4.3: Умовна ймовірність

Припустимо, ви хочете розібратися, чи варто купувати новий автомобіль. Коли ви вперше їдете і дивитеся, ви знаходите дві машини, які вам найбільше подобаються. У вашому розумі вони рівні, і тому кожен має 50% шанс, що ви його виберете. Тоді ви починаєте дивитися на відгуки про автомобілі і розумієте, що перший автомобіль мав 40% з них, які потребують ремонту в перший рік, тоді як другий автомобіль має лише 10% автомобілів, які потребують ремонту в перший рік. Ви можете використовувати цю інформацію, щоб допомогти вам вирішити, який автомобіль ви хочете насправді придбати. Обидва автомобілі більше не мають 50% шансів бути автомобілем, який ви обираєте. Ви могли б насправді обчислити ймовірність того, що ви будете купувати кожен автомобіль, що є умовною ймовірністю. Ви, мабуть, не зробили б цього, але це дає вам приклад того, що таке умовна ймовірність.

Умовні ймовірності - це ймовірності, обчислені після подання інформації. Тут ви хочете знайти ймовірність події А після того, як ви знаєте, що подія B сталася. Якщо ви знаєте, що B трапився, то вам не потрібно розглядати решту простору зразка. Вам потрібні лише результати, які складають подію B. Подія B стає новим простором зразків, який називається обмеженим простором вибірки, R. Якщо ви завжди записуєте обмежений простір вибірки при виконанні умовних ймовірностей і використовуєте це як простір зразка, у вас не буде проблем з умовним ймовірності. Позначення для умовних ймовірностей є\(P(A, \text { given } B)=P(A | B)\). Подія, що слідує за вертикальною лінією, завжди є обмеженим простором вибірки.

Приклад\(\PageIndex{1}\) conditional probabilities

1. Припустимо, ви кидаєте дві кістки. Яка ймовірність отримати суму 5, враховуючи, що перший вмирає є 2?
2. Припустимо, ви кидаєте дві кістки. Яка ймовірність отримати суму 7, враховуючи, що перший штамп дорівнює 4?
3. Припустимо, ви кидаєте дві кістки. Яка ймовірність отримання другого die a 2, враховуючи суму 9?
4. Припустимо, ви вибираєте карту з колоди. Яка ймовірність отримати Spade, враховуючи, що карта - Джек?
5. Припустимо, ви вибираєте карту з колоди. Яка ймовірність отримати Туза, враховуючи карту Королева?

Рішення

а Оскільки ви знаєте, що перша матриця - це 2, то це ваш обмежений простір для зразків, так

R = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}

З цього обмеженого простору вибірки спосіб отримати суму 5 дорівнює {(2,3)}. Таким чином

\(P(\text { sum of } 5 | \text { the first die is a } 2)=\dfrac{1}{6}\)

б Оскільки ви знаєте, що перша матриця - це 4, це ваш обмежений простір для зразків, тому

R = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

З цього обмеженого простору вибірки спосіб отримати суму 7 дорівнює {(4,3)}. Таким чином

\(P(\text { sum of } 7 | \text { the first die is a } 4)=\dfrac{1}{6}\)

c Оскільки ви знаєте, що сума дорівнює 9, це ваш обмежений простір для вибірки, так

R = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}

З цього обмеженого простору зразків немає ніякого способу отримати другий штамп a 2. Таким чином

\(P(\text { second die is a } 2 | \text { sum is } 9)=0\)

d Оскільки ви знаєте, що карта є Джеком, це ваш обмежений простір для зразків, так

R = {JS, JC, JD, JH}

З цього обмеженого простору зразків спосіб отримати Spade є {JS}. Таким чином

\(P(\text { Spade } | \mathrm{Jack})=\dfrac{1}{4}\)

e. on: Оскільки ви знаєте, що карта є королевою, то це ваш обмежений простір для зразків, так

R = {QS, QC, QD, QH}

З цього обмеженого простору зразків немає ніякого способу отримати Ace, таким чином

\(P(\text { Ace | Queen })=0\)

