4.1: Емпірична ймовірність

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 4: Ймовірність
- 4.2: Теоретична ймовірність

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Одна історія про те, як була розроблена теорія ймовірності, полягає в тому, що гравець хотів знати, коли робити ставки більше, а коли робити ставки менше. Він поговорив з парою своїх друзів, які виявилися математиками. Їх імена були П'єр де Ферма і Блез Паскаль. З тих пір багато інших математиків працювали над розробкою теорії ймовірностей.

Розуміння ймовірностей важливо в житті. Приклади приземлених питань, на які ймовірність може відповісти за вас, - це якщо вам потрібно носити парасольку або носити важке пальто в даний день. Більш важливі питання, з якими ймовірність може допомогти, - це ваші шанси на те, що автомобіль, який ви купуєте, потребуватиме більшого обслуговування, ваші шанси на проходження класу, ваші шанси на перемогу в лотереї, ваші шанси опинитися в автомобільній аварії та шанси, що США будуть атаковані терористами. Більшість людей не дуже добре розуміють ймовірність, тому вони турбуються про нападу терориста, але не про те, щоб опинитися в автомобільній аварії. Імовірність опинитися в теракті набагато менша, ніж ймовірність опинитися в автомобільній аварії, тому насправді було б більше сенсу турбуватися про водіння. Крім того, шанс виграти лотерею дуже малий, але багато людей витратять гроші на лотерейні квитки. Проте, якби замість цього вони заощадили гроші, які вони витрачають на лотерею, у них було б більше грошей. Взагалі, події, які мають низьку ймовірність (менше 5%), навряд чи відбудуться. Тоді як якщо подія має високу ймовірність трапитися (понад 80%), то є велика ймовірність того, що подія відбудеться. У цій главі буде представлена частина теорії, яка вам потрібна, щоб допомогти визначити, чи може статися подія чи ні.

Для початку потрібні деякі визначення.

Визначення $\PageIndex{1}$

Експеримент: діяльність, яка має конкретний результат, який може статися, але невідомо, які результати будуть відбуватися.

Визначення $\PageIndex{2}$

Підсумки: результат експерименту.

Визначення $\PageIndex{3}$

Подія: набір певних результатів експерименту, який ви хочете мати.

Визначення $\PageIndex{4}$

Sample Space: збір всіх можливих результатів експерименту. Зазвичай позначається як СС.

Визначення $\PageIndex{5}$

Простір подій: сукупність результатів, які складають подію. Символ зазвичай є великою літерою.

Почніть з експерименту. Припустимо, що експеримент котить плашку. Простір вибірки {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Подія, яку ви хочете отримати 6, а простір подій - {6}. Для цього 10 разів скачайте плашку. Коли ви робите це, ви отримуєте 6 два рази. Виходячи з цього експерименту, ймовірність отримання 6 дорівнює 2 з 10 або 1/5. Щоб отримати більшу точність, повторіть експеримент більше разів. Найпростіше помістити це в таблицю, де n представляє кількість повторень експерименту. Коли ви ставите кількість знайдених 6s за кількість разів, коли ви повторюєте експеримент, це відносна частота.

Таблиця $\PageIndex{1}$ : Випробування для експерименту Die
п	Кількість 6s	Відносна частота
10	2	0.2
50	6	0,12
100	18	0,18
500	81	0.162
1000	163	0.163

Зверніть увагу, що як n збільшився, відносна частота, здається, наближається до числа. Схоже, він наближається до 0.163. Можна сказати, що ймовірність отримання 6 дорівнює приблизно 0,163. Якщо ви хочете більшої точності, то збільште п ще більше.

Ці ймовірності називаються експериментальними ймовірностями, оскільки вони виявляються фактично проведенням експерименту. Вони виходять з відносних частот і дають наближення істинної ймовірності. Приблизна ймовірність події A, P (A), дорівнює

Визначення $\PageIndex{6}$

Експериментальні ймовірності

$P(A)=\dfrac{\text { number of times } A \text { occurs }}{\text { number of times the experiment was repeated }}$

Для випадку отримання 6, ймовірність буде $\dfrac{163}{1000}=0.163$ .

