4.2: Теоретична ймовірність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 97506

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Не завжди можливо проводити експеримент знову і знову, тому краще було б знайти ймовірності, не проводячи експеримент. Ці ймовірності називаються теоретичними ймовірностями.

Щоб вміти робити теоретичні ймовірності, є припущення, яке потрібно враховувати. Це те, що всі результати у вибірковому просторі повинні бути однаково ймовірними результатами. Це означає, що кожен результат експерименту повинен мати однакові шанси на це.

Приклад$\PageIndex{1}$ Equally likely outcomes

Які з наступних експериментів мають однаково ймовірні результати?

Роллінг ярмарок померти.
Переверніть монету, яка зважується, так що одна сторона з'являється частіше, ніж інша.
Витягніть кульку з банки, що містить 6 червоних кульок і 8 зелених кульок. Всі кульки однакового розміру.
Підбір карти з колоди.
Прокатка плашки, щоб побачити, чи це справедливо.

Рішення

Оскільки померти справедливі, кожна сторона померти має однакові шанси підійти. Результати є різними сторонами, тому кожен результат однаково вірогідний.
Так як монета зважена, одна сторона швидше підійде, ніж інша сторона. Результати є різними сторонами, тому кожен результат не однаково ймовірний.
Так як кожен м'яч однакового розміру, то кожен м'яч має однакові шанси бути обраним. Результатом цього експерименту є окремі кулі, тому кожен результат однаково вірогідний. Не припускайте, що оскільки шанси витягнути червону кулю менше, ніж витягнути зелену кулю, результати не однаково вірогідні. Результати - це окремі кулі, і вони однаково вірогідні.
Якщо припустити, що колода справедлива, то кожна карта має однаковий шанс бути обраним. Таким чином, результати є однаково ймовірними результатами. Ви повинні зробити це припущення. Для багатьох експериментів, які ви будете робити, ви повинні зробити такого роду припущення.
У цьому випадку ви не впевнені, що померти справедливий. Єдиний спосіб визначити, чи справедливо це насправді провести експеримент, оскільки ви не знаєте, чи однаково ймовірні результати. Якщо експериментальні ймовірності досить близькі до теоретичних ймовірностей, то плашка справедлива.

Якщо результати не однаково ймовірні, то ви повинні робити експериментальні ймовірності. Якщо результати однаково вірогідні, то можна обійтися теоретичними ймовірностями.

Визначення$\PageIndex{1}$: Theoretical Probabilities

Якщо результати експерименту однаково вірогідні, то ймовірність події А

$P(A)=\dfrac{\# \text { of outcomes in event space }}{\# \text { of outcomes in sample space }}$

Приклад$\PageIndex{2}$ calculating theoretical probabilities

Припустимо, ви проводите експеримент, де двічі перевертаєте справедливу монету.

Що таке простір для зразків?
Яка ймовірність отримати рівно одну голову?
Яка ймовірність отримати хоча б одну голову?
Яка ймовірність отримати голову і хвіст?
Яка ймовірність отримати голову або хвіст?
Яка ймовірність отримати стопу?
Яка ймовірність кожного результату? Яка сума цих ймовірностей?

Рішення

a Є кілька різних зразків просторів, які ви можете зробити. Одним з них є SS= {0, 1, 2}, де ви підраховуєте кількість голів. Однак результати не однаково ймовірні, оскільки ви можете отримати одну голову, отримавши голову на першому сальто і хвіст на другому або хвіст на першому сальто і голову на другому. Є 2 способи отримати цей результат і тільки один спосіб отримати інші результати. Замість цього може бути краще дати простір зразка як перерахування того, що може статися на кожному фліпі. Нехай H = голова і T = хвіст, і список, який може статися на кожному сальто.