Якщо ви подивитеся на результати Приклад\(\PageIndex{7}\) частини d і Приклад\(\PageIndex{1}\) частини b, ви помітите, що отримаєте ту саму відповідь. Це означає, що знаючи, що перший вмирає 4 не змінило ймовірність того, що сума дорівнює 7. Ці додаткові знання вам ніяк не допомогли. Це так, ніби ця інформація взагалі не була надана. Однак, якщо ви порівняєте Приклад\(\PageIndex{7}\) частини b та Приклад\(\PageIndex{1}\) частини a, ви помітите, що вони не є однаковою відповіддю. У цьому випадку, знаючи, що перший вмирає 2 дійсно змінив ймовірність отримання суми 5. У першому випадку сума подій 7 і перша вмирає є 4 називаються незалежними подіями. У другому випадку сума подій 5 і перша вмирає 2 називаються залежними подіями.

Події A і B вважаються незалежними подіями, якщо той факт, що відбувається одна подія, не змінює ймовірність того, що відбувається інша подія. Іншими словами, події A і B є незалежними, якщо той факт, що трапився B, не впливає на ймовірність події А, а той факт, що трапився А, не впливає на ймовірність події B. В іншому випадку дві події залежать. У символах A і B є незалежними, якщо

\(P(A | B)=P(A) \text { or } P(B | A)=P(B)\)

Приклад\(\PageIndex{2}\) independent events

1. Припустимо, ви кидаєте дві кістки. Чи є події «сума 7» і «перша смерть 3» незалежні?
2. Припустимо, ви кидаєте дві кістки. Чи є події «сума 6» і «перша смерть - це 4» незалежні?
3. Припустимо, ви вибираєте карту з колоди. Чи є події «Джек» і «Лопата» незалежними?
4. Припустимо, ви вибираєте карту з колоди. Чи є події «Серце» і «Червона» карта незалежними?
5. Припустимо, у вас двоє дітей через окремі пологи. Чи є події «перший - хлопчик» і «другий - дівчинка» незалежними?
6. Припустимо, ви перевертаєте монету 50 разів і кожен раз отримуєте голову, яка ймовірність отримати голову на наступному сальто?

Рішення

а. щоб визначити, чи є вони незалежними, потрібно подивитися, якщо\(P(A | B)=P(A)\). Не має значення, яка подія є A або B, тому просто призначте один як A, а один як B.

Нехай A = сума 7 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} і B = перша смерть - це 3 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}\(P(A | B)\) означає, що ви припускаєте, що B сталося. Обмежений простір зразків - B,

R = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}

У цьому обмеженому просторі вибірки, шлях для A має бути {(3,4)}, тому

\(P(A | B)=\dfrac{1}{6}\)

The\(P(A)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

\(P(A | B)=P(A)\)Таким чином, «сума 7» і «перша смерть - це 3» є незалежними подіями.

б. щоб визначити, чи є вони незалежними, потрібно подивитися, якщо\(P(A | B)=P(A)\). Не має значення, яка подія є A або B, тому просто призначте один як A, а один як B.

Нехай A = сума 6 = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} і B = перша смерть - це 4 = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}, тому

\(P(A)=\dfrac{5}{36}\)

Для\(P(A | B)\), обмежений простір вибірки B,

R = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}

У цьому обмеженому просторі вибірки, шлях для A має бути {(4,2)}, тому

\(P(A | B)=\dfrac{1}{6}\).

У цьому випадку «сума 6» і «перша смерть - це 4» залежать від\(P(A | B) \neq P(A)\).

с. щоб визначити, чи є вони незалежними, потрібно подивитися, якщо\(P(A | B)=P(A)\). Не має значення, яка подія є A або B, тому просто призначте один як A, а один як B.

Нехай A = Джек = {JS, JC, JD, JH} і Б = Лопата {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, КС, АС}

\(P(A)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}\)

Для\(P(A | B)\), обмежений простір вибірки B,

R = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, КС, ЯК}

У цьому обмеженому просторі вибірки, спосіб A відбувається {JS}, тому

\(P(A | B)=\dfrac{1}{13}\)

При цьому «Джек» і «Лопата» є незалежними з тих пір\(P(A | B)=P(A)\).

d Щоб визначити, чи є вони незалежними, потрібно подивитися, чи є\(P(A | B)=P(A)\). Не має значення, яка подія є A або B, тому просто призначте один як A, а один як B.

