Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.S: Інтервали довіри (резюме)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    98574

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рецензія

    У цьому модулі ми дізналися, як розрахувати довірчий інтервал для одиничного середнього значення популяції, де відомо стандартне відхилення населення. При оцінці середнього рівня популяції похибка називається похибкою, прив'язаною для середнього популяції (EBM). Довірчий інтервал має загальний вигляд:

    \((\text{lower bound, upper bound}) = (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\)

    Розрахунок\(EBM\) залежить від розміру вибірки і рівня бажаної впевненості. Рівень довіри - це відсоток усіх можливих вибірок, які, як можна очікувати, включають істинний параметр популяції. Зі збільшенням рівня довіри відповідний\(EBM\) збільшується і. Зі збільшенням розміру вибірки\(EBM\) зменшується. За центральною граничною теоремою,

    \(EBM = z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

    Враховуючи довірчий інтервал, ви можете працювати назад, щоб знайти помилку bound (\(EBM\)) або середнє значення зразка. Щоб знайти межу помилки, знайдіть різницю верхньої межі інтервалу і середнього. Якщо ви не знаєте середнє значення зразка, можна знайти похибку, пов'язану, обчисливши половину різниці верхньої і нижньої меж. Щоб знайти середнє значення вибірки, заданий довірчий інтервал, знайдіть різницю верхньої межі та межі помилки. Якщо межа помилки невідома, то усередніть верхню і нижню межі довірчого інтервалу, щоб знайти середнє значення вибірки.

    Іноді дослідники заздалегідь знають, що вони хочуть оцінити середнє значення населення в межах певної похибки для заданого рівня довіри. У такому випадку вирішіть\(EBM\) формулу\(n\) для виявлення розміру зразка, який необхідний для досягнення цієї мети:

    \(n = \frac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\)

    Огляд формули

    \(\bar{X} - N \left(\mu_{x}, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)Розподіл вибіркових засобів зазвичай розподіляється із середнім значенням, рівним середньому населенню, і стандартним відхиленням, заданим стандартним відхиленням популяції, розділеним на квадратний корінь розміру вибірки.

    Загальна форма довірчого інтервалу для одиничного середнього популяції, відомого стандартного відхилення, нормального розподілу задається

    \[(\text{lower bound, upper bound}) = (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\]

    \[= \bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM\]

    \[= \left(\bar{x} - z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]

    \(EBM = z\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\)похибка, прив'язана до середнього, або похибка для одиничного середнього популяції; ця формула використовується, коли відомо стандартне відхилення населення.

    \(CL =\)рівень довіри, або частка створених довірчих інтервалів, які, як очікується, містять істинний параметр популяції

    \(\alpha = 1 – CL =\)частка довірчих інтервалів, які не будуть містити параметр популяції

    \(z_{\frac{\alpha}{2}}\)=\(z\) -score з властивістю, що площа праворуч від z-score -\(\frac{\propto}{2}\) це\(z\) -score, що використовується при обчисленні "\(EBM\)де\(\alpha = 1 – CL\)».

    \(n = \frac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\)формула, яка використовується для визначення розміру вибірки (\(n\)), необхідного для досягнення бажаної похибки при заданому рівні довіри

    Загальна форма довірчого інтервалу

    \[(\text{lower value, upper value}) = (\text{point estimate} - \text{error bound, point estimate} + \text{error bound})\]

    Щоб знайти помилку, пов'язану, коли ви знаєте довірчий інтервал

    \[\text{error bound} = \text{upper value} - \text{point estimate}\]АБО\[\text{error bound} = \frac{\text{upper value - lower value}}{2}\]

    Середнє значення однієї популяції, відоме стандартне відхилення, нормальний розподіл

    Використовуйте нормальний розподіл для засобів, відоме стандартне відхилення населення\(EBM = z\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

    Довірчий інтервал має формат\((\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\).

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні п'ять вправ: Стандартне відхилення ваги слонів, як відомо, становить приблизно 15 фунтів. Бажаємо побудувати 95% довірчий інтервал для середньої ваги новонароджених телят слонів. П'ятдесят новонароджених слонів зважують. Середнє значення вибірки становить 244 фунтів. Стандартне відхилення зразка становить 11 фунтів.

    Вправа 8.2.8

    Визначте наступне:

    1. \(\bar{x} =\)_____
    2. \(\sigma =\)_____
    3. \(n =\)_____

    Відповідь

    1. 244
    2. 15
    3. 50

    Вправа 8.2.9

    У словах визначаємо випадкові величини\(X\) і\(\bar{X}\).

