15.8: В межах суб'єктів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98189

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Поясніть, чому дизайн всередині предметів може мати більшу потужність, ніж дизайн між предметами
Поясніть помилку з точки зору взаємодії
Вміти створювати стовпці Source та df зведеної таблиці ANOVA для дизайну з однією змінною між предметами та однією змінною всередині суб'єктів
Опишіть наслідки порушення припущення про сферичність
Обговоріть способи дій, які можна вжити, якщо порушена сферичність

У межах суб'єктів фактори передбачають порівняння одних і тих же предметів за різних умов. Наприклад, у дослідженні «Лікування СДУГ» ефективність кожної дитини вимірювалася чотири рази, один раз після перебування на кожній з чотирьох доз препарату протягом тижня. Тому ефективність кожного суб'єкта вимірювалася на кожному з чотирьох рівнів фактора «Доза». Зверніть увагу на відмінність від факторів між суб'єктами, для яких ефективність кожного суб'єкта вимірюється лише один раз, а порівняння - між різними групами предметів. Фактор всередині суб'єктів іноді називають коефіцієнтом повторних заходів, оскільки повторні вимірювання проводяться з кожного предмета. Експериментальна конструкція, в якій незалежна змінна є коефіцієнтом всередині суб'єктів, називається дизайном всередині суб'єктів.

Перевага конструкцій всередині предметів

Однофакторні конструкції

Розглянемо, як проаналізувати дані з тематичного дослідження «Лікування СДУГ». Ці дані складаються з балів\(24\) дітей із СДУГ за завданням затримки задоволення (DOG). Кожна дитина була протестована під чотирма дозовими рівнями. Наразі ми будемо займатися лише тестуванням різниці між середнім значенням у стані плацебо (найнижча доза\(D0\)) та середнім у стані найвищої дози (\(D60\)). Деталі обчислень відносно неважливі, оскільки вони майже повсюдно виконуються комп'ютерами. Тому ми переходимо праворуч до таблиці резюме ANOVA, наведеної в табл\(\PageIndex{1}\).

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Зведена таблиця ANOVA
Джерело	дф	SSQ	МС	F	р
Тематика	23	5781.98	251.39
Дозування	1	295.02	295.02	10.38	0,004
Помилка	23	653.48	28.41
Всього	47	6730.48

Перше джерело варіації, «Суб'єкти», відноситься до відмінностей між суб'єктами. Якби всі випробовувані мали точно таке ж середнє значення (через дві дози), то сума квадратів для предметів була б нульовою; чим більше предмети відрізняються один від одного, тим більша сума квадратів суб'єктів.

Дозування відноситься до відмінностей між двома рівнями дозування. Якби кошти для двох рівнів дозування були рівні, сума квадратів дорівнювала б нулю. Чим більше різниця між засобами, тим більше сума квадратів.

Похибка відображає ступінь, в якій вплив дозування різний для різних суб'єктів. Якби всі випробовувані відповіли дуже подібно до препарату, то похибка була б дуже низькою. Наприклад, якщо всі суб'єкти працювали помірно краще з високою дозою, ніж вони робили з плацебо, то похибка була б низькою. З іншого боку, якби деякі суб'єкти зробили краще з плацебо, тоді як інші зробили краще з високою дозою, то помилка була б високою. Він повинен мати інтуїтивний сенс, що чим менш послідовним ефект дозування, тим більшим повинен бути ефект дозування, щоб бути значним. Ступінь, в якій вплив дозування відрізняється залежно від суб'єкта, - це\(Subjects \times Dosage\) взаємодія. Нагадаємо, що взаємодія відбувається, коли ефект однієї змінної відрізняється в залежності від рівня іншої змінної. При цьому розмір терміна помилки - це ступінь, в якій вплив змінної «Дозування» відрізняється в залежності від рівня змінної «Суб'єкти». Зверніть увагу, що кожен предмет - це різний рівень змінної «Суб'єкти».

Інші частини зведеної таблиці мають те ж значення, що і між предметами ANOVA. \(F\)Для дозування - це середній квадрат для дозування, розділений на середню квадратну похибку. Для цих даних значним\(F\) є с\(p = 0.004\). Зверніть увагу, що цей\(F\) тест еквівалентний тесту t для корельованих пар, с\(F = t^2\).

