15.7: Тести, що доповнюють

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 15.6: Нерівні розміри вибірки
- 15.8: В межах суб'єктів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Обчислюйте тест HSD Туреччини
Опишіть взаємодію словами
Опишіть, чому можна обчислити прості тести ефектів після значної взаємодії

Нульова гіпотеза, перевірена в однофакторній ANOVA, полягає в тому, що всі засоби населення рівні. Зазначається більш формально,

$H_0: \mu _1 = \mu _2 = \cdots = \mu _k$

де $H_0$ нульова гіпотеза і $k$ - кількість умов. Коли нульова гіпотеза відхиляється, все, що можна сказати, це те, що принаймні одне середнє значення популяції відрізняється від принаймні одного іншого середнього рівня популяції. Тут застосовуються методи проведення більш конкретних тестів, описаних Усі парні порівняння між засобами та конкретними порівняннями. Майте на увазі, що ці тести дійсні незалежно від того, передує їм ANOVA.

Основні ефекти

Як показано нижче, значні основні ефекти в багатофакторних конструкціях можуть спостерігатися так само, як і значні ефекти в односторонніх конструкціях. Таблиця $\PageIndex{1}$ показує дані уявного експерименту з трьома рівнями $\text{Factor A}$ і двома рівнями $\text{Factor B}$ .

Таблиця $\PageIndex{1}$ : Складені дані Приклад
	A1	A2	A3	граничні засоби
B1	5	9	7	7.08
	4	8	9
	6	7	9
	5	8	8
	Середнє = 5	Середнє = 8	Середнє = 8,25
B2	4	8	8	6.50
	3	6	9
	6	8	7
	8	5	6
	Середнє = 5,25	Середнє = 6,75	Середнє значення = 7,50
граничні засоби	5.125	7.375	7,875	6.79

Таблиця $\PageIndex{2}$ показує підсумкову таблицю ANOVA для цих даних. Значний основний ефект $A$ вказує на те, що в популяції хоча б одне з граничних засобів для $A$ відрізняється хоча б від одного з інших.

Таблиця $\PageIndex{2}$ : Зведена таблиця ANOVA для складених прикладних даних
Джерело	дф	SSQ	МС	F	р
A	2	34.333	17.167	9.29	0,0017
Б	1	2.042	2.042	1.10	0,3070
А х В	2	2.333	1.167	0,63	0,5431
Помилка	18	33.250	1.847
Всього	23	71.958

Тест Tukey HSD може бути використаний для перевірки всіх попарних порівнянь між засобами в однофакторному ANOVA, а також порівнянь між граничними засобами в багатофакторному ANOVA. Формула для випадку рівного розміру вибірки наведена нижче.

$Q = \cfrac{M_i-M_j}{\sqrt{\cfrac{MSE}{n}}}$

де $M_i$ і $M_j$ є граничними засобами, $MSE$ це середня квадратна помилка від ANOVA, а n - кількість балів, на яких базується кожне середнє значення. Для цього прикладу $MSE = 1.847$ і $n = 8$ тому, що є вісім балів на кожному рівні $A$ . Значення ймовірності можна обчислити за допомогою калькулятора вивченого діапазону. Ступінь свободи дорівнює ступеням похибки свободи. Для цього прикладу, $df = 18$ . Результати тесту на HSD Туреччини наведені в табл $\PageIndex{3}$ . Середнє значення для $A_1$ значно нижче середнього значення для $A_2$ і середнього значення для $A_3$ . $A_2$ Засоби для і істотно не $A_3$ відрізняються.