    Вправа 8.2.10

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Відповідь

    \(N\left(244, \frac{15}{\sqrt{50}}\right)\)

    Вправа 8.2.11

    Побудувати 95% довірчий інтервал для популяції середньої ваги новонароджених слонів. Створіть довірчий інтервал, намалюйте графік та обчислите межу похибки.

    Вправа 8.2.12

    Що буде з отриманим довірчим інтервалом, якщо зважити 500 новонароджених слонів замість 50? Чому?

    Відповідь

    Зі збільшенням розміру вибірки в середньому буде менша мінливість, тому розмір інтервалу зменшується.

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні сім вправ: Бюро перепису населення США проводить дослідження, щоб визначити час, необхідний для заповнення короткої форми. Бюро опитує 200 осіб. Середнє значення вибірки становить 8,2 хвилини. Існує відоме стандартне відхилення в 2,2 хвилини. Розподіл населення вважається нормальним.

    Вправа 8.2.13

    Визначте наступне:

    1. \(\bar{x} =\)_____
    2. \(\sigma =\)_____
    3. \(n =\)_____

    Вправа 8.2.14

    У словах визначаємо випадкові величини\(X\) і\(\bar{X}\).

    Відповідь

    \(X\)це час у хвилинах, необхідний для заповнення короткої форми перепису США. \(\bar{X}\)це середній час, який він взяв вибірку з 200 людей, щоб заповнити коротку форму перепису США.

    Вправа 8.2.15

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Вправа 8.2.16

    Побудувати 90% довіри інтервал для населення середній час для заповнення форм. Створіть довірчий інтервал, намалюйте графік та обчислите межу похибки.

    Відповідь

    \(CI: (7.9441, 8.4559)\)

    Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 8,2 на горизонтальній осі. Центральна область затінена між точками 7.94 і 8.46.
    Малюнок\(\PageIndex{3}\).

    \(EBM = 0.26\)

    Вправа 8.2.17

    Якщо перепис хоче підвищити рівень довіри та зберегти помилку, пов'язану з тим самим, взявши інше опитування, які зміни він повинен внести?

    Вправа 8.2.18

    Якби перепис зробив ще одне опитування, тримав помилку, пов'язану однаковою, і опитав лише 50 людей замість 200, що буде з рівнем довіри? Чому?

    Відповідь

    Рівень довіри зменшиться, оскільки зменшення\(n\) робить довірчий інтервал ширшим, тому при тій же обмеженій помилці рівень довіри зменшується.

    Вправа 8.2.19

    Припустимо, перепис повинен був бути 98% впевненим у середньому проміжку часу населення. Чи доведеться перепису опитувати більше людей? Чому чи чому ні?

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні десять вправ: Обрано зразок з 20 голів салату. Припустимо, що розподіл популяції маси голови нормальний. Потім був зафіксований вага кожної головки салату. Середня вага становила 2,2 фунта зі стандартним відхиленням 0,1 фунта. Стандартне відхилення населення, як відомо, становить 0,2 фунта.

    Вправа 8.2.20

    Визначте наступне:

    1. \(\bar{x} =\)_____
    2. \(\sigma =\)_____
    3. \(n =\)_____

    Відповідь

    1. \(\bar{x} = 2.2\)
    2. \(\sigma = 0.2\)
    3. \(n = 20\)

    Вправа 8.2.21

    У словах визначаємо випадкову величину\(X\).

    Вправа 8.2.22

    У словах визначаємо випадкову величину\(\bar{X}\).

    Відповідь

    \(\bar{X}\)середня маса проби з 20 голів салату.

    Вправа 8.2.23

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Вправа 8.2.24

    Побудувати 90% довіри інтервал для населення середньої ваги голів салату. Створіть довірчий інтервал, намалюйте графік та обчислите межу похибки.

    Відповідь

    \(EBM = 0.07\)

    \(CI: (2.1264, 2.2736)\)

    Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 2.2 на горизонтальній осі. Центральна область затінена між точками 2.13 і 2.27.
    Малюнок\(\PageIndex{4}\).

    Вправа 8.2.25

    Побудувати 95% довірчий інтервал для населення середньої ваги голів салату. Створіть довірчий інтервал, намалюйте графік та обчислите межу похибки.

    Вправа 8.2.26

    У повних реченнях поясніть, чому довірчий інтервал у Вправі більше, ніж у Вправі.