SS= {ЧЧ, HT, ГО, ТТ}

б. нехай А = отримання рівно однієї голови. Простір подій - A = {HT, TH}. Так

$P(A)=\dfrac{2}{4} \text { or } \dfrac{1}{2}$

Можливо, не буде вигідно зводити дроби до найнижчих, так як легше порівнювати дроби, якщо вони мають один і той же знаменник.

c. нехай B = отримання хоча б однієї голови. Хоча б одну голову означає отримати одну або кілька. Простір подій B = {HT, TH, HH} і

$P(B)=\dfrac{3}{4}$

Оскільки P (B) більше, ніж P (A), то подія B частіше трапиться, ніж подія А.

d. нехай C = отримання голови і хвоста = {HT, TH} і

$P(C)=\dfrac{2}{4}$

Це той самий простір подій, що і подія А, але це інша подія. Іноді дві різні події можуть дати один і той же простір події.

е. нехай D = отримання голови або хвоста. Оскільки або означає одне чи інше або обидва, і він не вказує кількість голів або хвостів, то D = {HH, HT, TH, TT} і

$P(D)=\dfrac{4}{4}=1$

f Нехай Е = отримання ноги. Оскільки ви не можете отримати ногу, E = {} або порожній набір і

$P(E)=\dfrac{0}{4}=0$

г$P(H H)=P(H T)=P(T H)=P(T T)=\dfrac{1}{4}$. Якщо додати всі ці ймовірності разом, ви отримаєте 1.

Цей приклад мав деякі результати, які є важливими поняттями. Вони узагальнені нижче:

Властивості ймовірності

$0 \leq P(\text { event }) \leq 1$
Якщо P (подія) =1, то це станеться і називається певною подією.
Якщо P (подія) =0, то це не може статися і називається неможливою подією.
$\sum P(\text { outcome })=1$

Приклад$\PageIndex{3}$ calculating theoretical probabilities

Припустимо, ви проводите експеримент, де витягуєте карту зі стандартної колоди.

Що таке простір для зразків?
Яка ймовірність отримати Spade?
Яка ймовірність отримати Джека?
Яка ймовірність отримання Ace?
Яка ймовірність не отримати Ace?
Яка ймовірність отримання Spade і Ace?
Яка ймовірність отримати Spade або Ace?
Яка ймовірність отримати Джека і Туза?
Яка ймовірність отримати Джека або Туза?

Рішення

а. СС = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, КС, АС, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C, JC, КС, AC, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, ДЖД, QD, КД, КД, AD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10ГОД, ДЖХ, QH, КХ, АХ}

б Нехай A = отримання лопати = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, КС, AS} так

$P(A)=\dfrac{13}{52}$

c Нехай B = отримання Джек = {JS, JC, JH, JD} так

$P(B)=\dfrac{4}{52}$

d Нехай C = отримання туза = {AS, AC, AH, AD} так

$P(C)=\dfrac{4}{52}$

е Нехай D = не отримуючи туз = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, КС, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, 10C, JC, КК, КС, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, 10D, JD, QD, КД, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, 10H, JH, QH, KH} так

$P(D)=\dfrac{48}{52}$

Зверніть увагу$P(D)+P(C)=\dfrac{48}{52}+\dfrac{4}{52}=1$, щоб ви могли знайти ймовірність D, зробивши 1 мінус ймовірність C$P(D)=1-P(C)=1-\dfrac{4}{52}=\dfrac{48}{52}$.

f Нехай E = отримання Лопата і Туз = {AS} так

$P(E)=\dfrac{1}{52}$

г Нехай F = отримання Лопата і туз = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, КС, AS, AC, AD, AH} так

$P(F)=\dfrac{16}{52}$

h Нехай G = отримання валета і туза = {}, оскільки ви не можете зробити це з однією картою. Так

$P(G)=0$

я Нехай H = отримання Джек або Туз = {JS, JC, JD, JH, AS, AC, AD, AH} так

$P(H)=\dfrac{8}{52}$

Приклад$\PageIndex{4}$ calculating theoretical probabilities

Припустимо, у вас є iPod Shuffle з наступними піснями на ньому: 5 пісень Rolling Stones, 7 пісень Beatles, 9 пісень Боба Ділана, 4 пісні Faith Hill, 2 пісні Тейлор Свіфт, 7 пісень U2, 4 пісні Mariah Carey, 7 пісень Bunny Wailer, 7 пісень Elton John, 5 пісень Led Zeppelin та 4 пісні групи Дейв Метьюз . Різний жанр, який у вас є, - рок з 60-х років, який включає Rolling Stones, Beatles та Bob Dylan; країна включає в себе Віра Хілл і Тейлор Свіфт; рок 90-х включає U2 та Mariah Carey; Реггі включає Боба Марлі та Банні Вейлер; рок 70-х включає Елтона Джона та Led Zeppelin; і блюграс/рок включає в себе Дейв Mathews Band.