Таблиця $\PageIndex{3}$ : Попарні порівняння між граничними засобами для A
Порівняння	М _i - М _j	Q	р
А ₁ - А ₂	-2.25	-4.68	0,010
А ₁ - А ₃	-2.75	-5.72	0,002
А ₂ - А ₃	-0.50	-1.04	0,746

Конкретні порівняння між засобами також проводяться приблизно так само, як показано у відповідному розділі про засоби тестування. Формула $L$ для

$L = \sum c_i M_i$

де $c_i$ - коефіцієнт для $i^{th}$ граничного середнього і $M_i$ - $i^{th}$ граничне середнє. Наприклад, порівняти $A_1$ з середнім показником $A_2$ і $A_3$ , коефіцієнти були б $1$ , $-0.5$ , $-0.5$ . Тому,

$L = (1)(5.125) + (-0.5)(7.375) + (-0.5)(7.875) = -2.5$

Для $t$ обчислення використовуйте:

$\begin{align*} t &= \cfrac{L}{\sqrt{\cfrac{\sum c_{i}^{2}MSE}{n}}}\\ &= -4.25 \end{align*}$

де $MSE$ - середня квадратна похибка від ANOVA, а n - кількість балів, на яких базується кожне граничне середнє (вісім у цьому прикладі). Ступінь свободи - це ступінь похибки свободи від ANOVA і дорівнює $18$ . Використовуючи онлайн-калькулятор, ми знаходимо, що значення двоххвостої ймовірності є $0.0005$ . Тому різниця між $A_1$ середнім показником $A_2$ і $A_3$ значна.

t калькулятор розподілу

Важливі питання, що стосуються численних порівнянь та ортогональних порівнянь, обговорюються в розділі «Специфічні порівняння» в розділі «Засоби тестування».

Взаємодії

Наявність значної взаємодії ускладнює інтерпретацію результатів. Оскільки взаємодія означає, що прості ефекти різні, основний ефект як засіб простих ефектів не розповідає всю історію. У цьому розділі розглядається, як описати взаємодію, правильне та неправильне використання простих тестів ефектів, а також як перевірити компоненти взаємодій.

Опис взаємодій

Найважливішим першим кроком у розумінні значної взаємодії є побудова сюжету взаємодії. $\PageIndex{1}$ На малюнку показаний графік взаємодії з даними, представленими в розділі про багатофакторну ANOVA.

Малюнок $\PageIndex{1}$ : Графік взаємодії для вигаданих даних

Другий крок - чітко і зрозуміло описати взаємодію. Це часто робиться шляхом опису того, чим відрізняються прості ефекти. Оскільки це потрібно робити, використовуючи якомога менше жаргону, вираз «простий ефект» не обов'язково відображатися в описі. Приклад виглядає наступним чином:

Ефект результату відрізнявся залежно від самооцінки суб'єкта. Різниця між атрибуцією до успіху після себе та віднесення до себе після невдачі була більшою для суб'єктів з високою самооцінкою (середня різниця = $2.50$ ), ніж для суб'єктів з низькою самооцінкою (середня різниця = $-2.33$ ).

Ніякі подальші аналізи не корисні для розуміння взаємодії, оскільки взаємодія означає лише те, що прості ефекти відрізняються. Значення взаємодії вказує на те, що прості ефекти відрізняються один від одного, але не дає інформації про те, чи відрізняються вони від нуля.

Прості тести на ефект

Не потрібно знати, чи відрізняються прості ефекти від нуля, щоб зрозуміти взаємодію, оскільки питання про те, чи відрізняються прості ефекти від нуля, не має нічого спільного з взаємодією, за винятком того, що якщо вони обидва нульові, немає взаємодії. Не рідкість бачити дослідницькі статті, в яких автори повідомляють, що вони аналізували прості ефекти, щоб пояснити взаємодію. Однак це не є дійсним підходом, оскільки взаємодія не залежить від аналізу простих ефектів.

Однак є підстави перевірити прості ефекти після значної взаємодії. Оскільки взаємодія вказує на те, що прості ефекти відрізняються, це означає, що основні ефекти не є загальними. У складеному прикладі основний ефект результату не дуже інформативний, а ефект результату слід розглядати окремо для суб'єктів з високою і низькою самооцінкою.