Нехай A = серце = {2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AH} і B = Червона картка = {2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, QD, КД, КД, AD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AH}, так

\(P(A)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}\)

Для\(P(A | B)\), обмежений простір вибірки B,

R = {2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, QD, КД, ОГОЛОШЕННЯ, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, АХ}

У цьому обмеженому просторі зразків спосіб А може статися - 13,

\(P(A | B)=\dfrac{13}{26}=\dfrac{1}{2}\).

При цьому карти «Серце» і «Червона» залежні, так як\(P(A | B) \neq P(A)\).

Тобто в цьому випадку вам фактично не потрібно робити ніяких розрахунків. Стать однієї дитини не впливає на стать другої дитини, події самостійні.

f Оскільки один фліп монети не впливає на наступний фліп (монета не пам'ятає, що вона робила за час до цього), ймовірність отримати голову на наступному сальто все одно половина.

Правило множення:

Ще дві корисні формули: Якщо дві події залежні, то\(P(A \text { and } B)=P(A) * P(B | A)\)

Якщо дві події незалежні, то\(P(A \text { and } B)=P(A)^{*} P(B)\)

Якщо вирішити перше рівняння для\(P(B | A)\), то вийде\(P(B | A)=\dfrac{P(A \text { and } B)}{P(A)}\), що представляє собою формулу для обчислення умовної ймовірності. Однак легше знайти умовну ймовірність, використовуючи обмежений простір вибірки та підрахунку, якщо простір вибірки не великий.

Приклад\(\PageIndex{3}\) Multiplication rule

1. Припустимо, ви вибираєте три карти з колоди, яка ймовірність того, що вони всі королеви, якщо карти не будуть замінені після їх вибору?
2. Припустимо, ви вибираєте три карти з колоди, яка ймовірність того, що всі вони є королевами, якщо карти будуть замінені після того, як вони будуть взяті і до того, як буде вибрана наступна карта?

Рішення

a Цей простір зразка занадто великий для запису, тому використання правила множення має сенс. Так як карти не замінюються, то ймовірність зміниться для другої і третьої карт. Вони є залежними подіями. Це означає, що на другому розіграші є на одну менше Queen і на одну меншу карту, а на третьому розіграші - дві менше Queens і 2 менше карт.

P (3 королеви) = P (Q на 1-му і Q на 2-му і Q на 3-му)

= Р (Q на 1-му) * P (Q на 2nd|Q на 1-му) * P (Q на 3-й | 1-й і 2-й Q)

\(=\dfrac{4}{52} * \dfrac{3}{51} * \dfrac{2}{50}\)

\(=\dfrac{24}{132600}\)

б Знову ж таки, простір зразка занадто великий, щоб виписати, тому використання правила множення має сенс. Оскільки карти покладені назад, один розіграш не впливає на наступний розіграш, і всі вони незалежні.

P (3 Queens) = P (Королева на 1-й і Королева на 2-й і Королева на 3-й)

= P (Королева на 1-й) * P (Королева на 2-й) * P (Королева на 3-му)

\(=\dfrac{4}{52} * \dfrac{4}{52} * \dfrac{4}{52}\)

\(=\left(\dfrac{4}{52}\right)^{3}\)

\(=\dfrac{64}{140608}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\) application problem

Всесвітня організація охорони здоров'я (ВООЗ) стежить за тим, скільки випадків прокази існує в світі. Використовуючи регіони ВООЗ та групи доходів Світового банку, можна запитати, чи залежать рівень доходу та регіон ВООЗ один від одного з точки зору прогнозування того, де знаходиться хвороба. Дані про випадки прокази в різних країнах були зібрані за 2011 рік і короткий зміст представлено в прикладі\(\PageIndex{1}\) («Проказа: Кількість», 2013).