Те, як працює iPod Shuffle, це випадковим чином вибирає наступну пісню, так що ви поняття не маєте, якою буде наступна пісня. Тепер ви хотіли б обчислити ймовірність того, що ви почуєте тип музики або виконавця, який вас цікавить. Набір зразків занадто складно виписати, але ви можете зрозуміти це, дивлячись на число в кожному наборі і загальну кількість. Загальна кількість пісень у вас 67.

Яка ймовірність того, що ви почуєте пісню Faith Hill?
Яка ймовірність того, що ви почуєте пісню Bunny Wailer?
Яка ймовірність того, що ви почуєте пісню з 60-х років?
Яка ймовірність того, що ви почуєте пісню Reggae?
Яка ймовірність того, що ви почуєте пісню з 90-х або блюграс/рок-пісню?
Яка ймовірність того, що ви почуєте пісню Елтона Джона або Тейлора Свіфта?
Яка ймовірність того, що ви почуєте пісню кантрі або пісню U2?

Рішення

а. є 4 пісні Faith Hill з 67 пісень, так що

$P(\text { Faith Hill song })=\dfrac{4}{67}$

б. є 6 пісень Зайчика Wailer, так

$P(\text { Bunny Wailer })=\dfrac{6}{67}$

c Є 5, 7 і 9 пісень, які класифікуються як рок з 60-х років, що становить 21 загалом, так

$P(\text { rock from the } 60 \mathrm{s})=\dfrac{21}{67}$

d Є 6 і 7 пісень, які класифікуються як реггі, що становить 13 всього, так

$P(\text { Reggae })=\dfrac{13}{67}$

е Є 7 і 4 пісні, які є піснями з 90-х і 4 пісні, які є блюграс/рок, загалом 15, тому

$P(\text { rock from the } 90 \text { s or bluegrass/rock })=\dfrac{15}{67}$

f Є 7 пісень Елтона Джона і 2 пісні Тейлор Свіфт, загалом 9, так

$P(\text { Elton John or Taylor Swift song })=\dfrac{9}{67}$

м Є 6 пісень країни і 7 пісень U2, загалом 13, так

$P(\text { country or } \mathrm{U} 2 \text { song })=\dfrac{13}{67}$

Звичайно, ви можете робити будь-які інші комбінації, які ви хотіли б.

Зверніть увагу, що в прикладі$\PageIndex{3}$ частини е було згадано, що ймовірність події D плюс ймовірність події C дорівнює 1. Це тому, що ці дві події не мають спільних результатів, і разом вони складають весь простір вибірки. Події, які мають цю властивість, називаються взаємодоповнюючими подіями.

Визначення$\PageIndex{2}$: complementary events

Якщо дві події є взаємодоповнюючими подіями, то для знаходження ймовірності одного просто відніміть ймовірність іншого з одного. Позначення, що використовуються для доповнення A, не є A або$A^{c}$.

$P(A)+P\left(A^{c}\right)=1, \text { or } P(A)=1-P\left(A^{c}\right)$

Приклад$\PageIndex{5}$ complementary events

Припустимо, ви знаєте, що ймовірність дощу сьогодні становить 0,45. Яка ймовірність того, що він не дощить?
Припустимо, ви знаєте ймовірність не захворіти на грип 0,24. Яка ймовірність захворіти на грип?
В експерименті вибору карти з колоди, яка ймовірність не отримати карту, яка є королевою?

