14.2: Лінійна демонстрація

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 14.1: Вступ до лінійної регресії
- 14.3: Розбиття сум квадратів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Створити відносини між $MSE$ і fit

Інструкції

Ця демонстрація дозволяє досліджувати дані підгонки з лінійними функціями. Коли починається демонстрація, на графіку наносяться п'ять точок. $X$ Вісь коливається від $1$ до, $5$ а $Y$ вісь - від $0$ до $5$ . П'ять точок нанесені різними кольорами; поруч з кожною точкою знаходиться $Y$ значення цієї точки. Наприклад, червона точка має значення $1.00$ поруч з нею. Вертикальна чорна лінія малюється зі $Y$ значенням $3.0$ ; ця лінія складається з прогнозованих значень для $Y$ . (Зрозуміло, що цей рядок містить не найкращі прогнози.) Цей рядок називається «лінією регресії». Рівняння для лінії регресії - це те $Y'$ , $Y' = 0X +3$ де передбачене значення для $Y$ . Так як нахил є $0$ , то один і той же прогноз $3$ робиться для всіх значень $X$ .

Похибка прогнозування для кожної точки представлена вертикальною лінією між точкою і лінією регресії. Для точки зі значенням $1$ на $X$ осі лінія йде від точки $(1,1)$ до точки $(1,3)$ на прямій. Довжина вертикальної лінії дорівнює $2$ . Це означає, що помилка прогнозування є $2$ і квадрат похибка прогнозування є $2 \times 2 = 4$ . Ця помилка зображена графічно графіком праворуч. Висота червоного квадрата - похибка прогнозування, а площа червоного квадрата - похибка прогнозування в квадраті.

Помилки, пов'язані з іншими точками, наносяться аналогічним чином. Тому висота укладених квадратів - це сума похибок прогнозування (використовуються довжини ліній, тому всі похибки позитивні), а площа всіх квадратів - загальна сума похибок в квадраті.

Ця демонстрація дозволяє змінити лінію регресії і вивчити вплив на помилки прогнозування. Якщо клацнути і перетягнути кінець лінії, нахил лінії зміниться. Якщо натиснути і перетягнути середину лінії, перехоплення зміниться. У міру зміни рядка помилки та помилки в квадраті оновлюються автоматично.

Ви також можете змінити значення точок, натиснувши на них і перетягуючи. Змінити можна тільки $Y$ значення.

Ви можете отримати гарне відчуття лінії регресії і помилки, змінивши точки і нахил і перехоплення лінії і спостерігаючи за результатами.

Щоб побачити рядок, яка мінімізує квадратні помилки прогнозування, натисніть кнопку «ОК».

Зверніть увагу, що загальне відхилення є $6$ . Обчислити це шляхом підсумовування $5$ окремих абсолютних відхилень ( $|1-3| + |2-3|$ і т.д.)
Загальна площа становить $10$ . Обчисліть це, підсумовуючи квадратні відхилення.
Клацніть середину чорної лінії і перетягніть її так, щоб вона була на $4$ . Похибка збільшилася або зменшилася?
Клацніть лівий кінець рядка і перетягніть її, поки перехоплення не буде приблизно $1$ . Як це вплинуло на помилку?
Перетягніть лінію далі, щоб вона мала перехоплення про $0$ . Потім перетягніть верхню частину лінії так, щоб вона проходила через точку в $5.0$ . У межах похибки округлення похибка повинна бути $0$ і рівняння для прямої має бути $Y' = 1X + 0$ .
Натисніть на зелену точку на $3.0$ і перетягніть її вниз, щоб її значення було приблизно $2.0$ . Зверніть увагу, що помилка тепер все засноване на цьому одному пункті.
Налаштуйте рядок, щоб побачити, чи можете ви зробити абсолютну похибку меншою.
Відрегулюйте лінію, щоб побачити, ви можете зробити квадрат похибка (площа) настільки маленькою, наскільки ви можете, і зверніть увагу на рівняння лінії і розмір області. Натисніть кнопку OK, щоб побачити найменшу можливу область. Як лінія порівнюється з тією, яку ви вибрали?
Перемістіть всі точки навколо, а потім спробуйте ще раз, щоб визначити лінію, яка робить область найменшою. Порівняйте площу з лінією, яка дає найменшу площу.
Після того, як ви знайшли лінію, яка дає найменшу площу (найменшу квадратну похибку), подивіться, чи можете ви змінити лінію так, щоб абсолютна похибка була нижчою, ніж для цього рядка, який дає найменшу площу.

Ілюстровані інструкції

Відео Демо

Демонстрація починається з перетягування кожної з $5$ точок в різні місця на $Y$ осі. Зверніть увагу, як ці зміни впливають на загальне відхилення та площу. Відео продовжується переміщенням лінії регресії, перетягуючи як кінець, так і середину. Нарешті, рядок регресії, яка мінімізує квадратні помилки, знайдеться натисканням кнопки «OK».