    Відповідь

    Інтервал більше, тому що рівень довіри підвищився. Якщо єдиною зміною, внесеною в аналіз, є зміна рівня довіри, то все, що ми робимо, - це зміна того, скільки площі обчислюється для нормального розподілу. Таким чином, більший рівень довіри призводить до більших площ і більших інтервалів.

    Вправа 8.2.27

    У повних пропозиціях дайте тлумачення того, що означає інтервал у Вправі.

    Вправа 8.2.28

    Що сталося б, якби замість 20 було відібрано 40 голів салату, а прив'язка до помилки залишилася колишньою?

    Відповідь

    Рівень довіри підвищиться.

    Вправа 8.2.29

    Що було б, якби замість 20 було відібрано 40 голів салату, а рівень довіри залишався колишнім?

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні 14 вправ: Середній вік для всіх студентів Foothill College для недавнього осіннього терміну становив 33,2. Стандартне відхилення населення було досить послідовним у 15. Припустимо, що двадцять п'ять зимових учнів були обрані випадковим чином. Середній вік для вибірки склав 30,4. Нас цікавить справжній середній вік для студентів зимового передгірського коледжу. Нехай\(X\) = вік студента зимового передгірського коледжу.

    Вправа 8.2.30

    \(\bar{x} =\)_____

    Відповідь

    30.4

    Вправа 8.2.31

    \(n =\)_____

    Вправа 8.2.32

    ________\(= 15\)

    Відповідь

    \(\sigma\)

    Вправа 8.2.33

    У словах визначаємо випадкову величину\(\bar{X}\).

    Вправа 8.2.34

    Що таке\(\bar{x}\) оцінювання?

    Відповідь

    \(\mu\)

    Вправа 8.2.35

    \(\sigma_{x}\)Відомо?

    Вправа 8.2.36

    В результаті відповіді на Вправа вкажіть точний розподіл, який слід використовувати при обчисленні довірчого інтервалу.

    Відповідь

    нормальний

    Побудуйте 95% довіри інтервал для справжнього середнього віку студентів зимового передгірського коледжу, відпрацювавши потім відповідаючи на наступні сім вправ.

    Вправа 8.2.37

    Скільки площі в обох хвостах (комбінованих)? \(\alpha =\)________

    Вправа 8.2.38

    Скільки площі знаходиться в кожному хвості? \(\frac{\alpha}{2} =\)________

    Відповідь

    0,025

    Вправа 8.2.39

    Визначте наступні технічні характеристики:

    1. нижня межа
    2. верхня межа
    3. помилка прив'язана

    Вправа 8.2.40

    Довірчий інтервал 95% становить:______________.

    Відповідь

    (24,52 36.28)

    Вправа 8.2.41

    Заповніть пробіли на графіку з областями, верхньою і нижньою межею довірчого інтервалу, а також середнє значення вибірки.

    Нормальна крива розподілу з двома вертикальними лініями вгору від осі х до кривої. Довірчий інтервал знаходиться між цими двома рядками. Залишкові ділянки знаходяться по обидва боки.
    Малюнок\(\PageIndex{5}\).

    Вправа 8.2.42

    В одному повному реченні поясніть, що означає інтервал.

    Відповідь

    Ми на 95% впевнені, що справжній середній вік для студентів Winger Foothill College становить від 24,52 до 36,28.

    Вправа 8.2.43

    Використовуючи те ж середнє значення, стандартне відхилення та рівень довіри, припустимо, що вони\(n\) були 69 замість 25. Чи стане прив'язка до помилки більшою чи меншою? Звідки ти знаєш?

    Вправа 8.2.44

    Використовуючи те саме середнє значення, стандартне відхилення та розмір вибірки, як би змінилася помилка, якби рівень довіри був зменшений до 90%? Чому?

    Відповідь

    Помилка, прив'язана до середнього, зменшиться, оскільки, коли CL зменшується, вам потрібна менша площа під нормальною кривою (що перекладається на менший інтервал), щоб захопити справжнє середнє значення популяції.