Рішення

а Оскільки дощ не є доповненням дощу, то

$P(\text { not raining })=1-P(\text { raining })=1-0.45=0.55$

б Оскільки захворіти на грип є доповненням не отримувати грип, то

$P(\text { getting the flu })=1-P(\text { not getting the flu })=1-0.24=0.76$

c Ви можете вирішити цю проблему, перерахувавши всі способи, щоб не отримати ферзь, але цей набір досить великий. Однією з переваг доповнення є те, що він зменшує навантаження. Ви використовуєте доповнення в багатьох ситуаціях, щоб зробити роботу коротшою та простішою. В цьому випадку простіше перерахувати всі способи отримання королеви, знайти ймовірність Королеви, а потім відняти від одного. Королева = {QS, QC, QD, QH} так

$P(\text { Queen })=\dfrac{4}{52}$і

$P(\text { not Queen })=1-P(\text { Queen })=1-\dfrac{4}{52}=\dfrac{48}{52}$

Доповнення корисно, коли ви намагаєтеся знайти ймовірність події, яка включає слова принаймні або події, яка включає слова в максимум. Як приклад принаймні події є припустимо, що ви хочете знайти ймовірність зробити принаймні $50,000, коли ви закінчите коледж. Це означає, що ви хочете, щоб ймовірність того, що ваша зарплата буде більшою або дорівнює $50,000. Прикладом найбільш події є припустимо, що ви хочете знайти ймовірність прокатки матриці і отримати максимум 4. Це означає, що ви хочете отримати менше або дорівнює 4 на кубику. Причина використання доповнення полягає в тому, що іноді легше знайти ймовірність доповнення, а потім відняти від 1. Приклад$\PageIndex{6}$ демонструє, як це зробити.

Приклад$\PageIndex{6}$ using the complement to find probabilities

В експерименті прокатки ярмарок штамп один раз, знайти ймовірність прокатки максимум 4 на матриці.
В експерименті витягування карти з справедливої колоди знайдіть ймовірність витягнути хоча б 5 (туз - висока карта в даному прикладі).

Рішення

a Простір вибірки для цього експерименту є {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ви хочете, щоб подія отримати максимум 4, що те саме, що думати про отримання 4 або менше. Простір подій - {1, 2, 3, 4}. Імовірність

$P(\text { at most } 4)=\dfrac{4}{6}$

Або ви могли б використовувати доповнення. Доповнення прокатки максимум 4 буде прокатним числом більше, ніж 4. Івент-простір для доповнення — {5, 6}. Імовірність доповнення є$\dfrac{2}{6}$. Імовірність не більше 4 буде

$P(\text { at most } 4)=1-P(\text { more than } 4)=1-\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{6}$

Зверніть увагу, що у вас є однакова відповідь, але простір подій було простіше виписати. На цьому прикладі ймовірність не була такою корисною, але в майбутньому будуть події, де набагато простіше використовувати доповнення.

б Простір вибірки для цього експерименту

СС = {2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7S, 8S, 9S, 10S, JS, QS, КС, ЯК, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 7C, 8C, 9C, JC, КК, АС, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 8D, 9D D, 10D, JD, QD, KD, AD, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, QH, KH, AH}

Потягнувши карту, яка є принаймні 5 буде включати в себе перерахування всіх карт, які є 5 або більше. Було б набагато простіше перерахувати результати, які складають доповнення. Доповнення принаймні 5 менше, ніж 5. Це була б подія 4 або менше. Простір подій для доповнення буде {2S, 3S, 4S, 2C, 3C, 4C, 2D, 3D, 4D, 2D, 2H, 3H, 4H}. Імовірність доповнення була б$\dfrac{12}{52}$. Імовірність принаймні 5 буде

$P(\text { at least } \mathbf{a} 5)=1-P(4 \text { or less })=1-\dfrac{12}{52}=\dfrac{40}{52}$

Інша концепція була показана в прикладі$\PageIndex{3}$ частин g і i. Проблеми шукали ймовірність тієї чи іншої події. У частині g, він шукав ймовірність отримання Spade або Ace. Це було рівним$\dfrac{16}{52}$. Частково я, він шукав ймовірність отримати Джека або Туза. Це було рівним$\dfrac{8}{52}$. Якщо ви озирнетеся назад на частини b, c та d, ви можете помітити наступний результат:

$P(\text { Jack })+P(\text { Ace })=P(\text { Jack or Ace }) \text { but } P(\text { Spade })+P(\text { Ace }) \neq P(\text { Spade or } \text { Ace })$

Чому додавання двох індивідуальних ймовірностей разом працює в одній ситуації, щоб дати ймовірність тієї чи іншої події і не дати правильну ймовірність в іншій?

