21.1: Використання математики в принципах економіки
- Page ID
- 82884
(Цей додаток слід проконсультуватися після першого читання Ласкаво просимо до економіки! ) Економіка - це не математика. У цьому курсі немає важливої концепції, яку неможливо пояснити без математики. Тим не менш, математика - це інструмент, який можна використовувати для ілюстрації економічних концепцій. Пам'ятаєте приказку: картинка коштує тисячі слів? Замість малюнка подумайте про графік. Це те ж саме. Економісти використовують моделі як основний інструмент для отримання уявлення про економічні проблеми та проблеми. Математика - це один із способів роботи з економічними моделями (або маніпулювання).
Існують і інші способи представлення моделей, такі як текст або розповідь. Але навіщо ти використовував кулак, щоб бити цвях, якщо у вас був молоток? Математика має певні переваги перед текстом. Це дисциплінує ваше мислення, змушуючи вас точно вказати, що ви маєте на увазі. Ви можете піти з нечітким мисленням у голові, але ви не можете, коли зводите модель до алгебраїчних рівнянь. У той же час у математики є і недоліки. Математичні моделі обов'язково засновані на спрощуючих припущеннях, тому вони навряд чи будуть цілком реалістичними. Математичним моделям також відсутні нюанси, які можна знайти в оповідних моделям. Справа в тому, що математика - це один інструмент, але це не єдиний інструмент або навіть завжди найкращий інструмент, який можуть використовувати економісти. То яка математика вам знадобиться для цієї книги? Відповідь: трохи більше, ніж алгебра та графіки середньої школи. Вам потрібно буде знати:
- Що таке функція
- Як інтерпретувати рівняння прямої (тобто нахил і перехоплення)
- Як маніпулювати лінією (тобто зміна нахилу або перехоплення)
- Як обчислити та інтерпретувати швидкість зростання (тобто зміна відсотка)
- Як читати та маніпулювати графіком
У цьому тексті ми будемо використовувати найпростішу математику з можливих, і ми представимо її в цьому додатку. Тож якщо ви знайдете в книзі якусь математику, яку ви не можете слідувати, поверніться до цього додатка, щоб переглянути. Як і більшість речей, математика має зменшувальну віддачу. Трохи математичних здібностей проходить довгий шлях; чим більш просунута математика ви приносите, тим менше додаткових знань, які ви отримаєте. Тим не менш, якщо ви збираєтеся на спеціальність в економіці, вам слід розглянути можливість вивчення невеликого числення. Це буде коштувати вашого часу з точки зору того, щоб допомогти вам швидше вивчити прогресивну економіку.
Алгебраїчні моделі
Часто економічні моделі (або частини моделей) виражаються термінами математичних функцій. Що таке функція? Функція описує зв'язок. Іноді відносини є визначенням. Наприклад (використовуючи слова), ваш професор - Адам Сміт. Це можна висловити як професор = Адам Сміт. Або друзі = Боб + Шон + Маргарет.
Часто в економіці функції описують причинно-наслідкові. Змінна з лівого боку - це те, що пояснюється («ефект»). З правого боку знаходиться те, що робить пояснюючий («причини»). Наприклад, припустимо, що ваш середній бал був визначений наступним чином:
\ [
\ mathrm {GPA} = 0,25\ раз\ текст {combined_sat} +0,25\ раз\ текст {class_відвідуваність} +0,50\ раз\ текст {години_витрачення_вивчення}
\]
Це рівняння стверджує, що ваш середній бал залежить від трьох речей: ваш комбінований бал SAT, відвідуваність класу та кількість годин, які ви витрачаєте на вивчення. Він також говорить, що час навчання в два рази важливіше (0,50), ніж або combined_sat оцінка (0,25) або class_attendance (0,25). Якщо ці відносини правдиві, як ви могли б підняти свій середній бал? Не пропускаючи заняття і вивчаючи більше. Зверніть увагу, що ви не можете нічого зробити про свій бал SAT, оскільки якщо ви перебуваєте в коледжі, ви (імовірно) вже взяли SAT.