    Рецензія

    У багатьох випадках дослідник не знає стандартного відхилення\(\sigma\) популяції досліджуваної міри. У цих випадках прийнято використовувати вибірку стандартного відхилення\(s\), як оцінку\(\sigma\). Нормальний розподіл створює точні довірчі інтервали, коли\(\sigma\) відомо, але він не настільки точний, коли\(s\) використовується як оцінка. У цьому випадку t-розподіл Студента набагато краще. Визначте t-score за такою формулою:

    \[t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}\]

    \(t\)-score слідує за\(t\) розподілом Студента зі\(n – 1\) ступенями свободи. Довірчий інтервал при цьому розподілі обчислюється з тим,\(EBM = \left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right)\frac{s}{\sqrt{n}}\) де\(t_{\frac{\alpha}{2}}\)\(t\) -оцінка з площею вправо дорівнює\(\frac{\alpha}{2}\),\(s\) є стандартним відхиленням вибірки і\(n\) є розміром вибірки. Використовуйте таблицю, калькулятор або комп'ютер, щоб знайти\(t_{\frac{\alpha}{2}}\) для даного\(\alpha\).

    Огляд формули

    \(s =\)стандартне відхилення значень вибірки.

    \(t = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)це формула для\(t\) -score, яка вимірює, наскільки далеко від населення середнє значення в\(t\) розподілі Студента

    \(df = n - 1\); ступені свободи для\(t\) -розподілу Студента, де n представляє розмір вибірки

    \(T \sim t_{df}\)випадкова величина\(T\), має\(t\) розподіл Студента зі\(df\) ступенями свободи

    \(EBM = t_{\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}} =\)похибка, прив'язана до середнього значення популяції, коли стандартне відхилення населення невідомо

    \(t_{\frac{\alpha}{2}}\)є\(t\) -score у\(t\) розподілі Студента з площею вправо рівною\(\frac{\alpha}{2}\)

    Загальна форма довірчого інтервалу для одного середнього, стандартне відхилення населення невідомо, t студента задається (нижня межа, верхня межа)

    \[= (\text{point estimate} – EBM, \text{point estimate} + EBM)\]

    \[= \left(\bar{x} - \frac{ts}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{ts}{\sqrt{n}}\right)\]

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні п'ять вправ. Лікарня намагається скоротити час очікування відділення невідкладної допомоги. Його цікавить кількість часу, який пацієнти повинні чекати, перш ніж їм передзвонять, щоб пройти обстеження. Слідчий комітет випадковим чином обстежив 70 пацієнтів. Середнє значення вибірки становило 1,5 години при стандартному відхиленні зразка 0,5 години.

    Вправа 8.3.3

    Визначте наступне:

    1. \(\bar{x} =\)_______
    2. \(s_{x} =\)_______
    3. \(n =\)_______
    4. \(n - 1=\)_______

    Вправа 8.3.4

    Визначте випадкові\(X\) величини і\(\bar{X}\) прописом.

    Відповідь

    \(X\)це кількість годин, які пацієнт чекає у відділенні невідкладної допомоги, перш ніж передзвонити для обстеження. \(\bar{X}\)середній час очікування 70 пацієнтів у відділенні невідкладної допомоги.

    Вправа 8.3.5

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Вправа 8.3.6

    Побудувати 95% довіри інтервал для населення середній час очікування. Створіть довірчий інтервал, намалюйте графік та обчислите межу похибки.

    Відповідь

    \(CI: (1.3808, 1.6192)\)

    Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 1,5 на горизонтальній осі. Центральна область затінена між точками 1,38 і 1,62.
    Малюнок\(\PageIndex{1}\).

    \(EBM = 0.12\)

    Вправа 8.3.7

    Поясніть в повних реченнях, що означає довірчий інтервал.

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні шість вправ: Сто вісім американців були опитані, щоб визначити кількість годин, які вони проводять за переглядом телебачення щомісяця. Було виявлено, що вони спостерігали в середньому 151 годину щомісяця зі стандартним відхиленням 32 години. Припустимо, що основний розподіл населення є нормальним.

    Вправа 8.3.8

    1. \(\bar{x} =\)_______
    2. \(s_{x} =\)_______
    3. \(n =\)_______
    4. \(n - 1=\)_______

    Відповідь

    1. \(\bar{x} = 151\)
    2. \(s_{x} = 32\)
    3. \(n = 108\)
    4. \(n - 1= 107\)

    Вправа 8.3.9

    Визначте випадкову величину\(X\) в словах.

    Вправа 8.3.10

    Визначте випадкову величину\(\bar{X}\) в словах.

    Відповідь

    \(\bar{X}\)середня кількість годин, проведених за переглядом телебачення на місяць з вибірки 108 американців.

    Вправа 8.3.11

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Вправа 8.3.12

    Побудувати 99% довірчий інтервал для населення означає години, проведені за переглядом телебачення в місяць. (а) Створіть довірчий інтервал, (b) намалюйте графік та (c) обчислити межу похибки.