Як буде видно, прості ефекти результату є значними і в протилежних напрямках: Успіх значно збільшує атрибуцію до себе для суб'єктів з високою самооцінкою і значно знижує атрибуцію до себе для суб'єктів з низькою самооцінкою. Це дуже простий результат для інтерпретації.

Якою була б інтерпретація, якби жоден простий ефект не був значним? На поверхні це здається неможливим: як прості ефекти можуть бути нульовими, якщо вони значно відрізняються один від одного, як перевірено взаємодією? Відповідь полягає в тому, що незначний простий ефект не означає, що простий ефект дорівнює нулю: нульова гіпотеза не повинна бути прийнята тільки тому, що вона не відхилена.

(Див. розділ «Інтерпретація несуттєвих результатів»)

Якщо жоден простий ефект не є значним, слід зробити висновок, що прості ефекти відрізняються, і що принаймні один з них не дорівнює нулю. Однак не слід робити висновку про те, який простий ефект (и) є/не є нулем.

Ще одна помилка, яку можна зробити, помилково прийнявши нульову гіпотезу, полягає в тому, щоб зробити висновок, що два простих ефекту різні, оскільки один є значним, а інший - ні. Розглянемо результати уявного експерименту, в якому дослідник припустив гіпотезу, що залежні люди показуватимуть більший приріст мозкової активності після деякого лікування, ніж люди, які не залежать. Іншими словами, дослідник висунув гіпотезу, що статус залежності та лікування будуть взаємодіяти. Результати, показані на малюнку $\PageIndex{2}$ , дуже відповідають гіпотезі. Однак випробування взаємодії призвело до значення ймовірності $0.08$ , значення не досить низьке, щоб бути значним на звичайному $0.05$ рівні. Правильний висновок полягає в тому, що експеримент підтримує гіпотезу дослідника, але недостатньо сильно, щоб дозволити впевнений висновок.

Малюнок $\PageIndex{2}$ : Вигадані дані з одним значним простим ефектом

На жаль, дослідник не був задоволений таким слабким висновком і продовжив тестування простих ефектів. Виявилося, що ефект лікування був значним для групи залежних ( $p = 0.02$ ), але не значущим для групи незалежних ( $p = 0.09$ ). Потім дослідник прийшов до висновку, що оскільки існує ефект лікування для групи залежних, але не для групи, що не залежать, демонструється гіпотеза більшого ефекту для першої, ніж для останньої групи. Це помилкова логіка, однак, оскільки вона заснована на прийнятті нульової гіпотези про те, що простий ефект лікування дорівнює нулю для групи Non-Addicted тільки тому, що він не є значним.

Компоненти взаємодії (необов'язково)

$\PageIndex{3}$ На малюнку показані результати уявного експерименту по дієті і схудненню. Контрольна група і дві дієти використовувалися як для підлітків із зайвою вагою, так і для дорослих з надмірною вагою.

Малюнок $\PageIndex{3}$ : Складені дані для вивчення дієти

Різниця між $\text{Diet A}$ дієтою контролю була по суті однаковою для підлітків і дорослих, тоді як різниця між $\text{Diet B}$ і $\text{Diet A}$ була набагато більшою для підлітків, ніж для дорослих. На одній частині графіка лінії паралельні, тоді як над іншою частиною їх немає. Можна перевірити ці частини або компоненти взаємодій, використовуючи метод конкретних порівнянь, розглянутий раніше. Тест на різницю між підлітками і дорослими на різницю між дієтами $A$ і $B$ може бути перевірений за допомогою коефіцієнтів, наведених в табл $\PageIndex{4}$ . Природно, ті ж міркування щодо множинних порівнянь та ортогональних порівнянь, які стосуються інших порівнянь між засобами, також стосуються порівнянь, що включають компоненти взаємодій.

Таблиця $\PageIndex{4}$ : Коефіцієнти для компонента взаємодії
Вікова група	Дієта	Коефіцієнт
Підліток	Контроль	0
Підліток	A	1
Підліток	Б	-1
Дорослий	Контроль	0
Дорослий	A	-1
Дорослий	Б	1