Звичайно, економічні моделі виражають відносини за допомогою економічних змінних, таких як Budget = money_spent_on_econ_books + money_spent_on_music, припускаючи, що єдине, що ви купуєте, - це книги з економіки та музика.
Більшість взаємозв'язків, які ми використовуємо в цьому курсі, виражаються у вигляді лінійних рівнянь:
\ [
\ математика {y} =\ математика {b} +\ математика {mx}
\]
Вираження рівнянь графічно
Графіки корисні для двох цілей. Перший полягає у вираженні рівнянь візуально, а другий - відображати статистику або дані. У цьому розділі буде розглянуто вираження рівнянь візуально.
Для математика або економіста змінна - це ім'я, яке дається величині, яка може припускати діапазон значень. У рівнянні прямої, представленому вище, x і y є змінними, причому x на горизонтальній осі та y на вертикальній осі, а b і m - коефіцієнти, що визначають форму прямої. Щоб побачити, як працює це рівняння, розглянемо числовий приклад:
\ [
y=9+3 х
\]
У цьому рівнянні для конкретного рядка встановлено член b рівним 9, а m - рівним 3. Таблиця\(\PageIndex{A1}\) показує значення x і y для даного рівняння. \(\PageIndex{A1}\)На малюнку показано це рівняння, і ці значення, на графіку. Щоб побудувати таблицю, просто підключіть ряд різних значень для x, а потім обчислити, яке значення у результатів. На малюнку намічаються ці точки і через них проводиться лінія.
| х | у |
|---|---|
| 0 | 9 |
| 1 | 12 |
| 2 | 15 |
| 3 | 18 |
| 4 | 21 |
| 5 | 24 |
| 6 | 27 |
Табличні\(\PageIndex{A1}\) значення рівняння перехоплення нахилу
Рисунок\(\PageIndex{A1}\) Нахил і Алгебра прямих ліній Цей лінійний графік має x на горизонтальній осі і y на вертикальній осі. Y-перехоплення - тобто точка, де лінія перетинає вісь y - дорівнює 9. Нахил лінії дорівнює 3; тобто відбувається підйом 3 по вертикальній осі при кожному збільшенні на 1 по горизонтальній осі. Ухил однаковий по всій прямій
Цей приклад ілюструє, як члени b та m у рівнянні для прямої лінії визначають форму прямої. Термін b називається y-перехопленням. Причина цього імені полягає в тому, що, якщо x = 0, то термін b покаже, де лінія перехоплює або перетинає вісь y. У цьому прикладі лінія потрапляє на вертикальну вісь на 9. Член m в рівнянні для прямої - це нахил. Пам'ятайте, що нахил визначається як підйом над прогоном; більш конкретно, нахил лінії від однієї точки до іншої - це зміна вертикальної осі, поділена на зміну горизонтальної осі. У цьому прикладі кожен раз, коли термін x збільшується на одиницю (пробіг), термін y підвищується на три. Таким чином, нахил цієї лінії дорівнює трьом. Визначення перехоплення y та нахилу, тобто визначення b та m у рівнянні для лінії, визначить конкретну лінію. Хоча реальні точки даних рідко влаштовують себе як точну пряму лінію, часто виявляється, що пряма лінія може запропонувати розумне наближення фактичних даних.
Інтерпретація схилу
Поняття нахилу дуже корисно в економіці, оскільки воно вимірює взаємозв'язок між двома змінними. Позитивний нахил означає, що дві змінні позитивно пов'язані; тобто, коли x збільшується, так і у, або коли x зменшується, y також зменшується. Графічно позитивний нахил означає, що коли лінія на лінійному графіку рухається зліва направо, лінія піднімається. Відносини довжина-вага, показані на малюнку\(\PageIndex{A3}\) пізніше в цьому Додатку, має позитивний нахил. В інших розділах ми дізнаємося, що ціна та кількість, що поставляється, мають позитивний зв'язок; тобто фірми будуть поставляти більше, коли ціна буде вищою.