Причина це вірно у випадку з Джеком і Тузом полягає в тому, що ці дві події не можуть відбутися разом. Немає перекриття між двома подіями, і фактично$P(\text { Jack and } \mathrm{Acc})=0$. Однак у випадку з Spade і Ace вони можуть відбуватися разом. Відбувається перекриття, в основному туз пік. The$P(\text { Spade and } \mathrm{Ace}) \neq 0$.

Коли дві події не можуть відбуватися одночасно, їх називають взаємовиключними. У вищезгаданій ситуації події Джек і Туз є взаємовиключними, в той час як події Spade і Ace не є взаємовиключними.

Правила додавання:

Якщо дві події A і B є взаємовиключними, то

$P(A \text { or } B)=P(A)+P(B) \text { and } P(A \text { and } B)=0$

Якщо дві події A і B не є взаємовиключними, то

$P(A \text { or } B)=P(A)+P(B)-P(A \text { and } B)$

Приклад$\PageIndex{7}$ using addition rules

Припустимо, ваш експеримент полягає в тому, щоб кинути дві чесні кістки.

Що таке простір для зразків?
Яка ймовірність отримати суму 5?
Яка ймовірність отримати перший вмирає 2?
Яка ймовірність отримати суму 7?
Яка ймовірність отримати суму 5 і перший померти 2?
Яка ймовірність отримати суму 5 або перший померти 2?
Яка ймовірність отримати суму 5 і суму 7?
Яка ймовірність отримати суму 5 або суму 7?

Рішення

a Як і в інших прикладах, вам потрібно придумати простір вибірки, який має однаково ймовірні результати. Один простір зразка полягає у перерахуванні сум, можливих на кожному рулоні. Цей зразок простору буде виглядати так: SS = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Однак є більше способів отримати суму 7, то є, щоб отримати суму 2, тому ці результати не однаково ймовірні. Інша думка полягає в тому, щоб перерахувати можливості на кожному рулоні. Як приклад, ви могли б кинути кістки і на першому померти ви могли б отримати 1. Інша вмирає може бути будь-яке число між 1 і 6, але скажіть, що це також 1. Тоді цей результат буде виглядати як (1,1). Аналогічно можна отримати (1, 2), (1, 3), (1,4), (1, 5) або (1, 6). Крім того, ви можете отримати 2, 3, 4, 5 або 6 на першому померти замість цього. Збираючи це все воєдино, ви отримаєте простір зразка:

$\begin{array}{r}{\mathrm{SS}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)} \\ {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} \\ {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} \\ {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)} \\ {(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)} \\ {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \}}\end{array}$

Зверніть увагу, що (2,3) відрізняється від (3,2), оскільки порядок, який ви кидаєте матрицю, є важливим, і ви можете визначити різницю між цими двома результатами. Вам не потрібно жодного з двійників двічі, оскільки вони не відрізняються один від одного в будь-якому порядку. Це завжди буде місце зразка для прокатки двох кубиків.

b. нехай A = отримання суми 5 = {(4,1), (3,2), (2,3), (1,4)} так

$P(A)=\dfrac{4}{36}$

c Нехай B = отримання першого померти а 2 = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} так

$P(B)=\dfrac{6}{36}$

d. нехай C = отримання суми 7 = {(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6)} так

$P(C)=\dfrac{6}{36}$

e Це події A і B, які містять результат {(2,3)} так

$P(A \text { and } B)=\dfrac{1}{36}$

f Зауважте з частини е, що ці дві події не є взаємовиключними, тому

$P(A \text { or } B)=P(A)+P(B)-P(A \text { and } B)$

$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{6}{36}-\dfrac{1}{36}$

$=\dfrac{9}{36}$

ж Це події А і С, які не мають спільних результатів. Таким чином, A і C = {} так

$P(A \text { and } C)=0$

h З частини g ці дві події є взаємовиключними, тому

$P(A \text { or } C)=P(A)+P(C)$

$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{6}{36}$

$=\dfrac{10}{36}$

Коефіцієнти

Багато людей люблять говорити про шанси на те, що щось відбувається чи не відбувається. Математики, статистики та вчені вважають за краще мати справу з ймовірностями, оскільки з шансами важко працювати, але гравці вважають за краще працювати в шансах, щоб з'ясувати, скільки їм платять, якщо вони виграють.