    Відповідь

    \(CI: (142.92, 159.08)\)

    Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 151 на горизонтальній осі. Центральна область затінена між точками 142,92 і 159.08.
    Малюнок\(\PageIndex{2}\).

    \(EBM = 8.08\)

    Вправа 8.3.13

    Чому б помилка пов'язана змінилася, якщо рівень довіри був знижений до 95%?

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні 13 вправ: Дані в таблиці є результатом випадкового опитування 39 національних прапорів (із заміною між виборками) з різних країн. Нам цікаво знайти довірчий інтервал для істинної середньої кількості кольорів на національному прапорі. Нехай\(X =\) кількість кольорів на державному прапорі.

    \(X\) Фрек.
    \ (X\)» клас = «lt-статистика-1928">1 1
    \ (X\)» клас = «lt-статистика-1928">2 7
    \ (X\)» клас = «lt-статистика-1928">3 18
    \ (X\)» клас = «lt-статистика-1928">4 7
    \ (X\)» клас = «lt-статистика-1928">5 6

    Вправа 8.3.14

    1. \(\bar{x} =\)_______
    2. \(s_{x} =\)_______
    3. \(n =\)_______

    Відповідь

    1. 3.26
    2. 1.02
    3. 39

    Вправа 8.3.15

    Визначте випадкову величину\(\bar{X}\) в словах.

    Вправа 8.3.16

    Що таке\(\bar{x}\) оцінювання?

    Відповідь

    \(\mu\)

    Вправа 8.3.17

    \(\sigma_{x}\)Відомо?

    Вправа 8.3.18

    В результаті відповіді на Вправа вкажіть точний розподіл, який слід використовувати при обчисленні довірчого інтервалу.

    Відповідь

    \(t_{38}\)

    Побудувати 95% довірчий інтервал для істинної середньої кількості кольорів на національних прапорах.

    Вправа 8.3.19

    Скільки площі в обох хвостах (комбінованих)?

    Вправа 8.3.20

    Скільки площі знаходиться в кожному хвості?

    Відповідь

    0,025

    Вправа 8.3.21

    Розрахуйте наступне:

    1. нижня межа
    2. верхня межа
    3. помилка прив'язана

    Вправа 8.3.22

    Довірчий інтервал 95% становить_____.

    Відповідь

    (2.93, 3.59)

    Вправа 8.3.23

    Заповніть пробіли на графіку областями, верхньою та нижньою межею Довірчого інтервалу та середнє значення вибірки.

    Це шаблон нормальної кривої розподілу з затіненою центральною областю для представлення довірчого інтервалу. Залишкові ділянки знаходяться по обидва боки затіненої області. Прогалини вказують на те, що студенти повинні позначати рівень довіри, залишкові області та точки, що визначають довірчий інтервал.
    Малюнок\(\PageIndex{3}\).

    Вправа 8.3.24

    В одному повному реченні поясніть, що означає інтервал.

    Відповідь

    Ми на 95% впевнені, що справжня середня кількість кольорів для національних прапорів становить від 2,93 кольорів до 3,59 кольорів.

    Вправа 8.3.25

    Використовуючи те ж саме\(\bar{x}\)\(s_{x}\), і рівень впевненості, припустимо, що\(n\) було 69 замість 39. Чи стане прив'язка до помилки більшою чи меншою? Звідки ти знаєш?

    Відповідь

    Помилка прив'язана стала б\(EBM = 0.245\). Ця межа помилок зменшується, оскільки зі збільшенням розмірів вибірки мінливість зменшується, і нам потрібна менша довжина інтервалу, щоб захопити справжнє середнє значення.

    Вправа 8.3.26

    Використовуючи те ж саме\(\bar{x}\)\(s_{x}\), і\(n = 39\), як зміниться прив'язка до помилки, якщо рівень довіри був зменшений до 90%? Чому?