Негативний нахил означає, що дві змінні негативно пов'язані між собою; тобто коли x збільшується, y зменшується, або коли x зменшується, y збільшується. Графічно негативний нахил означає, що, коли лінія на лінійному графіку рухається зліва направо, лінія падає. Залежність висота-щільність повітря, показана на малюнку\(\PageIndex{A4}\) пізніше в цьому додатку, має негативний нахил. Ми дізнаємося, що ціна та кількість затребуваних мають негативний зв'язок; тобто споживачі купуватимуть менше, коли ціна вища.
Нахил нуля означає, що між x і y немає зв'язку, графічно лінія рівна; тобто нуль піднімається над прогоном. Малюнок\(\PageIndex{A5}\) рівня безробіття, показаний пізніше в цьому додатку, ілюструє загальну схему багатьох лінійних графіків: деякі сегменти, де нахил позитивний, інші сегменти, де нахил негативний, і ще інші сегменти, де нахил близький до нуля.
Ухил прямої між двома точками можна обчислити в числовому вираженні. Щоб обчислити нахил, почніть з позначення однієї точки як «початкової точки», а іншу - як «кінцеву точку», а потім обчислюйте підйом над пробігом між цими двома точками. Як приклад розглянемо нахил графіка щільності повітря між точками, що представляють висоту 4000 метрів і висоту 6000 метрів:
Підйом: Зміна змінної на вертикальній осі (кінцева точка мінус вихідна точка)
\ [
\ почати {вирівняний}
&=0.100-0.307\\
&=-0.207
\ кінець {вирівняний}
\]
Виконати: Зміна змінної на горизонтальній осі (кінцева точка мінус вихідна точка)
\ [
\ почати {вирівняний}
&=6,000-4,000\
&=2,000\
\ end {вирівняний}
\]
Таким чином, нахил прямої лінії між цими двома точками був би таким, що з висоти 4000 метрів до 6000 метрів щільність повітря зменшується приблизно на 0,1 кілограма/кубічний метр для кожного з наступних 1000 метрів.
Припустимо, нахил лінії повинен був збільшитися. Графічно це означає, що він стане крутішим. Припустимо, нахил лінії повинен був зменшитися. Тоді він став би більш рівним. Ці умови вірні, незалежно від того, був нахил позитивним чи негативним для початку. Більш високий позитивний нахил означає більш крутий нахил вгору до лінії, тоді як менший позитивний нахил означає більш рівний нахил вгору до лінії. Негативний нахил, який більший за абсолютним значенням (тобто більш негативним) означає більш крутий нахил вниз до лінії. Ухил нуля - горизонтальна рівна лінія. Вертикальна лінія має нескінченний нахил.
Припустимо, лінія має більший перехоплення. Графічно це означає, що він змістився б (або вгору) від старого походження, паралельно старої лінії. Якщо лінія має менший перехоплення, вона буде зміщуватися (або вниз) паралельно старої лінії.
Розв'язування моделей з алгеброю
Економісти часто використовують моделі, щоб відповісти на конкретне питання, наприклад: Яким буде рівень безробіття, якщо економіка зростає на 3% на рік? Відповіді на конкретні питання вимагає вирішення «системи» рівнянь, які представляють модель.
Припустимо, попит на особисту піцу задається наступним рівнянням:
\ [
\ математика {Ad} =16-2\ матрм {P}
\]
де Qd - кількість особистих піц, які споживачі хочуть купити (тобто затребувана кількість), а P - ціна піци. Припустимо, запас особистої піци становить:
\ [
\ математика {As} =2+5\ матрм {P}
\]
де Qs - кількість, яку виробники піци поставлять (тобто кількість поставлених).