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Кількість випадків прокази

Регіон ВООЗ	Група доходів Світового банку				Загальна кількість рядків
	Високий дохід	Верхній середній дохід	Нижній середній дохід	Низький дохід
Америки	174	36028	615	0	36817
Східне Середземномор'я	54	6	1883	604	2547
Європа	10	0	0	0	10
Західний Тихий океан	26	216	3689	1155	5086
Африка	0	39	1986	15928	17953
Південно-Східна Азія	0	0	149896	10236	160132
Колонка Всього	264	36289	158069	27923	222545

1. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з Америки.
2. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з країни з високим рівнем доходу.
3. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з Америки і країни з високим рівнем доходу.
4. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з країни з високим рівнем доходу, враховуючи, що вони родом з Америки.
5. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з малозабезпечених країн.
6. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з Африки.
7. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з Африки і країни з низьким рівнем доходу.
8. Знайдіть ймовірність того, що людина з проказою родом з Африки, враховуючи, що вони з країни з низьким рівнем доходу.
9. Чи є події, які людина з проказою є з «Африки» і «країни з низьким рівнем доходу» самостійними заходами? Чому чи чому ні?
10. Чи є події, які людина з проказою є з «Америки» і «країни з високим рівнем доходу» самостійними заходами? Чому чи чому ні?

Рішення

а. є 36817 випадків прокази в Америці з 222,545 випадків у всьому світі. Отже,

\(P(\text { Americas })=\dfrac{36817}{222545} \approx 0.165\)

Є близько 16,5% шансів, що людина з проказою живе в країні в Америці.

b. 264 випадки прокази в країнах з високим рівнем доходу з 222 545 випадків у всьому світі. Отже,

\(P(\text { high-income })=\dfrac{264}{222545} \approx 0.0001\)

Є близько 0,1% шансів, що людина з проказою живе в країні з високим рівнем доходу.

c Існує 174 випадки прокази в країнах з високим рівнем доходу в Америці з 222,545 випадків у всьому світі. Отже,

\(P(\text { Americas and high-income })=\dfrac{174}{222545} 0.0008\)

Існує приблизно 0,08% шансів, що людина з проказою живе в країні з високим рівнем доходу в Америці.

d. в цьому випадку ви знаєте, що людина знаходиться в Америці. Вам не потрібно розглядати людей з Великодня Середземномор'я, Європи, Західної частини Тихого океану, Африки та Південно-Східної Азії. Вам потрібно лише подивитися на ряд з Америкою на старті. У цьому рядку подивіться, скільки випадків прокази є з країни з високим рівнем доходу. З 36 817 випадків прокази в Америці налічується 174 країни. Отже,

\(P(\text { high-income } | \text { Americas })=\dfrac{174}{36817} \approx 0.0047\)

Існує 0.47% шансів, що людина з проказою з країни з високим рівнем доходу, враховуючи, що вони з Америки.

е. 27 923 випадки прокази в країнах з низьким рівнем доходу з 222,545 випадків прокази у всьому світі. Отже,

\(P(\text { low-income })=\dfrac{27923}{222545} \approx 0.125\)

Є 12,5% ймовірність того, що людина з проказою родом з країни з низьким рівнем доходу.

f Є 17 953 випадки прокази в Африці з 222,545 випадків прокази у всьому світі. Отже,

\(P(\text { Africa })=\dfrac{17953}{222545} \approx 0.081\)

Є 8,1% ймовірність того, що людина з проказою родом з Африки.

г. 15 928 випадків прокази в країнах Африки з низьким рівнем доходу з усіх 222 545 випадків прокази у всьому світі. Отже,

\(P(\text { Africa and low-income })=\dfrac{15928}{222545} \approx 0.072\)

Існує 7,2% ймовірність того, що людина з проказою родом з країни з низьким рівнем доходу в Африці.

ч У цьому випадку ви знаєте, що людина з проказою родом з малозабезпечених країн. Вам не потрібно включати країни з високим доходом, доходом вище середнього та нижчим середнім рівнем доходу. Потрібно лише розглянути колонку на чолі з низькимидоходами. У цій колонці є 15 928 випадків прокази в Африці з 27 923 випадків прокази в країнах з низьким рівнем доходу. Отже,

\(P(\text { Africa | low-income })=\dfrac{15928}{27923} \approx 0.570\)

Існує 57,0% шансів, що людина з проказою родом з Африки, враховуючи, що вони з країни з низьким рівнем доходу.

i) Для того, щоб ці події були незалежними,\(P(\text { Africa } | \text { low-income })=P(\text { Africa })\) або\(P(\text { low-income } | \text { Africa })=P(\text { low-income })\) повинні бути правдою. Частина (h) показала\(P(\text { Africa | low-income }) \approx 0.570\) і частина (f) показала\(P(\text { Africa }) \approx 0.081\). Так як вони не рівні, то ці дві події залежні.

j Для того, щоб ці події були незалежними,\(P(\text { Americas } | \text { high-income })=P(\text { Americas })\) або\(P(\text { high-income |} \text { Americas })=P(\text { high-income })\) повинні бути правдою. Частина (d) показала,\(P(\text { high-income } | \text { Americas }) \approx 0.0047\) а частина (b) показала\(P(\text { high-income }) \approx 0.001\). Так як вони не рівні, то ці дві події залежні.

