3.3: Заходи центральної тенденції

Цілі навчання

• Режим обчислень

У попередньому розділі ми бачили, що існує кілька способів визначення центральної тенденції. Цей розділ визначає три найпоширеніші міри центральної тенденції: середню, середню та моду. Взаємозв'язки між цими показниками центральної тенденції та визначеннями, наведеними в попередньому розділі, ймовірно, не будуть очевидними для вас. Замість того, щоб просто розповісти вам про ці стосунки, ми дозволимо вам виявити їх у симуляціях у наступних розділах. У цьому розділі наведені лише основні визначення середнього, медіани і режиму. Подальше обговорення відносних достоїнств та належного застосування цих статистичних даних представлено в наступному розділі.

Середнє арифметичне

Середнє арифметичне - найпоширеніша міра центральної тенденції. Це просто сума чисел, поділена на кількість чисел. Символ "$\mu$" використовується для середнього значення популяції. Символ$M$ "" використовується для середнього зразка. Формула для$\mu$ наведена нижче:

$$\mu =\dfrac{\sum X}{N}$$

де$\sum X$ - сума всіх чисел в популяції і число$N$ чисел в популяції.

Формула для по$M$ суті ідентична:

$$M = \dfrac{\sum X}{N}$$

де$\sum X$ is the sum of all the numbers in the sample and $N$ is the number of numbers in the sample.

Як приклад, середнє значення чисел$1, 2, 3, 6, 8$$20/5 = 4$ незалежно від того, складають числа всю сукупність або просто вибірку з населення.

Таблиця$\PageIndex{1}$ показує кількість тачдаунів (TD) пропусків, кинутих кожною з$31$ команд Національної футбольної ліги в$2000$ сезоні.

Таблиця$\PageIndex{1}$ : Кількість проходів приземлення

$$\begin{matrix} 37 & 33 & 33 & 32 & 29 & 28 & 28 & 23 & 22 & 22 & 22 & 21\\ 21 & 21 & 20 & 20 & 19 & 19 & 18 & 18 & 18 & 18 & 16 & 15\\ 14 & 14 & 14 & 12 & 12 & 9 & 6 & & & & & \end{matrix}$$

Середня кількість викинутих тачдаунів становить$20.4516$ as shown below.

$$\begin{align*} \mu &= \sum X/N\\ &= 634/31\\ &= 20.4516 \end{align*}$$

Хоча середнє арифметичне не є єдиним «середнім» (є і середнє геометричне), воно на сьогоднішній день є найбільш часто використовуваним. Тому, якщо термін «середнє» використовується без вказівки, чи це середнє арифметичне, середнє геометричне або будь-яке інше середнє, то передбачається позначення середнього арифметичного.

Медіана

Медіана також часто використовується міра центральної тенденції. Медіана - це середина розподілу: така ж кількість балів вище медіани, як і нижче. Для даних в таблиці$\PageIndex{1}$ наведені$31$ оцінки. $16^{th}$Найвищий бал (який дорівнює$20$) є медіаною, оскільки є$15$ бали нижче$16^{th}$ балів і$15$ бали вище$16^{th}$ балів. Медіану також можна розглядати як$50^{th}$ процентиль.

Обчислення медіани

Коли є непарна кількість чисел, медіана - це просто середнє число. Наприклад, медіана$2, 4$, і$7$ є$4$. Коли є парна кількість чисел, медіана - це середнє значення двох середніх чисел. Таким чином, медіана чисел$2, 4, 7, 12$ дорівнює$(4+7)/2 = 5.5$. Коли є числа з однаковими значеннями, то слід використовувати формулу третього визначення$50^{th}$ процентиля.

Режим

Режим є найбільш часто зустрічається значенням. Для даних у таблиці режим полягає в$18$ тому$\PageIndex{2}$, що більше команд ($4$) мали$18$ приземлення, ніж будь-яка інша кількість тачдаунів. З безперервними даними, такими як час відгуку, виміряний до багатьох десяткових знаків, частота кожного значення дорівнює одній, оскільки жодні дві оцінки не будуть точно однаковими (див. Обговорення безперервних змінних). Тому режим безперервних даних зазвичай обчислюється з згрупованого розподілу частот. Таблиця$\PageIndex{2}$ показує згрупований розподіл частот для даних цільового часу відгуку. Оскільки інтервал з найбільшою частотою є$600-700$, режим є серединою цього інтервалу ($650$).

Таблиця$\PageIndex{2}$: Згрупований розподіл частот

Діапазон	Частота
500-600	3
600-700	6
700-800	5
800-900	5
900-1000	0
1000-1100	1