Нарешті, припустимо, що особистий ринок піци працює там, де пропозиція дорівнює попиту, або
\ [
\ математика {Ad} =\ математика {As}
\]
Тепер у нас є система з трьох рівнянь і трьох невідомих (Qd, Qs і P), які ми можемо вирішити за допомогою алгебри:
Оскільки Qd = Qs, ми можемо встановити рівняння попиту та пропозиції, рівне один одному:
\ [
\ почати {вирівняний}
\ математика {Ad} &=\ математика {As}\\
16-2\ математика {P} &=2+5\ mathrm {P}
\ кінець {вирівняний}
\]
Віднімання 2 з обох сторін і додавання 2P в обидві сторони дає:
\ [
\ почати {вирівняний}
16-2\ матрм {P} -2 &=2+5\ математика {P}
-2\\ 14-2\ математика {P} &= 5\ математика {P}\
14-2\ матрм {P} +2\ математика {P} &= 5\ математика {P} +2\ математика {P}\
14 &=7 математика {P}\
\ frac {14} {7} &=\ frac {7\ матрм {P}} {7}\\
2 &=\ mathrm {P}
\ кінець {вирівняний}
\]
Іншими словами, ціна кожної персональної піци складе 2 долари. Скільки купуватимуть споживачі?
Взявши ціну в $2, і включивши її в рівняння попиту, отримуємо:
\ [
\ почати {вирівняний}
\ mathrm {Qd} &=16-2\ mathrm {P}\
&=16-2 (2)\\
&=16-4\\
&=12
\ кінець {вирівняний}
\]
Тож якщо ціна становить 2 долари кожен, споживачі придбають 12. Скільки будуть поставляти виробники? Взявши ціну в $2, і включивши її в рівняння пропозиції, отримуємо:
\ [
\ почати {вирівняний}
\ mathrm {As} &=2+5\ mathrm {P}\
&=2+5 (2)\\
&=2+10\\
&=12
\ кінець {вирівняний}
\]
Тож якщо ціна складе 2 долари, виробники поставлять 12 особистих піц. Це означає, що ми зробили нашу математику правильно, так як Qd = Qs.
Розв'язування моделей за допомогою графіків
Якщо алгебра не є вашою сильною стороною, ви можете отримати ту ж відповідь, використовуючи графіки. Візьміть рівняння для Qd і Qs і графік їх на тому ж наборі осей, як показано на малюнку\(\PageIndex{A2}\). Оскільки P знаходиться на вертикальній осі, найпростіше, якщо ви вирішите кожне рівняння для P. Крива попиту тоді P = 8 - 0.5Qd, а крива пропозиції - P = —0.4+ 0.2Qs. Зверніть увагу, що вертикальні перехоплення становлять 8 і —0,4, а ухили - 0,5 для попиту і 0,2 для пропозиції. Якщо ви уважно намалюєте графіки, ви побачите, що там, де вони перетинаються (Qs = Qd), ціна становить 2 долари, а кількість - 12, як і передбачала алгебра.
Рисунок Графік попиту та\(\PageIndex{A2}\) пропозиції Рівняння для Qd та Qs відображаються графічно похилими лініями.
Ми будемо використовувати графіки частіше в цій книзі, ніж алгебру, але тепер ви знаєте математику за графіками.
Темпи зростання
Темпи зростання часто зустрічаються в економіці реального світу. Темп зростання - це просто зміна відсотка в деякій кількості. Це може бути ваш дохід. Це можуть бути продажі бізнесу. Це може бути ВВП країни. Формула обчислення темпу зростання проста:
\ [
\ text {Відсоток зміни} =\ dfrac {\ text {Зміна кількості}} {\ text {Кількість}}
\]
Припустимо, ваша робота платить 10 доларів за годину. Ваш бос, однак, настільки вражений вашою роботою, що він дає вам 2 долари на годину підвищення. Відсоток зміни (або темпу зростання) у вашій зарплаті становить $2/$10 = 0,20 або 20%.
