16.4: Перетворення коробка-Кокса

Цілі навчання

• Вивчити перетворення Бокса-Кокса

Джордж Бокс і сер Девід Кокс співпрацювали на одному папері (Box,$1964$). Історія полягає в тому, що в той час як Кокс відвідував Box у Вісконсіні, вони вирішили, що повинні написати папір разом через схожість їх імен (і що обидва британські). Насправді професор Бокс одружений на дочці сера Рональда Фішера.

Перетворення Box-Cox$x$ змінної також індексується$λ$, і визначається як

$$x' = \dfrac{x^\lambda-1}{\lambda} \label{eq1}$$

На перший погляд, хоча формула в Equation\ ref {eq1} є масштабованою версією перетворення Тукі$x^\lambda$, це перетворення не схоже на формулу Туреччини в Equation (2). Однак більш уважний погляд показує, що коли$λ < 0$, як$x_\lambda$ і$X_{\lambda }^{'}$ змінити знак,$x^\lambda$ щоб зберегти порядок. Більший інтерес викликає той факт, що коли$λ = 0$, то змінна Box-Cox є невизначеною формою$0/0$. Переписування формули Бокса-Кокса як

$$X_{\lambda }^{'}=\frac{e^{\lambda \log (x)}-1}{\lambda }\approx \frac{\left ( 1+\lambda \log (x) + \tfrac{1}{2}\lambda ^2\log (x)^2 + \cdots \right )-1}{\lambda }\rightarrow \log (x)$$

як$\lambda \rightarrow 0$. Цей самий результат також може бути отриманий за допомогою правила L'Hôpital з вашого курсу обчислення. Це дає суворе пояснення припущення Тукі про те, що перетворення журналу (яке не є прикладом перетворення поліномів) може бути вставлено за значенням$λ = 0$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Приклади перетворення Box-Cox$X_{\lambda }^{'}$ проти$x$ for$λ = −1, 0, 1$. У другому ряду наноситься$X_{\lambda }^{'}$ впритул$log(x)$. Червона точка знаходиться в$(1, 0)$.

Зверніть увагу з цим визначенням$X_{\lambda }^{'}$ того, що$x = 1$ завжди відображає точку$X_{\lambda }^{'} = 0$ для всіх значень$λ$. Щоб побачити, як працює трансформація, подивіться на прикладах на рис$\PageIndex{1}$. У верхньому ряду вибір$λ = 1$ просто зміщується$x$ на значення$x−1$, яке представляє собою пряму лінію. У нижньому ряду (за напівлогарифмічною шкалою) вибір$λ = 0$ відповідає логарифмічному перетворенню, яке тепер є прямою лінією. Ми накладаємо більшу колекцію перетворень на напівлогарифмічну шкалу на рис$\PageIndex{2}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Приклади перетворення Box-Cox$X_{\lambda }^{'}$ проти$log(x)$ for$−2 < λ < 3$. Нижня крива відповідає,$λ = −2$ а верхня до$λ = 3$.

Трансформація до нормальності

Іншим важливим використанням змінного перетворення є усунення перекосу та інших функцій розподілу, що ускладнюють аналіз. Часто мета полягає в тому, щоб знайти просту трансформацію, яка веде до нормальності. У статті на$q-q$ ділянках ми обговоримо, як оцінити нормальність набору даних,

$$x_1,x_2, \ldots ,x_n.$$

Дані, які є нормальними, ведуть до прямої лінії на графіку q-q. Оскільки коефіцієнт кореляції максимізується, коли діаграма розсіювання лінійна, ми можемо використовувати той самий підхід вище, щоб знайти найбільш нормальне перетворення.

Зокрема, формуємо$n$ пари

$$\left ( \Phi ^{-1} \left ( \frac{i-0.5}{n} \right ), x_{(i)} \right ),\; for\; i=1,2,\cdots ,n$$

де$\Phi ^{-1}$ - зворотний CDF нормальної щільності і$x_{(i)}$ позначає$i^{th}$ відсортоване значення набору даних. Як приклад розглянемо велику вибірку британських доходів домогосподарств, прийнятих$1973$, нормованих, щоб мати середнє значення рівне одиниці ($n = 7125$). Такі дані часто сильно перекошені, як зрозуміло з малюнка$\PageIndex{3}$. Дані були відсортовані та поєднані з$7125$ нормальними квантилями. Значення$λ$ того, що давало найбільшу кореляцію ($r = 0.9944$) було$λ = 0.21$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: (L) Графік щільності$1973$ британських даних про доходи. (R) Найкраще значення$λ$ є$0.21$.

Графік щільності ядра оптимально перетворених даних показаний у лівому кадрі рисунка$\PageIndex{4}$. Хоча ця цифра набагато менше перекошена, ніж на малюнку$\PageIndex{3}$, у розподілі явно є додатковий «компонент», який може відображати бідних. Економісти часто аналізують логарифм доходів, відповідний$λ = 0$; див$\PageIndex{4}$. Рис. Співвідношення є тільки$r = 0.9901$ в цьому випадку, але для зручності, ймовірно, буде кращим log-transform.

Малюнок$\PageIndex{4}$: (L) Графік щільності$1973$ британських даних про доходи, перетворений с$λ = 0.21$. (R) Журнал перетворення с$λ = 0$.

Інші програми

Регресійний аналіз - це ще одна програма, де часто застосовується перетворення змінних. Для моделі

$$y =\beta_o + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots \beta_p x_p + \epsilon$$

і приталена модель

$$\widehat{y}=b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + \cdots + b_px_p$$

кожна зі змінних предиктора$x_j$ може бути перетворена. Звичайним критерієм є дисперсія залишків, задана

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\widehat{y}_i-y_i)^2$$

Іноді змінна відповіді y може трансформуватися. У цьому випадку слід дотримуватися обережності, оскільки дисперсія залишків не порівнянна, оскільки$λ$ змінюється. $\bar{g}_y$Дозволяти представляти середнє геометричне змінних відповіді.

$$\bar{g}_y = \left ( \prod_{i-1}^{n} y_i \right )^{1/n}$$

Тоді перетворена відповідь визначається як

$$y_{\lambda }^{'} = \frac{y^\lambda -1}{\lambda \cdot \bar{g}_{y}^{\lambda -1}}$$

Коли$λ = 0$ (логарифмічний випадок),

$$y_{0}^{'} = \bar{g}_y \cdot \log (y)$$

Додаткові приклади та обговорення див. Кутнер, Нахтсхайм, Нетер та Лі (2004).

Посилання

1. Бокс, Г.Е.П. і Кокс, Д. Р. (1964). Аналіз трансформацій, Журнал Королівського статистичного товариства, Серія B, 26, 211-252.
2. Кутнер, М., Нахтсхайм, К., Нетер, Дж., і Лі, В. (2004). Прикладні лінійні статистичні моделі, Макгроу-Хілл/Ірвін, Homewood, IL.