    Посилання

    1. Дженсен, Томе. «Демократи, республіканці розділилися на думку музичних ікон». Опитування публічної політики. Доступно в Інтернеті за адресою www.publicPolicyPolling.com/Day2MusicPoll.pdf (доступ до 2 липня 2013 р.).
    2. Медден, Мері, Аманда Ленхарт, Сандра Корезі, Урс Гассер, Мейв Дагган, Аарон Сміт та Мередіт Бітон. «Підлітки, соціальні медіа та конфіденційність». ПВІнтернет, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою www.pewinternet.org/звіти/2... d-Privacy.aspx (доступ до 2 липня 2013).
    3. Prince Survey Research Associates International. «2013 Підліток і управління Дослідницький центр Pew: Інтернет та американський проект життя. Доступно в Інтернеті за адресою www.pewinternet.org/~/media//... al%20media.pdf (доступ до 2 липня 2013 р.).
    4. Саад, Лідія. «Три з чотирьох працівників США планують працювати за пенсійним віком: Трохи більше кажуть, що вони будуть робити це за вибором, а не необхідністю». Геллап® Економіка, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.gallup.com/poll/162758/th...ement-age.aspx (доступ до 2 липня 2013 р.).
    5. Поле опитування. Доступно в Інтернеті за адресою field.com/fieldpollonline/передплатники/(доступ 2 липня 2013).
    6. Зоббі. «Нове опитування Sunyit/Zogby Analytics: мало американців турбуються про надзвичайні ситуації, що відбуваються в їхній громаді; Тільки кожен третій має план надзвичайних ситуацій; 70% підтримують інфраструктуру «Інвестиції» для національної безпеки». Zogby Аналітика, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.zogbyanalytics.com/news/2...analytics-poll (доступ до 2 липня 2013 р.).
    7. «52% кажуть, що великий час коледжу легкої атлетики корумпований процес освіти». Звіти Расмуссена, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.rasmussenreports.com/publ...cation_process (доступ до 2 липня 2013 р.).

    Рецензія

    Деякі статистичні заходи, як і багато питань опитування, вимірюють якісні, а не кількісні дані. При цьому оцінюваний параметр популяції є пропорцією. Можна створити довірчий інтервал для справжньої частки населення, дотримуючись процедур, аналогічних тим, що використовуються при створенні довірчих інтервалів для засобів населення. Формули трохи відрізняються, але вони слідують одним і тим же міркуванням.

    \(p′\)Дозволяти представляти пропорцію вибірки\(\frac{x}{n}\), де\(x\) представляє кількість успіхів і\(n\) представляє розмір вибірки. Нехай\(q′ = 1 – p′\). Тоді довірчий інтервал для частки населення задається за такою формулою:

    (Нижня межа, верхня межа) =\(\left(p' - EBP, p' + EBP\right) = \left(p' - z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}, p' + z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\right)\)

    Метод розрахунку довірчих інтервалів «плюс чотири» - це спроба збалансувати похибку, введену шляхом використання оцінок частки населення при розрахунку стандартного відхилення розподілу вибірки. Просто уявіть собі чотири додаткові випробування в дослідженні; два - успіхи, а два - невдачі. Розрахуйте\(p′ = \frac{x+2}{n_4}\), і приступайте до пошуку довірчого інтервалу. Коли розміри вибірки невеликі, цей метод був продемонстрований для забезпечення більш точних довірчих інтервалів, ніж стандартна формула, що використовується для більших зразків.

    Огляд формули

    \(p′ = \frac{x}{n}\)де\(x\) представляє кількість успіхів і\(n\) представляє розмір вибірки. Змінна\(p'\) є пропорцією вибірки і служить точковою оцінкою для справжньої частки населення.

    \[q′ = 1 – p′\]

    \[p' - N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right)\]Змінна\(p′\) має біноміальний розподіл, який можна наблизити з нормальним розподілом, показаним тут.

    \(EBP =\)похибка, прив'язана до пропорції\(= z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\)

    Довірчий інтервал для пропорції:

    \((\text{lower bound, upper bound}) = (p′ – EBP, p′ + EBP) = \left(p' - z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\right), p' + z\sqrt{\frac{p'q'}{n}}\)

    \(n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}p'q'}{EBP^{2}}\)забезпечує кількість учасників, необхідних для оцінки частки населення з упевненістю\(1 - \alpha\) та похибкою\(EBP\).

    Використовуйте нормальний розподіл для однієї частки населення\(p' = \frac{x}{n}\)

    \(EBP = \left(z_{\frac{\alpha}{2}}\right)\sqrt{\frac{p'q'}{n}}p' + q' = 1\)

    Довірчий інтервал має формат\((p′ – EBP, p′ + EBP)\).

    • \(\bar{x}\)є точковою оцінкою для\(\mu\)
    • \(p′\)є точковою оцінкою для\(\rho\)
    • \(s\)є точковою оцінкою для\(\sigma\)

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні дві вправи: Маркетингові компанії зацікавлені в тому, щоб знати відсоток населення жінок, які приймають більшість рішень про придбання домогосподарств.

