5.7: Біноміальний розподіл

Цілі навчання

• Визначте біноміальні результати
• Обчислити ймовірність отримання$X$ успіхів у$N$ випробуваннях
• Обчислити кумулятивні біноміальні ймовірності
• Знайти середнє та стандартне відхилення біноміального розподілу

Коли ви перевертаєте монету, можливі два результати: орел і решка. Кожен результат має фіксовану ймовірність, однакову від судового розгляду до суду. У випадку з монетами, орелами та хвостами кожна з них має однакову ймовірність$1/2$. Більш загально, бувають ситуації, в яких монета упереджена, так що голови і решки мають різні ймовірності. У цьому розділі розглянуто розподіли ймовірностей, для яких існує лише два можливі результати з фіксованими ймовірностями, що підсумовуються до одного. Ці дистрибутиви називаються біноміальними розподілами.

Простий приклад

Чотири можливі результати, які можуть виникнути, якщо ви двічі перевернули монету, наведені нижче в таблиці$\PageIndex{1}$. Зверніть увагу, що чотири результати однаково вірогідні: кожен має ймовірність$1/4$. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що кидання монети є незалежними (ні на що не впливає на іншу). Отже, ймовірність головою$\text{Flip 1}$ і головою на$\text{Flip 2}$ є продуктом$P(H)$ і$P(H)$, який є$1/2 \times 1/2 = 1/4$. Цей же розрахунок відноситься і до ймовірності накидання голови$\text{Flip 1}$ і хвоста на$\text{Flip 2}$. Кожен є$1/2 \times 1/2 = 1/4$.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Чотири можливі результати

Результат	Перший фліп	Другий фліп
1	Голови	Голови
2	Голови	хвости
3	хвости	Голови
4	хвости	хвости

Чотири можливі результати можна класифікувати за кількістю голів, які з'являються. Число може бути два (Результат$1$, один (результати$2$ і$3$) або$0$ (Результат$4$). Імовірності цих можливостей наведені в табл.$\PageIndex{2}$ і на рис$\PageIndex{1}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Імовірності$0$$1$, і$2$ керівники

Оскільки два з результатів представляють випадок, коли в двох кидках з'являється лише одна голова, ймовірність цієї події дорівнює$1/4 + 1/4 = 1/2$. Таблиця$\PageIndex{2}$ підсумовує ситуацію.

Таблиця$\PageIndex{2}$: Імовірності отримання$0$$1$, або$2$ керівники

Кількість голів	Імовірність
0	1/4
1	1/2
2	1/4

Рисунок$\PageIndex{1}$ являє собою дискретний розподіл ймовірностей: Він показує ймовірність для кожного з значень на$X$ -осі. Визначаючи голову як «успіх», Малюнок$\PageIndex{1}$ показує ймовірність$0$$1$, і$2$ успіхи для двох випробувань (сальто) для події, яка має$0.5$ ймовірність успіху на кожному випробуванні. Це робить Figure$\PageIndex{1}$ прикладом біноміального розподілу.

Формула біноміальних ймовірностей

Біноміальний розподіл складається з ймовірностей кожного з можливих чисел успіхів на$N$ випробуваннях для незалежних подій, які кожен має ймовірність$\pi$ (грецька буква пі) виникнення. Для монети фліп приклад,$N = 2$ і$\pi =0.5$. Формула для біноміального розподілу наведена нижче:

$$P(x)=\dfrac{N!}{x!(N-x)!}\pi ^x(1-\pi )^{N-x}$$

$P(x)$де ймовірність x успіхів з$N$ випробувань,$N$ це кількість випробувань, і$\pi$ ймовірність успіху на даному випробуванні. Застосовуючи це до прикладу монетного фліпа,

$$\begin{align} P(0)&=\dfrac{2!}{0!(2-0)!}(0.5)^0(1-0.5)^{2-0} \\[5pt] &=\dfrac{2}{2}(1)(0.25) \\[5pt] &=0.25 \end{align}$$

$$\begin{align}P(0)&=\dfrac{2!}{1!(2-1)!}(0.5)^1(1-0.5)^{2-1} \\[5pt] &=\dfrac{2}{1}(0.5)(0.5) \\[5pt] &=0.50\end{align}$$

$$\begin{align}P(0)&=\dfrac{2!}{2!(2-2)!}(0.5)^2(1-0.5)^{2-2} \\[5pt] &=\dfrac{2}{2}(0.25)(1) \\[5pt] &=0.25\end{align}$$

Якщо перевернути монету двічі, яка ймовірність отримати одну або кілька голів? Так як ймовірність отримати рівно одну голову є$0.50$ і ймовірність отримати рівно дві голови є$0.25$, ймовірність отримати одну або кілька голів є$0.50 + 0.25 = 0.75$.

Тепер припустимо, що монета упереджена. Імовірність голів є тільки$0.4$. Яка ймовірність отримати голови хоча б раз в два кидки? Підставивши в загальну формулу вище, ви повинні отримати відповідь$0.64$.

Накопичувальні ймовірності

Кидаємо монетку$12$ раз. Яка ймовірність того, що ми отримаємо від$0$ до$3$ голови? Відповідь можна знайти шляхом обчислення ймовірності саме$0$ голів, точно$1$ голови, точно$2$ голови і точно$3$ голови. Імовірність потрапляння від$0$ до$3$ голови - це сума цих ймовірностей. Ймовірності такі:$0.0002$,$0.0029$,$0.0161$, і$0.0537$. Сума ймовірностей дорівнює$0.073$. Розрахунок кумулятивних біноміальних ймовірностей може бути досить стомлюючим. Тому ми надали біноміальний калькулятор, щоб полегшити обчислення цих ймовірностей.

Середнє та стандартне відхилення біноміальних розподілів

Розглянемо експеримент з киданням монет, в якому ви кидали монету$12$ раз і записали кількість голів. Якби ви проводили цей експеримент знову і знову, якою була б середня кількість голів? В середньому, ви очікуєте, що половина монет кидає придумати голови. Тому середня кількість голів було б$6$. В цілому середнє значення біноміального розподілу з параметрами$N$ (кількість випробувань) і$\pi$ (ймовірність успіху на кожному дослідженні) становить:

$$\mu =N\pi$$

де$\mu$ - середнє значення біноміального розподілу. Дисперсія біноміального розподілу становить:

$$\sigma ^2=N\pi (1-\pi )$$

де$\sigma ^2$ - дисперсія біноміального розподілу.

Повернемося до експерименту з киданням монет. Монету підкидали$12$ раз, так$N = 12$. Монета має$0.5$ ймовірність придумати голови. Тому,$\pi =0.5$. Отже, середнє значення та дисперсію можна обчислити наступним чином:

$$\mu =N\pi =(12)(0.5)=6$$

$$\sigma ^2=N\pi (1-\pi )=(12)(0.5)(1.0-0.5)=3.0$$

Природно, стандартне відхилення ($\sigma$) - це квадратний корінь дисперсії ($\sigma ^2$).

$$\sigma =\sqrt{N\pi (1-\pi )}$$