Ви повинні робити експериментальні ймовірності, коли неможливо обчислити ймовірності за допомогою інших засобів. Прикладом є, якщо ви хочете знайти ймовірність того, що сім'я має 5 дітей, вам доведеться насправді подивитися на багато сімей і порахувати, скільки має 5 дітей. Тоді можна було б обчислити ймовірність. Інший приклад - якщо ви хочете з'ясувати, чи справедливий штамп. Вам доведеться багато разів котити плашку і порахувати, як часто кожна сторона виходить. Переконайтеся, що ви повторюєте експеримент багато разів, тому що в іншому випадку ви не зможете оцінити справжню ймовірність. Це пов'язано з законом великих чисел.

Визначення $\PageIndex{7}$

Закон великих чисел: при збільшенні n відносна частота прагне до фактичного значення ймовірності.

Примітка

Ймовірність, відносна частота, відсоток та пропорція - це різні слова для одного поняття. Також ймовірності можуть бути вказані у відсотках, десяткових знаках або дробах.

Домашнє завдання

Вправа $\PageIndex{1}$

Приклад

$\PageIndex{2}$ містить кількість M&M кожного кольору, які були знайдені в корпусі (Madison, 2013). Знайдіть ймовірність вибору кожного кольору на основі цього експерименту.

Таблиця $\PageIndex{2}$ : Розподіл M & M
Синій	Коричневий	Зелений	Помаранчевий	Червоний	Жовтий	Всього
481	371	483	544	372	369	2620

Eyeglassomatic виробляє окуляри для різних роздрібних продавців. Вони тестують, щоб побачити, скільки дефектних лінз вони зробили за період часу з 1 січня по 31 березня. Приклад

$\PageIndex{3}$ дає дефект і кількість дефектів. Знайдіть ймовірність кожного типу дефекту на основі цих даних.

Таблиця $\PageIndex{3}$ : Кількість дефектних лінз
Тип дефекту	Кількість дефектів
Подряпини	5865
Права форма - маленька	4613
пластівчастий	1992
Неправильна вісь	1838
Фаска неправильна	1596
Набряклість, тріщини	1546
Неправильна форма	1485
Неправильний ПД	1398
Плями і бульбашки	1371
Неправильна висота	1130
Правильна форма - велика	1105
Загублені в лабораторії	976
Плями/міхур - стажер	976

В Австралії в 1995 році з 2907 корінних жителів у в'язниці 17 з них померли. У тому ж році з 14501 некорінних жителів у в'язниці 42 з них померли («Смерть аборигенів», 2013). Знайдіть ймовірність того, що корінна людина помирає у в'язниці і ймовірність того, що некорінна людина помирає у в'язниці. Порівняйте ці цифри і обговоріть, що можуть означати цифри.

Проект, проведений Федеральним управлінням безпеки дорожнього руху Австралії, задав людям багато питань щодо їхніх автомобілів. Одне питання полягало в тому, що людина вибирає даний автомобіль, і ці дані наведені в прикладі

$\PageIndex{4}$ («Автомобільні переваги», 2013). Знайдіть ймовірність того, що людина вибере автомобіль по кожній з наведених причин.

Таблиця $\PageIndex{4}$ : Причина вибору автомобіля
Безпека	Надійність	Вартість	Продуктивність	Комфорт	Виглядає
84	62	46	34	47	27

Відповідь

1. Р (синій) = 0,184, Р (брів) = 0,142, Р (зелений) = 0,184, Р (помаранчевий) = 0,208, Р (червоний) = 0,142, Р (жовтий) = 0,141

3. P (корінна особа вмирає) = 0,0058, P (некорінна особа помирає) = 0,0029, див. Рішення