Для обчислення темпів зростання даних протягом тривалого періоду часу, наприклад, середньорічного зростання ВВП протягом десятиліття і більше, знаменник зазвичай визначається трохи інакше. У попередньому прикладі ми визначили кількість як початкову кількість - або кількість, коли ми починали. Це нормально для одноразового розрахунку, але коли ми обчислюємо зростання знову і знову, має сенс визначити кількість як середню кількість за відповідний період, яка визначається як кількість на півдорозі між початковою кількістю та наступною кількістю. Це складніше пояснити словами, ніж показати на прикладі. Припустимо, ВВП країни становив 1 трлн доларів у 2005 році та 1,03 трлн доларів у 2006 році. Темпами зростання між 2005 і 2006 роками буде зміна ВВП (1,03 трлн дол. США - 1,00 трлн. дол. США), поділена на середній ВВП між 2005 і 2006 роками (1,03 трлн. дол. США + 1,00 трлн. дол. США) /2 Іншими словами:
\ [
\ почати {вирівняний}
&=\ dfrac {\ $1.03\ текст {трильйон} -\ $1,00\ текст {трильйон}} {(\ $1.03\ текст {трильйон} +\ $1,00\ текст {трильйон})/2}\
&=\ dfrac {0.03} {1.015}\
&=0.0296\
&=2.96\%\ текст {зростання}
\ end {вирівняний}
\]
Зауважимо, що якби ми використовували перший метод, то розрахунок становив би ($1,03 трлн — $1,00 трлн)/$1,00 трлн = 3% зростання, що приблизно таке ж, як і другий, більш складний метод. Якщо вам потрібно грубе наближення, скористайтеся першим методом. Якщо потрібна акуратність, скористайтеся другим способом.
Кілька речей, які слід пам'ятати: позитивний темп зростання означає, що кількість зростає. Менший темп зростання означає, що кількість зростає повільніше. Більший темп зростання означає, що кількість зростає швидше. Негативний темп зростання означає, що кількість зменшується.
Така ж зміна з часом дає менші темпи зростання. Якщо ви отримуєте підвищення на 2 долари щороку, в перший рік темпи зростання становили б $2/$10 = 20%, як показано вище. Але на другий рік темпи зростання становили б $2/$12 = 0,167 або 16,7% зростання. На третій рік той самий підйом на 2 долари відповідав би $2/$14 = 14,2%. Мораль історії така: Щоб темпи зростання залишалися однаковими, зміна повинна збільшуватися з кожним періодом.
Відображення даних у графічному вигляді та інтерпретація графіка
Графіки також використовуються для відображення даних або доказів. Графіки - це метод подання числових закономірностей. Вони конденсують детальну числову інформацію у візуальну форму, в якій співвідношення та числові закономірності можна побачити легше. Наприклад, які країни мають більшу чи меншу чисельність населення? Уважний читач міг би вивчити довгий список чисел, що представляють населення багатьох країн, але з більш ніж 200 країн у світі пошук такого списку займе концентрацію та час. Розміщення цих самих чисел на графік може швидко виявити закономірності населення. Економісти використовують графіки як для компактного і читаного подання груп чисел, так і для побудови інтуїтивного розуміння відносин і зв'язків.
У цій книзі використовуються три типи графіків: лінійні графіки, кругові діаграми та гістограми. Кожен з них розглядається нижче. Ми також надаємо попередження про те, як можна маніпулювати графіками, щоб змінити уявлення глядачів про відносини в даних.
Лінійні графіки
Графіки, які ми обговорювали до цих пір, називаються лінійними графіками, оскільки вони показують зв'язок між двома змінними: одна вимірюється на горизонтальній осі, а інша вимірюється на вертикальній осі.
Іноді корисно показувати більше одного набору даних на одних і тих же осях. Дані в таблиці\(\PageIndex{A2}\) відображаються на малюнку,\(\PageIndex{A3}\) який показує взаємозв'язок між двома змінними: довжиною і середньою вагою для американських хлопчиків і дівчаток протягом перших трьох років життя. (Медіана означає, що половина всіх немовлят важать більше цього, а половина важать менше.) Лінійний графік вимірює довжину в дюймах на горизонтальній осі і вагу в фунтах на вертикальній осі. Наприклад, точка А на малюнку показує, що хлопчик, який має довжину 28 дюймів, матиме серединну вагу близько 19 фунтів. Один рядок на графіку показує співвідношення довжина-вага для хлопчиків, а інша лінія показує відносини для дівчаток. Цей тип графіка широко використовується медичними працівниками, щоб перевірити, чи приблизно йде фізичний розвиток дитини.
