3.9: Додаткові заходи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98150

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Обчислення трименів
Обчислити середнє геометричне безпосередньо
Обчислити середнє геометричне за допомогою колод
Використовуйте геометричний для обчислення річної прибутковості портфеля
Обчислити обрізане середнє

Хоча середнє, медіана та режим на сьогоднішній день є найбільш часто використовуваними показниками центральної тенденції, вони далеко не є єдиними заходами. Цей розділ визначає три додаткові міри центральної тенденції: тримея, середнє геометричне та урізане середнє. Ці заходи будуть розглянуті знову в розділі «Порівняння заходів центральної тенденції».

Тримський

Тримея - це середньозважений$25^{th}$ процентиль,$50^{th}$ процентиль і$75^{th}$ процентиль. Дозволяючи$P25$ бути$25^{th}$$P50$ процентилем,$P75$ бути$50^{th}$ і бути$75^{th}$ процентилем, формула для тримея така:

\[Trimean = \dfrac{P25 + 2P50 + P75}{4}\]

Як видно з формули, медіана зважується в два рази більше, ніж$25^{th}$ і$75^{th}$ процентилі. Таблиця$\PageIndex{1}$ показує кількість тачдаунів (TD) пропусків, кинутих кожною з$31$ команд Національної футбольної ліги в$2000$ сезоні. Відповідні процентилі наведені в табл$\PageIndex{2}$.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Кількість проходів приземлення

\[\begin{matrix} 37 & 33 & 33 & 32 & 29 & 28 & 28 & 23\\ 22 & 22 & 22 & 21 & 21 & 21 & 20 & 20\\ 19 & 19 & 18 & 18 & 18 & 18 & 16 & 15\\ 14 & 14 & 14 & 12 & 12 & 9 & 6 & \end{matrix}\]

Таблиця$\PageIndex{2}$ **: Перцентилі**
Процентиль	Значення
25	15
50	20
75	23

Таким чином, трименник

\[\dfrac{15 + 2 \times 20 + 23}{4} = \dfrac{78}{4} = 19.5.\]

Середнє геометричне

Середнє геометричне обчислюється шляхом множення всіх чисел разом з подальшим виведенням$n^{th}$ кореня твору. Наприклад, для чисел$1, 10$ і$100$, добутком всіх чисел є:

\[1 \times 10 \times 100 = 1,000.\]

Так як чисел три, то беремо кубоподібний корінь продукту ($1,000$), який дорівнює$10$. Отже, формула для геометричного середнього

\[ \large\left(\Pi \, X \right)^{1/N}\]

де символ$Π$ означає множити. Тому рівняння говорить помножити всі значення,$X$ а потім підняти результат до$1/N$ го степеня. Підвищення значення до$\dfrac{1}{N}^{th}$ влади - це, звичайно, те ж саме, що взяти$N^{th}$ корінь цінності. У цьому випадку$1000^{1/3}$ є кубічний корінь$1,000$.

Середнє геометричне має тісний зв'язок з логарифмами. У таблиці$\PageIndex{3}$ наведено колоди (підставу$10$) цих трьох чисел. Середнє арифметичне трьох колод дорівнює$1$. Антилог цього середнього арифметичного$1$ є середнім геометричним. Анти-лог$1$ є$10^1 = 10$. Зверніть увагу, що середнє геометричне має сенс лише в тому випадку, якщо всі числа позитивні.

Таблиця$\PageIndex{3}$ : *Логарифми*
Х	$\log _{10}(X)$
1	\ (\ log _ {10} (X)\) ">0
10	\ (\ log _ {10} (X)\) ">1
100	\ (\ log _ {10} (X)\) ">2

Середнє геометричне є відповідною мірою для використання для усереднення ставок. Наприклад, розглянемо портфель акцій, який починався зі вартості$\$1,000$ і мав річну прибутковість${13\%, 22\%, 12\%, -5\%, and -13\%}$. Таблиця$\PageIndex{4}$ показує значення після кожного з п'яти років.

Таблиця$\PageIndex{4}$ : *Портфоліо Повернення*
Рік	Повернення	Значення
1	13%	1 130
2	22%	1 379
3	12%	1 544
4	-5%	1 467
5	-13%	1 276

Питання в тому, як обчислити середньорічну норму прибутковості. Відповідь полягає в тому, щоб обчислити середнє геометричне віддачі. Замість того, щоб використовувати відсотки, кожна віддача представлена у вигляді множника, який вказує на те, наскільки вище значення після року. Цей множник призначений$1.13$ для$13\%$ віддачі і$0.95$ для$5\%$ втрати. Мультиплікатори для цього прикладу є${1.13, 1.22, 1.12, 0.95,\: and\; 0.87}$. Середнє геометричне значення цих множників є$1.05$. Тому середньорічна норма прибутковості становить$5\%$. Таблиця$\PageIndex{5}$ показує, як портфель,$5\%$ який отримує рік, закінчиться тим же значенням ($\$1,276$), як показано в табл$\PageIndex{4}$.

Таблиця$\PageIndex{5}$ : *Портфоліо Повернення*
Рік	Повернення	Значення
1	5%	1 050
2	5%	1 103
3	5%	1 158
4	5%	1 216
5	5%	1 276

Обрізаний середнє

Щоб обчислити обрізане середнє значення, ви видалите деякі з вищих і нижчих балів і обчислюєте середнє значення решти балів. Середнє обрізане$10\%$ - це середнє, обчислене з$10\%$ балів, обрізаних:$5\%$ знизу та$5\%$ зверху. Середнє$50\%$ обрізане обчислюється шляхом обрізки$25\%$ верхньої частини балів і$25\%$ нижньої з балів і обчислення середнього значення решти балів. Обрізане середнє схоже на медіану, яка, по суті, обрізає верхню$49\%$ і$49\%$ нижню з балів. Тому урізане середнє є гібридом середнього і медіани. Щоб обчислити середнє значення, обрізане$20\%$ для даних проходу приземлення$\PageIndex{1}$, показаних у таблиці, видаліть нижню$10\%$ частину балів (${6, 9,\: and\; 12}$), а також верхню$10\%$ частину балів (${33, 33,\: and\; 37}$) та обчислите середнє значення решти$25$ балів. Це означає$20.16$.