Велика справа була зроблена щодо різниці між залежними та незалежними подіями при розрахунку ймовірності та складних подій. Необхідно помножити ймовірність першої події на умовну ймовірність другої події.

Чому вам все одно? Вам потрібно обчислити ймовірності, коли ви виконуєте вибірку, про що ви дізнаєтеся пізніше. Але ось спрощення, яке може значно полегшити обчислення: коли розмір вибірки дуже малий порівняно з чисельністю населення, можна припустити, що умовні ймовірності просто не дуже сильно змінюються над вибіркою.

Наприклад, розглянемо приймальний відбір проб. Припустимо, що існує велика кількість запчастин, доставлених вам заводу, скажімо, 12 000 деталей. Припустимо, в популяції 85 бракованих деталей. Ви вирішили випадковим чином вибрати десять частин, і відхилити вантаж. Яка ймовірність відхилення відвантаження?

Є багато різних способів відхилити вантаж. Наприклад, може бути, перші три частини хороші, одна - погана, а решта - добре. Або всі десять частин можуть бути поганими, а може бути і перші п'ять. Стільки способів відкинути! Але є лише один спосіб, яким ви приймете вантаж: якщо всі десять деталей хороші. Це сталося б, якщо перша частина хороша, а друга частина хороша, а третя частина хороша, і так далі. Оскільки ймовірність того, що друга частина буде хорошою, (трохи) залежить від того, чи була перша частина хороша, технічно ви повинні враховувати це при обчисленні ймовірності того, що всі десять хороші.

Імовірність отримання першої вибіркової частини хорошою є\(\dfrac{12000-85}{12000}=\dfrac{11915}{12000}\). Так що ймовірність того, що всі десять бути хорошими є\(\dfrac{11915}{12000} * \dfrac{11914}{11999} * \dfrac{11913}{11998} * \ldots * \dfrac{11906}{11991} \approx 93.1357 \%\). Якщо замість цього ви припускаєте, що ймовірність не сильно змінюється, ви отримаєте\(\left(\dfrac{11915}{12000}\right)^{10} \approx 93.1382 \%\). Так що, як бачите, особливої різниці немає. Отже, ось правило: якщо вибірка дуже мала порівняно з чисельністю населення, то ви можете припустити, що ймовірності незалежні, хоча вони не є технічно. До речі, ймовірність відхилення відвантаження є\(1-0.9314=0.0686=6.86 \%\).

Домашнє завдання

Вправа\(\PageIndex{1}\)

1. Чи є володіння рефрижератором і володіння автомобілем самостійні заходи? Чому чи чому ні?
2. Володієте комп'ютером або планшетом і оплачуєте інтернет-сервіс самостійні заходи? Чому чи чому ні?
3. Чи проходять ваш клас статистики і проходження вашого класу біології незалежні події? Чому чи чому ні?
4. Чи є володіння велосипедом і володіння автомобілем самостійні заходи? Чому чи чому ні?
5. Експеримент - підбір карти з ярмаркової колоди.
   1. Яка ймовірність вибору Джека, враховуючи, що карта - це лицьова карта?
   2. Яка ймовірність вибрати серце, враховуючи, що карта - це трійка?
   3. Яка ймовірність вибрати червону картку, враховуючи, що карта - туз?
   4. Чи є події Джек і особа карти незалежні події? Чому чи чому ні?
   5. Чи є події червона картка і туз незалежні події? Чому чи чому ні?
6. Експеримент - прокатка двох кубиків.
   1. Яка ймовірність того, що сума дорівнює 6, враховуючи, що перша матриця - це 5?
   2. Яка ймовірність того, що перша смерть - це 3, враховуючи, що сума дорівнює 11?
   3. Яка ймовірність того, що сума дорівнює 7, враховуючи, що кулак вмирає 2?
   4. Чи є сума двох подій 6 і перша смерть - це 5 незалежних подій? Чому чи чому ні?
   5. Чи є сума двох подій 7 і перша смерть - це 2 незалежні події? Чому чи чому ні?
7. Ви перевертаєте монету чотири рази. Яка ймовірність того, що всі чотири з них є головами?
8. Ви перевертаєте монету шість разів. Яка ймовірність того, що всі шість з них є головами?
9. Ви вибираєте три карти з колоди з заміною карти кожного разу, перш ніж вибрати наступну карту. Яка ймовірність того, що всі три карти є королями?
10. Ви вибираєте три карти з колоди, не замінюючи карту, перш ніж вибрати наступну карту. Яка ймовірність того, що всі три карти є королями?
11. Кількість людей, які пережили «Титанік» за класом і статтю, наведено в прикладі\(\PageIndex{2}\) («Енциклопедія Титаніка», 2013). Припустимо, людина вибирається навмання з тих, що вижили.