    Вправа 8.4.6

    При розробці дослідження для визначення цієї частки населення, яка мінімальна кількість вам потрібно буде опитувати, щоб бути 90% впевненим, що частка населення оцінюється в межах 0,05?

    Вправа 8.4.7

    Якби пізніше було визначено, що важливо бути більш ніж на 90% впевненим і було введено в експлуатацію нове опитування, як це вплине на мінімальну кількість, необхідну для обстеження? Чому?

    Відповідь

    Це зменшилося б, тому що\(z\) -score зменшиться, що зменшує чисельник і зменшує число.

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні п'ять вправ: Припустимо, маркетингова компанія зробила опитування. Вони випадковим чином опитали 200 домогосподарств і виявили, що в 120 з них жінка прийняла більшість рішень про покупку. Нас цікавить частка населення домогосподарств, де жінки приймають більшість рішень про закупівлю.

    Вправа 8.4.8

    Визначте наступне:

    1. \(x =\)______
    2. \(n =\)______
    3. \(p′ =\)______

    Вправа 8.4.9

    Визначте випадкові\(X\) величини і\(P′ \) прописом.

    Відповідь

    \(X\)це кількість «успіхів», де жінка приймає більшість рішень про покупку для домогосподарства. \(P′\)- це відсоток вибірки домогосподарств, де жінка приймає більшість рішень про придбання для домогосподарства.

    Вправа 8.4.10

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Вправа 8.4.11

    Побудувати 95% довіри інтервал для частки населення домогосподарств, де жінки приймають більшість рішень про покупку. Створіть довірчий інтервал, намалюйте графік та обчислите межу похибки.

    Відповідь

    \(CI: (0.5321, 0.6679)\)

    Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 0,6 на горизонтальній осі. Центральна область затінена між точками 0.5321 і 0.6679.
    Малюнок\(\PageIndex{1}\).

    \(EBM: 0.0679\)

    Вправа 8.4.12

    Перерахуйте дві труднощі, які компанія може мати при отриманні випадкових результатів, якщо це опитування було зроблено електронною поштою.

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні п'ять вправ: З 1050 випадково відібраних дорослих 360 ідентифікували себе як ручних робітників, 280 ідентифікували себе як неручні працівники заробітної плати, 250 ідентифікували себе як менеджери середнього рівня, а 160 ідентифікували себе як керівники. В ході опитування 82% ручних робітників віддали перевагу вантажівкам, 62% неручних працівників віддали перевагу вантажівкам, 54% менеджерів середнього рівня віддали перевагу вантажівкам, а 26% керівників віддали перевагу вантажівкам.

    Вправа 8.4.13

    Ми зацікавлені в тому, щоб знайти 95% довіри інтервалу для відсотків керівників, які віддають перевагу вантажівкам. Визначте випадкові\(X\) величини і\(P′\) прописом.

    Відповідь

    \(X\)це кількість «успіхів», де керівник віддає перевагу вантажівці. \(P′\)відсоток вибірки керівників, які віддають перевагу вантажівці.

    Вправа 8.4.14

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Вправа 8.4.15

    Побудувати 95% довірчий інтервал. Створіть довірчий інтервал, намалюйте графік та обчислите межу похибки.

    Відповідь

    \(CI: (0.19432, 0.33068)\)

    Це нормальна крива розподілу. Пік кривої збігається з точкою 0,26 на горизонтальній осі. Центральна область затінена між точками 0.1943 і 0.3307.
    Малюнок\(\PageIndex{2}\).

    \(EBM: 0.0707\)

    Вправа 8.4.16

    Припустимо, ми хочемо знизити похибку вибірки. Який один із способів досягти цього?

    Вправа 8.4.17

    Похибка вибірки, наведена в опитуванні, є\(\pm 2%\). Поясніть, що\(\pm 2%\) означає.

    Відповідь

    Помилка вибірки означає, що справжнє середнє значення може бути на 2% вище або нижче середнього зразка.

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні п'ять вправ: Опитування 1,200 виборців запитало, яка найважливіша проблема була на майбутніх виборах. Шістдесят п'ять відсотків відповіли економіці. Нас цікавить частка населення виборців, які вважають економіку найважливішою.

    Вправа 8.4.18

    Визначте випадкову величину\(X\) в словах.

    Вправа 8.4.19

    Визначте випадкову величину\(P′\) в словах.

