1.7: Процентилі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98425

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Визначте процентилі
Використовуйте три формули для обчислення процентилей

Тестовий бал сам по собі зазвичай важко інтерпретувати. Наприклад, якби ви дізналися, що ваш рахунок за мірою сором'язливості був неможливим\(50\), ви б мало\(35\) уявляли, наскільки ви сором'язливі порівняно з іншими людьми. Більш актуальним є відсоток людей з нижчими показниками сором'язливості, ніж ваш. Цей відсоток називається процентилем. \(65\%\)Якби з балів були нижче вашого, то ваш рахунок буде\(65^{th}\) процентиль.

Два простих визначення процентиля

Загальновизнаного визначення процентиля не існує. Використовуючи\(65^{th}\) процентиль як приклад,\(65^{th}\) процентиль можна визначити як найнижчий бал, який більший\(65\%\) за бали. Це те, як ми визначили це вище, і ми будемо називати це "»\(\text{Definition 1}\). \(65^{th}\)Процентиль також можна визначити як найменший бал, який більше або дорівнює\(65\%\) балам. Це ми будемо називати "»\(\text{Definition 2}\). На жаль, ці два визначення можуть призвести до різко різних результатів, особливо коли даних відносно мало. Більше того, жодне з цих визначень не є явним щодо того, як обробляти округлення. Наприклад, який ранг повинен бути вищим\(65\%\) за бали, коли загальна кількість балів\(50\)? Це складно через\(65\%\)\(50\) це\(32.5\). Як ми знаходимо найнижче число, яке вище, ніж\(32.5\) з балів? Третій спосіб обчислення процентилей (представлений нижче) - це середньозважений відсоток, обчислений відповідно до перших двох визначень. Це третє визначення обробляє округлення більш витончено, ніж два інших, і має ту перевагу, що дозволяє зручно визначити медіану як\(50^{th}\) процентиль.

Третє визначення

Якщо не вказано інше, коли ми посилаємось на «процентиль», ми будемо посилатися на це третє визначення процентилей. Почнемо з прикладу. Розглянемо\(25^{th}\) процентиль для\(8\) чисел в табл\(\PageIndex{1}\). Зверніть увагу, що цифри даються ранги, починаючи від\(1\) найнижчого числа\(8\) до найвищого числа.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Тестові бали.
Число	3	5	7	8	9	11	13	15
Ранг	1	2	3	4	5	6	7	8

Насамперед потрібно обчислити ранг (\(R\))\(25^{th}\) процентиля. Робиться це за наступною формулою:

\[R = P/100 \times (N + 1)\]

де\(P\) - шуканий процентиль (\(25\)в даному випадку) і\(N\) - кількість чисел (\(8\)в даному випадку). Тому,

\[R = 25/100 \times (8 + 1) = 9/4 = 2.25\]

Якщо\(R\) ціле число,\(P^{th}\) процентиль - це число з рангом\(R\). Коли\(R\) не ціле число, обчислюємо\(P^{th}\) процентиль шляхом інтерполяції наступним чином:

Визначте\(IR\) як цілу частину\(R\) (число ліворуч від десяткової крапки). Для цього прикладу,\(IR=2\).
Визначте\(FR\) як дробову частину\(R\). Для цього прикладу,\(FR=0.25\).
Знайти оцінки з рангом\(IR\) і з рангом\(IR+1\). Для цього прикладу це означає рахунок з Ранг\(2\) і рахунок з Ранг\(3\). Оцінки є\(5\) і\(7\).
Інтерполяція шляхом множення різниці між балами на\(FR\) і додайте результат до нижнього балу. Для цих даних це\((0.25)(7 - 5) + 5 = 5.5\).

Тому\(25^{th}\) процентиль є\(5.5\). Якби ми використовували перше визначення (найменший бал більше, ніж\(25\%\) бали),\(25^{th}\) процентиль був би\(7\). Якби ми використовували друге визначення (найменший бал більше або дорівнює\(25\%\) балам),\(25^{th}\) процентиль був би\(5\).

Для другого прикладу розглянемо результати\(20\) вікторини, наведені в табл\(\PageIndex{2}\).

Таблиця\(\PageIndex{2}\): Результати\(20\) *вікторини.*
Число	4	4	4	5	5	5	6	6	7	7	7	8	8	9	9	9	10	10	10
Ранг	1	2	3	4	5	6	7	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Ми обчислимо\(25^{th}\) і\(85^{th}\) процентилі. Для того\(25^{th}\),

\[R = 25/100 \times (20 + 1) = 21/4 = 5.25\]

\[IR=5\; and\; FR=0.25\]

Оскільки бал з рангом\(IR\) (який є\(5\)) і рахунок з рангом\(IR+1\) (який є\(6\)) обидва рівні\(5\),\(25^{th}\) процентиль є\(5\). З точки зору формули:

\[25^{th}\; \text{percentile} = (0.25) \times (5 - 5) + 5 = 5\]

За\(85^{th}\) процентиль,

\[R = 85/100 \times (20 + 1) = 17.85.\]

\[IR = 17\; and\; FR = 0.85\]

Увага: як правило,\(FR\) не дорівнює процентилю, який потрібно обчислити, як це робиться тут.

Рахунок з\(17\) рангом є\(9\) і рахунок з рангом\(18\) є\(10\). Тому\(85^{th}\) процентиль дорівнює:

\[(0.85)(10 - 9) + 9 = 9.85\]

Розглянемо\(50^{th}\) процентиль чисел\(2, 3, 5, 9\).

\[R = 50/100 \times (4 + 1) = 2.5\]

\[IR=2\; and\; FR=0.5\]

Рахунок з\(IR\) рангом є\(3\) і рахунок з рангом\(IR+1\) є\(5\). Тому\(50^{th}\) процентиль дорівнює:

\[(0.5)(5 - 3) + 3 = 4\]

Нарешті, розглянемо\(50^{th}\) процентиль чисел\(2, 3, 5, 9, 11\).

\[R = 50/100 \times (5 + 1) = 3\]

\[IR=3\; and\; FR=0\]

Всякий раз\(FR=0\), ви просто знаходите число з рангом\(IR\). При цьому третє число дорівнює\(5\), тому\(50^{th}\) процентиль є\(5\). Ви також отримаєте правильну відповідь, якщо застосуєте загальну формулу:

\[50^{th}\; \text{percentile} = (0.00) (9 - 5) + 5 = 5\]

Автори та атрибуція

Template:ContribHeblLane
David M. Lane