Визначення$\PageIndex{3}$

Фактичні шанси проти події А - це співвідношення$P\left(A^{c}\right) / P(A)$, зазвичай виражене у вигляді a:b або a до b, де a і b - цілі числа без загальних факторів.

Визначення$\PageIndex{4}$

Фактичні шанси на користь події А - це співвідношення$P(A) / P\left(A^{c}\right)$, яке є взаємним коефіцієнтом проти. Якщо шанси проти події A дорівнюють a:b, то шанси на користь події A становлять b: a.

Визначення$\PageIndex{5}$

Коефіцієнти виграшу проти події А - це відношення чистого прибутку (якщо ви виграєте) до суми ставки.

коефіцієнти виплати проти події A = (чистий прибуток): (сума ставки)

Приклад$\PageIndex{8}$ odds against and payoff odds

У грі Craps, якщо шутер має вихід рол 7 або 11, це називається природним і перемога лінії перемоги. Коефіцієнти виплати надаються казино як 1:1.

Знайти ймовірність природного.
Знайдіть фактичні шанси на природний.
Знайдіть фактичні шанси проти природного.
Якщо казино платить 1:1, скільки прибутку казино заробляє на ставці $10?

Рішення

а Натуральним є 7 або 11. Простір зразка

Простір подій: {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5)}

Так$P(7 \text { or } 11)=\dfrac{8}{36}$

б.

непарний для природного$=\dfrac{P(7 \text { or } 11)}{P(\text {not} 7 \text { or } 11)}$

$=\dfrac{8 / 36}{1-8 / 36}$

$=\dfrac{8 / 36}{28 / 36}$

$=\dfrac{8}{28}$

$=\dfrac{2}{7}$

шанси проти природного$=\dfrac{P(\text { not } 7 \text { or } 11)}{P(7 \text { or } 11)}=\dfrac{28}{8}=\dfrac{7}{2}=\dfrac{3.5}{1}$

d Фактичні шанси становлять 3,5 до 1, тоді як коефіцієнти виплати - від 1 до 1. Казино платить вам $10 за вашу ставку $10. Якщо казино заплатило вам фактичні шанси, вони платять $3.50 за кожну ставку $1, а на $10, вони платять$3.5 * \$ 10=\$ 35$. Їх прибуток є$\$ 35-\$ 10=\$ 25$.

Домашнє завдання

Вправа$\PageIndex{1}$

Приклад$\PageIndex{1}$ містить кількість M&M кожного кольору, які були знайдені у випадку (Madison, 2013).

Синій	Коричневий	Зелений	Помаранчевий	Червоний	Жовтий	Всього
481	371	483	544	372	369	2620

Таблиця$\PageIndex{1}$: M&M Distribution
a. Знайти ймовірність вибору зеленого або червоного кольору M&M.
b. Знайти ймовірність вибору синього, червоного або жовтого M&M.
c. Знайти ймовірність невибору коричневого M&M.
d Знайти ймовірність не вибрати зелений M&M.

Eyeglassomatic виробляє окуляри для різних роздрібних продавців. Вони тестують, щоб побачити, скільки дефектних лінз вони зробили за певний проміжок часу. Приклад$\PageIndex{2}$ дає дефект і кількість дефектів.

Тип дефекту	Кількість дефектів
Подряпини	5865
Права форма - маленька	4613
лущиться	1992
Неправильна вісь	1838
Фаска неправильна	1596
Набряклість, тріщини	1546
Неправильна форма	1485
Неправильний ПД	1398
Плями і бульбашки	1371
Неправильна висота	1130
Правильна форма - велика	1105
Загублені в лабораторії	976
Плями/міхур	976

Таблиця$\PageIndex{2}$: Кількість дефектних лінз
a Знайдіть ймовірність вибору лінзи, яка подряпана або лущиться.
b Знайдіть ймовірність вибору лінзи, яка є неправильною ПД або була втрачена в лабораторії.
с. знайти ймовірність підбору лінзи, яка не подряпана.
d Знайдіть ймовірність вибору лінзи, яка не має неправильної форми.

