Processing math: 100%
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.7: Біноміальний розподіл

Цілі навчання

  • Визначте біноміальні результати
  • Обчислити ймовірність отриманняX успіхів уN випробуваннях
  • Обчислити кумулятивні біноміальні ймовірності
  • Знайти середнє та стандартне відхилення біноміального розподілу

Коли ви перевертаєте монету, можливі два результати: орел і решка. Кожен результат має фіксовану ймовірність, однакову від судового розгляду до суду. У випадку з монетами, орелами та хвостами кожна з них має однакову ймовірність1/2. Більш загально, бувають ситуації, в яких монета упереджена, так що голови і решки мають різні ймовірності. У цьому розділі розглянуто розподіли ймовірностей, для яких існує лише два можливі результати з фіксованими ймовірностями, що підсумовуються до одного. Ці дистрибутиви називаються біноміальними розподілами.

Простий приклад

Чотири можливі результати, які можуть виникнути, якщо ви двічі перевернули монету, наведені нижче в таблиці5.7.1. Зверніть увагу, що чотири результати однаково вірогідні: кожен має ймовірність1/4. Щоб переконатися в цьому, зверніть увагу, що кидання монети є незалежними (ні на що не впливає на іншу). Отже, ймовірність головоюFlip 1 і головою наFlip 2 є продуктомP(H) іP(H), який є1/2×1/2=1/4. Цей же розрахунок відноситься і до ймовірності накидання головиFlip 1 і хвоста наFlip 2. Кожен є1/2×1/2=1/4.

Таблиця5.7.1: Чотири можливі результати
Результат Перший фліп Другий фліп
1 Голови Голови
2 Голови хвости
3 хвости Голови
4 хвости хвости

Чотири можливі результати можна класифікувати за кількістю голів, які з'являються. Число може бути два (Результат1, один (результати2 і3) або0 (Результат4). Імовірності цих можливостей наведені в табл.5.7.2 і на рис5.7.1.

binomial1.jpg
Малюнок5.7.1: Імовірності01, і2 керівники

Оскільки два з результатів представляють випадок, коли в двох кидках з'являється лише одна голова, ймовірність цієї події дорівнює1/4+1/4=1/2. Таблиця5.7.2 підсумовує ситуацію.

Таблиця5.7.2: Імовірності отримання01, або2 керівники
Кількість голів Імовірність
0 1/4
1 1/2
2 1/4

Рисунок5.7.1 являє собою дискретний розподіл ймовірностей: Він показує ймовірність для кожного з значень наX -осі. Визначаючи голову як «успіх», Малюнок5.7.1 показує ймовірність01, і2 успіхи для двох випробувань (сальто) для події, яка має0.5 ймовірність успіху на кожному випробуванні. Це робить Figure5.7.1 прикладом біноміального розподілу.

Формула біноміальних ймовірностей

Біноміальний розподіл складається з ймовірностей кожного з можливих чисел успіхів наN випробуваннях для незалежних подій, які кожен має ймовірністьπ (грецька буква пі) виникнення. Для монети фліп приклад,N=2 іπ=0.5. Формула для біноміального розподілу наведена нижче:

P(x)=N!x!(Nx)!πx(1π)Nx

P(x)де ймовірність x успіхів зN випробувань,N це кількість випробувань, іπ ймовірність успіху на даному випробуванні. Застосовуючи це до прикладу монетного фліпа,

P(0)=2!0!(20)!(0.5)0(10.5)20=22(1)(0.25)=0.25

P(0)=2!1!(21)!(0.5)1(10.5)21=21(0.5)(0.5)=0.50

P(0)=2!2!(22)!(0.5)2(10.5)22=22(0.25)(1)=0.25

Якщо перевернути монету двічі, яка ймовірність отримати одну або кілька голів? Так як ймовірність отримати рівно одну голову є0.50 і ймовірність отримати рівно дві голови є0.25, ймовірність отримати одну або кілька голів є0.50+0.25=0.75.

Тепер припустимо, що монета упереджена. Імовірність голів є тільки0.4. Яка ймовірність отримати голови хоча б раз в два кидки? Підставивши в загальну формулу вище, ви повинні отримати відповідь0.64.

Накопичувальні ймовірності

Кидаємо монетку12 раз. Яка ймовірність того, що ми отримаємо від0 до3 голови? Відповідь можна знайти шляхом обчислення ймовірності саме0 голів, точно1 голови, точно2 голови і точно3 голови. Імовірність потрапляння від0 до3 голови - це сума цих ймовірностей. Ймовірності такі:0.0002,0.0029,0.0161, і0.0537. Сума ймовірностей дорівнює0.073. Розрахунок кумулятивних біноміальних ймовірностей може бути досить стомлюючим. Тому ми надали біноміальний калькулятор, щоб полегшити обчислення цих ймовірностей.

Середнє та стандартне відхилення біноміальних розподілів

Розглянемо експеримент з киданням монет, в якому ви кидали монету12 раз і записали кількість голів. Якби ви проводили цей експеримент знову і знову, якою була б середня кількість голів? В середньому, ви очікуєте, що половина монет кидає придумати голови. Тому середня кількість голів було б6. В цілому середнє значення біноміального розподілу з параметрамиN (кількість випробувань) іπ (ймовірність успіху на кожному дослідженні) становить:

μ=Nπ

деμ - середнє значення біноміального розподілу. Дисперсія біноміального розподілу становить:

σ2=Nπ(1π)

деσ2 - дисперсія біноміального розподілу.

Повернемося до експерименту з киданням монет. Монету підкидали12 раз, такN=12. Монета має0.5 ймовірність придумати голови. Тому,π=0.5. Отже, середнє значення та дисперсію можна обчислити наступним чином:

μ=Nπ=(12)(0.5)=6

σ2=Nπ(1π)=(12)(0.5)(1.00.5)=3.0

Природно, стандартне відхилення (σ) - це квадратний корінь дисперсії (σ2).

σ=Nπ(1π)