10.8: т Розподіл

Цілі навчання

• Створіть різницю між формою$t$ розподілу та нормальним розподілом
• Створіть, як на різницю між формою$t$ розподілу та нормальним розподілом впливають ступені свободи
• Використовуйте$t$ таблицю, щоб знайти значення$t$ для використання в довірчому інтервалі
• Використовуйте$t$ калькулятор, щоб знайти значення$t$ для використання в довірчому інтервалі

При введенні до$95\%$ нормальних розподілів було показано, що площа нормального розподілу знаходиться в межах$1.96$ стандартних відхилень від середнього. Тому, якщо ви випадковим чином вибрали значення з нормального розподілу із середнім значенням$100$, ймовірність, що воно буде в межах$1.96\sigma$$100$ є$0.95$. Аналогічно, якщо ви$N$ виберете значення з популяції, ймовірність того, що вибірковий середній ($M$) буде знаходитися в межах$1.96\sigma _M$$100$ дорівнює$0.95$.

Тепер розглянемо випадок, в якому у вас нормальний розподіл, але ви не знаєте стандартного відхилення. Ви вибірку$N$ значень і обчислюєте вибірку середнього ($M$) і оцінюєте стандартну похибку середнього ($\sigma _M$) с$s_M$. Яка ймовірність того, що$M$ буде в межах$1.96 s_M$ популяції означає ($\mu$)?

Це складна проблема, оскільки існує два способи, за допомогою яких$M$ може бути більше, ніж$1.96 s_M$ від$\mu$:

1. $M$може, випадково, бути або дуже високим, або дуже низьким і
2. $s_M$може, випадково, бути дуже низьким.

Інтуїтивно має сенс, що ймовірність опинитися в межах$1.96$ стандартних похибок середнього повинна бути меншою, ніж у випадку, коли стандартне відхилення відомо (і не може бути недооцінено). Але наскільки точно менше? На щастя, спосіб відпрацювання цього типу проблеми був вирішений ще на початку$20^{th}$ століття У.С. Госсетом, який визначив розподіл середнього, розділеного на оцінку його стандартної похибки. Цей розподіл називається$t$ розподілом Студента або іноді просто$t$ розподілом. Госсет розробив$t$ розподіл та пов'язані з ними статистичні тести під час роботи на пивоварні в Ірландії. Через договірну угоду з пивоварнею він опублікував статтю під псевдонімом «Студент». Саме тому$t$ тест називається «Студентський$t$ тест».

$t$Розподіл дуже схожий на звичайний розподіл, коли оцінка дисперсії базується на багатьох ступенях свободи, але має відносно більше балів у хвостах, коли менше ступенів свободи. $\PageIndex{1}$На малюнку показані$t$ розподіли з$2$$4$, і$10$ ступені свободи і стандартний нормальний розподіл. Зверніть увагу, що нормальний розподіл має відносно більше балів у центрі розподілу, а$t$ розподіл має відносно більше в хвостах. Тому$t$ розподіл лептокуртіческій. $t$Розподіл наближається до нормального розподілу зі збільшенням ступенів свободи.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Порівняння$t$ розподілів з$2$$4$,$10$$df$ і стандартним нормальним розподілом. Розподіл з найнижчим піком - це$2\; df$ розподіл, наступний найнижчий -$4\; df$, найнижчий після цього$10\; df$, а найвищий - стандартний нормальний розподіл

Так як$t$ розподіл лептокуртіческій, то відсоток розподілу в межах$1.96$ стандартних відхилень середнього менше, ніж$95\%$ при нормальному розподілі. Таблиця$\PageIndex{1}$ показує кількість стандартних відхилень від середнього,$99\%$ необхідного для утримання,$95\%$ і площі$t$ розподілу для різних ступенів свободи. Це значення,$t$ які ви використовуєте в довірчому інтервалі. Відповідні значення для нормального розподілу є$1.96$ і$2.58$ відповідно. Зверніть увагу, що при декількох ступенях свободи значення$t$ набагато вищі за відповідні значення для нормального розподілу і що різниця зменшується зі збільшенням ступенів свободи. Значення в таблиці$\PageIndex{1}$ можна отримати з калькулятора «Знайти$t$ довірчий інтервал».

Таблиця $\PageIndex{1}$: Скорочена$t$ таблиця

дф	0,95	0,99
2	4.303	9.925
3	3.182	5.841
4	2.776	4.604
5	2.571	4.032
8	2.306	3.355
10	2.228	3.169
20	2.086	2.845
50	2.009	2.678
100	1,984	2.626

Повертаючись до задачі, поставленої на початку цього розділу, припустимо, ви$9$ вибрали значення з нормальної сукупності і оцінили стандартну похибку середнього ($\sigma _M$) с$s_M$. Яка ймовірність, що$M$ буде в межах$1.96 s_M$$\mu$? Так як розмір вибірки є$9$, є$N - 1 = 8 df$. З таблиці$\PageIndex{1}$ видно, що з великою$8 df$ ймовірністю є$0.95$ те, що середнє буде в межах$2.306 s_M$$\mu$. Імовірність того, що вона буде знаходитися в межах$1.96 s_M$$\mu$, тому нижча, ніж$0.95$.

Як показано на малюнку$\PageIndex{2}$, калькулятор "$t$розподілу» може бути використаний, щоб знайти, що$0.086$ площа$t$ розподілу більше, ніж$1.96$ стандартні відхилення від середнього, тому ймовірність того, що$M$ буде менше, ніж$1.96 s_M$ від$\mu$ є$1 - 0.086 = 0.914$.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Площа більше$1.96$ стандартних відхилень від середнього в$t$ розподілі с$8 df$. Зверніть увагу, що двоххвоста кнопка вибирається так, що область в обох хвостах буде включена

Як і очікувалося, ця ймовірність менша$0.95$, ніж була б отримана, якби$\sigma _M$ була відома, а не оцінена.