Експеримент полягає в тому, щоб тричі перевернути справедливу монету.
1. Вказати простір зразка.
2. Знайдіть ймовірність отримання рівно двох головок. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
3. Знайдіть ймовірність отримання хоча б двох голів. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
4. Знайти ймовірність отримання непарного числа голів. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
5. Знайдіть ймовірність отримання всіх голів або всіх хвостів. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
6. Знайдіть ймовірність отримати рівно дві голови або рівно два хвоста.
7. Знайти ймовірність не отримати непарну кількість голів.
Експеримент прокатки ярмарок померти, а потім гортати справедливу монету.
1. Вказати простір зразка.
2. Знайдіть ймовірність отримання голови. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
3. Знайти ймовірність отримання 6. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
4. Знайдіть ймовірність отримання 6 або голови.
5. Знайдіть ймовірність отримання 3 і хвоста.
Експеримент - це прокатка двох чесних кубиків.
1. Вказати простір зразка.
2. Знайти ймовірність отримання суми 3. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
3. Знайти ймовірність отримання першого вмирає є 4. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
4. Знайдіть ймовірність отримання суми 8. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
5. Знайдіть ймовірність отримання суми 3 або суми 8.
6. Знайти ймовірність отримання суми 3 або перший штамп дорівнює 4.
7. Знайти ймовірність отримання суми 8 або перший штамп дорівнює 4.
8. Знайдіть ймовірність не отримати суму 8.
Експеримент - витягування однієї карти з справедливої колоди.
1. Вказати простір зразка.
2. Знайдіть ймовірність отримання Десятки. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
3. Знайдіть ймовірність отримання Алмаза. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
4. Знайдіть ймовірність отримання Клубу. Переконайтеся, що ви вкажете простір заходу.
5. Знайдіть ймовірність отримання Діаманта або Клубу.
6. Знайдіть ймовірність отримання Десятки або Діаманта.
Експеримент - витягування м'яча з урни, яка містить 3 синіх кульки і 5 червоних кульок.
1. Знайдіть ймовірність отримання червоної кулі.
2. Знайдіть ймовірність отримання синього кульки.
3. Знайдіть шанси на отримання червоної кулі.
4. Знайдіть шанси на отримання синього м'яча.
У грі в рулетку є колесо з пробілами з позначкою від 0 до 36 і пробіл з позначкою 00.
1. Знайти ймовірність виграшу, якщо ви виберете цифру 7 і воно з'явиться на колесі.
2. Знайдіть шанси проти перемоги, якщо виберете число 7.
3. Казино заплатить вам $20 за кожен долар, який ви ставите, якщо ваш номер з'явиться. Скільки прибутку казино заробляє на ставці?

Відповідь

1. а. р (зелений або червоний) = 0,326, б. р (синій, червоний або жовтий) = 0,466, с. р (НЕ коричневий) = 0,858, д. Р (НЕ зелений) = 0,816

3. а. см розчини, б. Р (2 головки) = 0,375, с. р (не менше 2 голів) = 0,50, д. Р (непарна кількість голів) = 0,50, е. р (всі голови або всі хвости) = 0,25, ф. р (дві голови або два хвоста) = 0,75, р (без непарного числа голів) = 0,50

5. а. див. розчини, б. Р (сума 3) = 0,056, р. р (1-й померти а 4) = 0,167, д. Р (сума 8) = 0,139, е. Р (сума 3 або сума 8) = 0,14, ф. Р (сума 3 або 1-го померти а 4) = 0,222, р (сума 8 або 1-го померти а 4) = 0,278, ч. Р (не отримуючи суму 8) = 0,861

7. а. р (червоний куля) = 0,625, б. р (синій куля) = 0,375, с. 5 до 3 д. 3 до 5