    Клас	Секс		Всього
    	Жіноча	Чоловічий
    1-й	134	59	193
    2-й	94	25	119
    3-й	80	58	138
    Всього	308	142	450

    Таблиця\(\PageIndex{2}\): Виживання Титаніка
    a Яка ймовірність того, що вижив була жінка?
    б Яка ймовірність того, що вижив був у 1-му класі?
    c Яка ймовірність того, що вижила була жінкою, враховуючи, що людина була в 1-му класі?
    г Яка ймовірність того, що вижив була жінкою і в 1-му класі?
    е. яка ймовірність того, що вижив був жінкою або в 1 класі?
    f Чи є події, що вижили, є жінкою, а вижив у 1-му класі взаємовиключними? Чому чи чому ні?
    г Чи є події, що вижили, є жінкою, а вижив в 1-му класі незалежним? Чому чи чому ні?

12. Дослідники спостерігали за групами дельфінів біля узбережжя Ірландії в 1998 році, щоб визначити, в якій діяльності дельфіни беруть участь в певний час доби («Діяльність дельфінів», 2013). Цифри в прикладі\(\PageIndex{3}\) представляють кількість груп дельфінів, які брали участь у діяльності в певний час доби.

    Діяльність	Період				Всього
    	Ранок	Полудень	Полудень	Вечірній
    Подорожі	6	6	14	13	39
    Подача	28	4	0	56	88
    Соціальна	38	5	9	10	62
    Всього	72	15	23	79	189

    Таблиця\(\PageIndex{3}\): Діяльність дельфінів
    a Яка ймовірність того, що група дельфінів бере участь у подорожах?
    б Яка ймовірність того, що група дельфінів навколо вранці?
    c Яка ймовірність того, що група дельфінів бере участь у подорожах, враховуючи, що це ранок?
    d Яка ймовірність того, що група дельфінів навколо вранці, враховуючи, що вона бере участь у спілкуванні?
    е Яка ймовірність того, що група дельфінів навколо вдень, враховуючи, що вона бере участь у годуванні?
    f Яка ймовірність того, що група дельфінів знаходиться навколо вдень і бере участь у годуванні?
    г Яка ймовірність того, що група дельфінів знаходиться в другій половині дня або бере участь у годуванні?
    h Чи є події дельфін групи навколо в другій половині дня і дельфін групи годують взаємовиключні події? Чому чи чому ні?
    i. Чи є події дельфін групи навколо вранці і дельфін групи беруть участь у подорожах незалежних заходів? Чому чи чому ні?

Відповідь

1. Незалежні, див. рішення

3. Залежні, див. Рішення

5. а. р (Джек/особа карти) = 0,333, б. р (серце/карта a 3) = 0,25, c. P (червона карта/туз) = 0,50, д. не незалежні, см рішення, е. незалежні, див. рішення

7. 0.0625

9. \(4.55 \times 10^{-4}\)

11. а. р (самка) = 0,684, б. Р (1-й клас) = 0,429, в. р (жіночий/1-й клас) = 0,694, д. Р (жіночий і 1-й клас) = 0,298, е. Р (жіночий або 1-й клас) = 0,816, ф. немає, см. розчини, г. залежні, см. розчини