Таблиця\(\PageIndex{2}\) показує Зведену таблицю ANOVA, коли всі чотири дози включені в аналіз. Оскільки зараз є чотири рівні дозування, а не два,\(df\) для дозування є три, а не один. Оскільки помилка є\(Subjects \times Dosage\) взаємодією,\(df\) для помилки є\(df\) для «Суб'єктів» (\(23\)) разів\(df\) для дозування (\(3\)) і дорівнює\(69\).

Таблиця\(\PageIndex{2}\): Зведена таблиця ANOVA
Джерело	дф	SSQ	МС	F	р
Тематика	23	9065.49	394.15
Дозування	3	557.61	185.87	5.18	0,003
Помилка	69	2476.64	35.89
Всього	95	12099.74

Ефекти перенесення

Часто виконання в одній умові впливає на продуктивність в наступному стані таким чином, щоб зробити дизайн всередині предметів непрактичним. Наприклад, розглянемо експеримент з двома умовами. В обох умовах суб'єкти представлені парами слів. В\(\text{Condition A}\), суб'єктів просять судити, чи мають слова подібне значення, тоді як в\(\text{Condition B}\), суб'єкти просять судити, чи звучать вони подібно. В обох умовах випробовуваним видається сюрприз тест пам'яті в кінці презентації. \(\text{Condition}\)Якби була змінна всередині предметів, то не було б несподіванки після другої презентації, і цілком ймовірно, що суб'єкти намагалися б запам'ятати слова.

Не всі перехідні ефекти викликають такі серйозні проблеми. Наприклад, якщо суб'єкти втомлюються, виконуючи завдання, то очікується, що вони будуть гірше за другого стану, в якому вони перебували. Однак до тих пір, поки порядок презентації врівноважений, щоб половина суб'єктів перебували в\(\text{Condition A}\) першій і\(\text{Condition B}\) другій, сам ефект втоми не призведе до недійсності результатів, хоча це додасть шуму та зменшить потужність. Ефект перенесення симетричний тим, що\(\text{Condition A}\) спочатку впливає на продуктивність\(\text{Condition B}\) в тій же мірі, що\(\text{Condition B}\) спочатку впливає на продуктивність в\(\text{Condition A}\).

Асиметричні ефекти переносу викликають більш серйозні проблеми. Наприклад, припустимо, що продуктивність\(\text{ConditionB }\) була набагато кращою, якщо передувала\(\text{Condition A}\), тоді як продуктивність в\(\text{Condition A}\) була приблизно однаковою незалежно від того, чи передувала їй\(\text{Condition B}\). З таким ефектом перенесення, ймовірно, краще використовувати дизайн між предметами.

Один між- і один всередині суб'єктів фактор

У тематичному дослідженні «Stroop Interference» випробовувані виконували три завдання: називати кольори, читати кольорові слова та називати колір чорнила кольорових слів. Деякі з суб'єктів були чоловіками, а деякі - жінками. Тому така конструкція мала два фактори: стать і завдання. Зведена таблиця ANOVA для цієї конструкції наведена в табл\(\PageIndex{3}\).

Таблиця\(\PageIndex{3}\): Зведена таблиця ANOVA для експерименту Стропа
Джерело	дф	SSQ	МС	F	р
Стать	1	83.32	83.32	1,99	0,165
Помилка	45	1880.56	41.79
Завдання	2	9525.97	4762.99	228.06	<0,001
Стать x Завдання	2	55.85	27.92	1.34	0,268
Помилка	90	1879.67	20.89

Обчислення сум квадратів не будуть покриті, оскільки обчислення зазвичай виконуються програмним забезпеченням. Однак є деякі важливі речі, які слід дізнатися з зведеної таблиці. По-перше, зверніть увагу, що існує два терміни помилки: один для змінної між суб'єктами Стать і один для змінної всередині суб'єктів Завдання і взаємодії змінної між суб'єктами та змінної всередині суб'єктів. Як правило, середня квадратна похибка для змінної між суб'єктами буде вище, ніж інша середня квадратна помилка. У цьому прикладі середня квадратна похибка для статі приблизно вдвічі більша за іншу середню квадратну похибку.

