3.9: Додаткові заходи

Цілі навчання

• Обчислення трименів
• Обчислити середнє геометричне безпосередньо
• Обчислити середнє геометричне за допомогою колод
• Використовуйте геометричний для обчислення річної прибутковості портфеля
• Обчислити обрізане середнє

Хоча середнє, медіана та режим на сьогоднішній день є найбільш часто використовуваними показниками центральної тенденції, вони далеко не є єдиними заходами. Цей розділ визначає три додаткові міри центральної тенденції: тримея, середнє геометричне та урізане середнє. Ці заходи будуть розглянуті знову в розділі «Порівняння заходів центральної тенденції».

Тримський

Тримея - це середньозважений$25^{th}$ процентиль,$50^{th}$ процентиль і$75^{th}$ процентиль. Дозволяючи$P25$ бути$25^{th}$$P50$ процентилем,$P75$ бути$50^{th}$ і бути$75^{th}$ процентилем, формула для тримея така:

$$Trimean = \dfrac{P25 + 2P50 + P75}{4}$$

Як видно з формули, медіана зважується в два рази більше, ніж$25^{th}$ і$75^{th}$ процентилі. Таблиця$\PageIndex{1}$ показує кількість тачдаунів (TD) пропусків, кинутих кожною з$31$ команд Національної футбольної ліги в$2000$ сезоні. Відповідні процентилі наведені в табл$\PageIndex{2}$.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Кількість проходів приземлення

$$\begin{matrix} 37 & 33 & 33 & 32 & 29 & 28 & 28 & 23\\ 22 & 22 & 22 & 21 & 21 & 21 & 20 & 20\\ 19 & 19 & 18 & 18 & 18 & 18 & 16 & 15\\ 14 & 14 & 14 & 12 & 12 & 9 & 6 & \end{matrix}$$

Таблиця$\PageIndex{2}$ : Перцентилі

Процентиль	Значення
25	15
50	20
75	23

Таким чином, трименник

$$\dfrac{15 + 2 \times 20 + 23}{4} = \dfrac{78}{4} = 19.5.$$

Середнє геометричне

Середнє геометричне обчислюється шляхом множення всіх чисел разом з подальшим виведенням$n^{th}$ кореня твору. Наприклад, для чисел$1, 10$ і$100$, добутком всіх чисел є:

$$1 \times 10 \times 100 = 1,000.$$

Так як чисел три, то беремо кубоподібний корінь продукту ($1,000$), який дорівнює$10$. Отже, формула для геометричного середнього

$$\large\left(\Pi \, X \right)^{1/N}$$

де символ$Π$ означає множити. Тому рівняння говорить помножити всі значення,$X$ а потім підняти результат до$1/N$ го степеня. Підвищення значення до$\dfrac{1}{N}^{th}$ влади - це, звичайно, те ж саме, що взяти$N^{th}$ корінь цінності. У цьому випадку$1000^{1/3}$ є кубічний корінь$1,000$.

Середнє геометричне має тісний зв'язок з логарифмами. У таблиці$\PageIndex{3}$ наведено колоди (підставу$10$) цих трьох чисел. Середнє арифметичне трьох колод дорівнює$1$. Антилог цього середнього арифметичного$1$ є середнім геометричним. Анти-лог$1$ є$10^1 = 10$. Зверніть увагу, що середнє геометричне має сенс лише в тому випадку, якщо всі числа позитивні.

Таблиця$\PageIndex{3}$ : Логарифми

Х	$\log _{10}(X)$
1	\ (\ log _ {10} (X)\) ">0
10	\ (\ log _ {10} (X)\) ">1
100	\ (\ log _ {10} (X)\) ">2

Середнє геометричне є відповідною мірою для використання для усереднення ставок. Наприклад, розглянемо портфель акцій, який починався зі вартості$\$1,000$ і мав річну прибутковість${13\%, 22\%, 12\%, -5\%, and -13\%}$. Таблиця$\PageIndex{4}$ показує значення після кожного з п'яти років.

Таблиця$\PageIndex{4}$ : Портфоліо Повернення

Рік	Повернення	Значення
1	13%	1 130
2	22%	1 379
3	12%	1 544
4	-5%	1 467
5	-13%	1 276

Питання в тому, як обчислити середньорічну норму прибутковості. Відповідь полягає в тому, щоб обчислити середнє геометричне віддачі. Замість того, щоб використовувати відсотки, кожна віддача представлена у вигляді множника, який вказує на те, наскільки вище значення після року. Цей множник призначений$1.13$ для$13\%$ віддачі і$0.95$ для$5\%$ втрати. Мультиплікатори для цього прикладу є${1.13, 1.22, 1.12, 0.95,\: and\; 0.87}$. Середнє геометричне значення цих множників є$1.05$. Тому середньорічна норма прибутковості становить$5\%$. Таблиця$\PageIndex{5}$ показує, як портфель,$5\%$ який отримує рік, закінчиться тим же значенням ($\$1,276$), як показано в табл$\PageIndex{4}$.

Таблиця$\PageIndex{5}$ : Портфоліо Повернення

Рік	Повернення	Значення
1	5%	1 050
2	5%	1 103
3	5%	1 158
4	5%	1 216
5	5%	1 276

Обрізаний середнє

Щоб обчислити обрізане середнє значення, ви видалите деякі з вищих і нижчих балів і обчислюєте середнє значення решти балів. Середнє обрізане$10\%$ - це середнє, обчислене з$10\%$ балів, обрізаних:$5\%$ знизу та$5\%$ зверху. Середнє$50\%$ обрізане обчислюється шляхом обрізки$25\%$ верхньої частини балів і$25\%$ нижньої з балів і обчислення середнього значення решти балів. Обрізане середнє схоже на медіану, яка, по суті, обрізає верхню$49\%$ і$49\%$ нижню з балів. Тому урізане середнє є гібридом середнього і медіани. Щоб обчислити середнє значення, обрізане$20\%$ для даних проходу приземлення$\PageIndex{1}$, показаних у таблиці, видаліть нижню$10\%$ частину балів (${6, 9,\: and\; 12}$), а також верхню$10\%$ частину балів (${33, 33,\: and\; 37}$) та обчислите середнє значення решти$25$ балів. Це означає$20.16$.