    Відповідь

    \(P′\)це частка виборців, які відбираються, які сказали, що економіка є найважливішим питанням на майбутніх виборах.

    Вправа 8.4.20

    Який дистрибутив слід використовувати для цієї проблеми?

    Вправа 8.4.21

    Побудуйте довірчий інтервал 90% та вкажіть довірчий інтервал та прив'язку до помилки.

    Відповідь

    \(CI: (0.62735, 0.67265)\)

    \(EBM: 0.02265\)

    Вправа 8.4.22

    Що було б з довірчим інтервалом, якби рівень довіри становив 95%?

    Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні 16 вправ: The Ice Chalet пропонує десятки різних початкових класів катання на ковзанах. Всі імена класів поміщаються в відро. 17:00, в понеділок ввечері, віком від 8 до 12 років, починаючи клас катання на ковзанах був обраний. У тому класі були 64 дівчинки і 16 хлопчиків. Припустимо, що нас цікавить справжня частка дівчат, віком від 8 до 12 років, у всіх початкових класах катання на ковзанах в Ice Chalet. Припустимо, що діти у вибраному класі є випадковою вибіркою населення.

    Вправа 8.4.23

    Що підраховується?

    Відповідь

    Кількість дівчат, віком від 8 до 12 років, в 17:00 в понеділок ввечері починається заняття з катання на ковзанах.

    Вправа 8.4.24

    У словах визначаємо випадкову величину\(X\).

    Вправа 8.4.25

    Розрахуйте наступне:

    1. \(x =\)_______
    2. \(n =\)_______
    3. \(p′ =\)_______

    Відповідь

    1. \(x = 64\)
    2. \(n = 80\)
    3. \(p′ = 0.8\)

    Вправа 8.4.26

    Створіть розрахунковий розподіл\(X\). \(X \sim\)________

    Вправа 8.4.27

    Визначте нову випадкову величину\(P′\). Що таке\(p′\) оцінка?

    Відповідь

    \(p\)

    Вправа 8.4.28

    У словах визначаємо випадкову величину\(P′\).

    Вправа 8.4.29

    Створіть розрахунковий розподіл\(P′\). Побудувати 92% довірчий інтервал для справжньої частки дівчат у віці від 8 до 12 років, які починають заняття катанням на ковзанах в Ice Chalet.

    Відповідь

    \(P\ - N\left(0.8, \sqrt{\frac{(0.8)(0.2)}{80}}\right)\). \((0.72171,0.87829)\).

    Вправа 8.4.30

    Скільки площі в обох хвостах (комбінованих)?

    Вправа 8.4.31

    Скільки площі знаходиться в кожному хвості?

    Відповідь

    0,04

    Вправа 8.4.32

    Розрахуйте наступне:

    1. нижня межа
    2. верхня межа
    3. помилка прив'язана

    Вправа 8.4.33

    Довірчий інтервал 92% - _______.

    Відповідь

    (0,72; 0,88)

    Вправа 8.4.34

    Заповніть пробіли на графіку областями, верхньою та нижньою межею довірчого інтервалу та пропорцією вибірки.

    Нормальна крива розподілу з двома вертикальними лініями вгору від осі х до кривої. Довірчий інтервал знаходиться між цими двома рядками. Залишкові ділянки знаходяться по обидва боки.
    Малюнок\(\PageIndex{3}\).

    Вправа 8.4.35

    В одному повному реченні поясніть, що означає інтервал.

    Відповідь

    З впевненістю 92% ми оцінюємо частку дівчат віком від 8 до 12 років у початковому класі катання на ковзанах в Ice Chalet становить від 72% до 88%.

    Вправа 8.4.36

    Використовуючи те ж саме\(p′\) і рівень впевненості, припустимо, що\(n\) були збільшені до 100. Чи стане прив'язка до помилки більшою чи меншою? Звідки ти знаєш?

    Вправа 8.4.37

    Використовуючи те ж саме\(p′\) і\(n = 80\), як зміниться прив'язка до помилки, якщо рівень довіри був збільшений до 98%? Чому?

    Відповідь

    Прив'язка до помилки збільшиться. Припускаючи, що всі інші змінні залишаються постійними, у міру збільшення рівня довіри площа під кривою, що відповідає рівню довіри, стає більшою, що створює ширший інтервал і, отже, більшу похибку.

    Вправа 8.4.38

    Якщо ви зменшили допустиму межу помилок, чому мінімальний розмір вибірки збільшувався (зберігаючи той самий рівень довіри)?