень підсумовування

Результати навчання

1. Оцініть вираз, що включає в себе підсумовувальні позначення.
2. Застосовуйте позначення підсумовування для обчислення статистики.

Це позначення називається підсумовувальним позначенням і виглядає як:

$$\sum_{i=1}^{n}a_i \nonumber$$

У цьому позначенні,$a_i$ це вираз, який містить індекс,$i$ і ви підключіть 1, а потім 2, а потім 3 до останнього числа,$n$ а потім скласти всі результати.

Приклад$\PageIndex{1}$

Розрахувати

$$\sum_{i=1}^{4}3i\nonumber$$

Рішення

Спочатку зверніть увагу, що i = 1, потім 2, потім 3 і нарешті 4. Ми повинні помножити кожен з них на 3 і скласти їх:

$$\begin{align*} \sum_{i=1}^{4}3i &= 3\left(1\right)+3\left(2\right)+3\left(3\right)+3\left(4\right) \\[4pt] &=3+6+9+12\:=\:30 \end{align*}\nonumber$$

Приклад$\PageIndex{2}$

Формула для вибіркового середнього, іноді званого середнім, становить

$$\bar x\:=\:\frac{\sum_{i-1}^nx_i}{n}\nonumber$$

Було проведено опитування 8 літніх людей, скільки сексуальних партнерів у них було за життя. Їхні відповіді були {4,12,1,3,4,9,24,7}. Використовуйте формулу, щоб знайти середнє значення зразка.

Рішення

Зверніть увагу, що чисельник формули просто говорить нам, щоб скласти числа вгору. Обчислення чисельника спочатку дає:

$$\sum_{i=1}^8x_i=4+12+1+3+4+9+24+7\:=64\nonumber$$

Тепер, коли у нас є чисельник обчислюється, формула говорить нам, щоб розділити на п, який просто 8. У нас є:

$$\bar x\:=\frac{\:64}{8}=8\nonumber$$

Таким чином, вибіркова середня кількість сексуальних партнерів цієї групи протягом життя становить 8.

Приклад$\PageIndex{3}$

Наступна найважливіша статистика - стандартне відхилення. Формула для зразка стандартного відхилення така:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2}{n-1}}\nonumber$$

Розглянемо дані в попередньому прикладі. Знайдіть стандартне відхилення.

Рішення

Формула досить складна, але якщо вирішувати її по одній частині за раз, використовуючи порядок операцій належним чином, ми можемо досягти успіху в пошуку зразка стандартного відхилення для даних. Зверніть увагу, що є дужки, тому, виходячи з порядку операцій, ми повинні зробити віднімання в дужках спочатку. Оскільки це все частина суми, у нас є вісім різних віднімань, щоб зробити. З наших розрахунків в попередньому прикладі вибіркове середнє значення було$\bar x = 8$. Обчислюємо 8 віднімань:

$$4-\:8\:=\:-4,\:\:12-8=4,\:1-8=-7,\:3-8=-5,\:\nonumber$$

$$\:4-8=-4,\:9-8=1,\:24-8=16,\:7-8=-1\nonumber$$

Наступна арифметика, щоб зробити квадрат кожної з відмінностей, щоб отримати:

$$\left(-4\right)^2=16,\:\:\left(4\right)^2=16,\left(-7\right)^2=49,\:\left(-5\right)^2=25,\:\nonumber$$

$$\left(-4\right)^2=16,\:1^2=1,\:16^2=256,\:(-1)^2=1\nonumber$$

Тепер у нас є всі записи в підсумовуванні, тому ми складаємо їх усі:

$$16+16+49+25+16+1+256+1=380\nonumber$$

Тепер ми можемо написати

$$s=\sqrt{\frac{380}{8-1}}=\sqrt{\frac{380}{7}}\nonumber$$

Ми можемо помістити це в калькулятор або комп'ютер, щоб отримати:

$$s=\sqrt{\frac{380}{7}}=\:7.3679\nonumber$$

Вправа: очікуване значення

Очікувана величина, EV, визначається за формулою

$$EV=\sum_{i=1}^nx_i\:P\left(x_i\right)\nonumber$$

Де$x_i$ можливі результати та$P\left(x_i\right)$ ймовірності результатів. Припустимо, наведена нижче таблиця показує кількість яєць в кладці білоголового орлана і ймовірності виникнення цього числа.

Таблиця розподілу ймовірностей з результатами, x та ймовірностями, P (x)

х	1	2	3	4
П (х)	0.2	0.4	0.3	0.1

Знайдіть очікуване значення.

Приклад 1: Знайдіть суму, написану в підсумовуванні/сигма-нотації

Позначення підсумовування та очікуване значення