4.5: Обчислення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98290

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Визначте\(X\) і\(x\)
Створіть\(\sum xy=0\), чому, коли немає стосунків
Розрахувати\(r\)

Існує кілька формул, за допомогою яких можна обчислити кореляцію Пірсона. Деякі формули мають більш концептуальний сенс, тоді як інші простіше насправді обчислювати. Ми почнемо з формули, яка має більш концептуальний сенс.

Ми збираємося обчислити кореляцію між змінними\(X\) і\(Y\) показано в табл\(\PageIndex{1}\). Почнемо з обчислення середнього значення для\(X\) і віднімання цього середнього значення з усіх значень\(X\). Нова змінна називається "\(x\)». Змінна\(y\) "" обчислюється аналогічно. \(y\)Змінні\(x\) і, як кажуть, бали відхилення, оскільки кожен бал є відхиленням від середнього. Зверніть увагу, що засоби\(x\) і\(y\) є обидва\(0\). Далі створюємо новий стовпець шляхом множення\(x\) і\(y\).

Перш ніж приступити до розрахунків, розглянемо, чому сума\(xy\) стовпця виявляє взаємозв'язок між\(X\) і\(Y\). Якби не було зв'язку між\(X\) і\(Y\), то позитивні значення були\(x\) б так само ймовірно, щоб бути в парі з від'ємними значеннями,\(y\) як і з позитивними значеннями. Це зробить негативні значення настільки ж\(xy\) ймовірними, як позитивні значення, і сума буде невеликою. З іншого боку, розглянемо таблицю 1, в якій високі значення\(X\) пов'язані з високими значеннями\(Y\) і низькими значеннями\(X\) пов'язані з низькими значеннями\(Y\). Ви можете бачити, що позитивні значення\(x\) пов'язані з позитивними значеннями,\(y\) а від'ємні значення\(x\) пов'язані з від'ємними значеннями\(y\). У всіх випадках добуток\(x\) і\(y\) є позитивним, що призводить до високої загальної суми для\(xy\) колонки. Нарешті, якби були негативні відносини, то позитивні значення були\(x\) б пов'язані з від'ємними значеннями,\(y\) а негативні значення були\(x\) б пов'язані з позитивними значеннями\(y\). Це призвело б до негативних значень для\(xy\).

\ (\ pageIndex {1}\): Обчислення\(r\) «>

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Розрахунок\(r\)
	Х	У	х	у	xy	х ²	на ²
	1	4	-3	-5	15	9	25
	3	6	-1	-3	3	1	9
	5	10	1	1	1	1	1
	5	12	1	3	3	1	9
	6	13	2	4	8	4	16
Всього	20	45	0	0	30	16	60
Середнє	4	9	0	0	6

Пірсона\(r\) розроблений таким чином, що кореляція між зростом і вагою однакова, незалежно від того, вимірюється висота в дюймах або в футах. Для досягнення цієї властивості кореляція Пірсона обчислюється шляхом ділення суми\(xy\) стовпця (\(\sum xy\)) на квадратний корінь добутку суми\(x^2\) стовпця (\(\sum x^2\)) і суми\(y^2\) стовпця (\(\sum y^2\)). Отримана формула:

\[r=\dfrac{\sum xy}{\sqrt{\sum x^2\sum y^2}}\]

і тому

\[r=\dfrac{30}{\sqrt{(16)(60)}}=\dfrac{30}{\sqrt{960}}=\dfrac{30}{30.984}=0.968\]

Альтернативною обчислювальною формулою, яка дозволяє уникнути кроку обчислення балів відхилення, є:

\[r=\dfrac{\sum XY-\dfrac{\sum X\sum Y}{N}}{\sqrt{\left ( \sum X^2-\dfrac{\left ( \sum X \right )^2}{N} \right )}\sqrt{\left ( \sum Y^2-\dfrac{\left ( \sum Y \right )^2}{N} \right )}}\]