Ступінь свободи для змінної між суб'єктами дорівнює кількості рівнів змінної між суб'єктами мінус одиниця. У цьому прикладі це один, оскільки існує два рівні статі. Аналогічно ступені свободи для змінної всередині суб'єктів дорівнюють кількості рівнів змінної мінус одиниця. У цьому прикладі це два, оскільки є три завдання. Ступені свободи для взаємодії є добутком ступенів свободи для двох змінних. Для\(Gender \times Task\) взаємодії ступені свободи є добутком ступенів свободи Стать (яка є\(1\)) і ступенів свободи Завдання (яка є\(2\)) і дорівнює\(2\).

Припущення сферичності

У межах суб'єктів ANOVA робить обмежувальне припущення про дисперсії та кореляції між залежними змінними. Хоча деталі припущення виходять за рамки цієї книги, приблизно правильно сказати, що передбачається, що всі кореляції рівні, а всі дисперсії рівні. Таблиця\(\PageIndex{4}\) показує кореляції між трьома залежними змінними в тематичному дослідженні «Stroop Interference».

Таблиця\(\PageIndex{4}\): Кореляції між залежними змінними
	читання слів	іменування кольорів	втручання
читання слів	1	0,7013	0,1583
іменування кольорів	0,7013	1	0,2382
втручання	0,1583	0,2382	1

Зверніть увагу, що кореляція між читанням слова та змінними іменування кольорів\(0.7013\) набагато вища, ніж кореляція між будь-якою з цих змінних із змінною інтерференції. Більш того, як показано в таблиці\(\PageIndex{5}\), розбіжності між змінними сильно відрізняються.

Таблиця\(\PageIndex{5}\): Розбіжності
Змінна	дисперсія
читання слів	15.77
іменування кольорів	13.92
втручання	55.07

Природно, припущення про сферичність, як і всі припущення, стосується популяцій, а не зразків. Однак з цих вибіркових даних зрозуміло, що припущення у населення не виконується.

Наслідки порушення припущення про сферичність

Хоча ANOVA стійка до більшості порушень своїх припущень, припущення про сферичність є винятком: порушення припущення про сферичність призводить до значного збільшення частоти помилок типу I. Більш того, це припущення рідко зустрічається на практиці. Хоча порушення цього припущення свого часу приділяли мало уваги, нинішній консенсус аналітиків даних полягає в тому, що ігнорувати їх більше не вважається прийнятним.

Підходи до боротьби з порушеннями сферичності

Якщо ефект дуже значний, існує консервативний тест, який можна використовувати для захисту від завищеного рівня помилок типу I. Цей тест складається з коригування ступенів свободи для всіх змінних всередині суб'єктів наступним чином: Чисельник ступенів свободи та знаменник діляться на кількість балів на предмет мінус один. Розглянемо ефект Завдання наведено в табл\(\PageIndex{3}\). Існує три бали на предмет, і тому ступені свободи слід розділити на два. Відрегульовані ступені свободи бувають:

\((2)(1/2) = 1\)для чисельника і

\((90)(1/2) = 45\)для знаменника

Значення ймовірності отримано за допомогою калькулятора\(F\) ймовірностей з новими параметрами ступенів свободи. Імовірність a\(F\) of\(228.06\) або більше з\(1\) і\(45\) ступенів свободи менше, ніж\(0.001\). Тому турбуватися про порушення припущення в даному випадку не потрібно.

Можливе порушення сферичності дійсно має значення в інтерпретації аналізу, наведеної в табл\(\PageIndex{2}\). Значення ймовірності a\(5.18\) з\(1\) і\(23\) ступенів свободи є\(0.032\), значення, яке призвело б до більш обережного висновку, ніж\(p\) значення\(0.003\) наведено в табл\(\PageIndex{2}\).\(F\)

Описана вище корекція дуже консервативна і повинна використовуватися лише тоді, коли, як в таблиці\(\PageIndex{3}\), значення ймовірності дуже низьке. Краща корекція, але дуже складна для обчислення, полягає в тому, щоб помножити ступені свободи на величину, яка називається\(\varepsilon\) (грецька буква епсилон). Існує два методи розрахунку\(\varepsilon\). Корекція під назвою Huynh-Feldt (або\(H-F\)) трохи віддається перевагу тій, яка називається Теплиця-Гейссер (або\(G-G\)), хоча обидва працюють добре. \(G-G\)Корекція, як правило, вважається трохи занадто консервативною.

Остаточним методом боротьби з порушеннями сферичності є використання багатовимірного підходу до змінних всередині суб'єктів. Цей метод має багато чого рекомендувати, але він виходить за рамки цього тексту.