Малюнок\(\PageIndex{A3}\) Відносини довжина-вага для американських хлопчиків і дівчаток Лінійний графік показує взаємозв'язок між зростом і вагою для хлопчиків і дівчаток від народження до 3 років. Точка А, наприклад, показує, що хлопчик зростом 28 дюймів (вимірюється на горизонтальній осі) зазвичай становить 19 фунтів ваги (вимірюється на вертикальній осі). Ці дані стосуються тільки дітей перших трьох років життя.
| Хлопчики від народження до 36 місяців | Дівчата від народження до 36 місяців | ||
|---|---|---|---|
| Довжина (дюйми) | Вага (фунти) | Довжина (дюйми) | Вага (фунти) |
| 20.0 | 8.0 | 20.0 | 7.9 |
| 22.0 | 10.5 | 22.0 | 10.5 |
| 24.0 | 13.5 | 24.0 | 13.2 |
| 26.0 | 16.4 | 26.0 | 16.0 |
| 28.0 | 19,0 | 28.0 | 18.8 |
| 30.0 | 21.8 | 30.0 | 21.2 |
| 32.0 | 24.3 | 32.0 | 24.0 |
| 34.0 | 27.0 | 34.0 | 26.2 |
| 36.0 | 29.3 | 36.0 | 28.9 |
| 38.0 | 32.0 | 38.0 | 31.3 |
Відносини\(\PageIndex{A2}\) довжини до ваги таблиці для американських хлопчиків і дівчаток
Не всі відносини в економіці є лінійними. Іноді вони являють собою криві. \(\PageIndex{A4}\)На малюнку представлений інший приклад лінійного графіка, який представляє дані з таблиці\(\PageIndex{A3}\). У цьому випадку лінійний графік показує, наскільки тонким стає повітря, коли ви піднімаєтеся на гору. Горизонтальна вісь малюнка показує висоту, виміряну в метрах над рівнем моря. Вертикальна вісь вимірює щільність повітря на кожній висоті. Щільність повітря вимірюється вагою повітря в кубічному метрі простору (тобто короба розміром один метр у висоту, ширину, глибину). Як показано на графіку, тиск повітря є найважчим на рівні землі і стає легшим, коли ви піднімаєтеся. \(\PageIndex{A4}\)На малюнку видно, що кубометр повітря на висоті 500 метрів важить приблизно один кілограм (близько 2,2 фунта). Однак зі збільшенням висоти щільність повітря зменшується. Кубічний метр повітря на вершині Евересту, приблизно 8,828 метрів, важить лише 0,023 кілограма. Тонке повітря на великих висотах пояснює, чому багатьом альпіністам потрібно використовувати кисневі баки, коли вони досягають вершини гори.
Рисунок\(\PageIndex{A4}\) Висота-Щільність повітря Цей лінійний графік показує залежність між висотою, виміряною в метрах над рівнем моря, і щільністю повітря, виміряною в кілограмах повітря на кубічний метр. З підвищенням висоти щільність повітря знижується. Точка на вершині Евересту має висоту приблизно 8 828 метрів над рівнем моря (горизонтальна вісь) і щільність повітря 0,023 кілограма на кубічний метр (вертикальна вісь).
| Висота над рівнем моря (метри) | Щільність повітря (кг/куб.м) |
|---|---|
| 0 | 1.200 |
| 500 | 1.093 |
| 1 000 | 0,831 |
| 1 500 | 0.678 |
| 2 000 | 0.569 |
| 2,500 | 0,484 |
| 3 000 | 0,415 |
| 3 500 | 0,357 |
| 4 000 | 0,307 |
| 4 500 | 0,231 |
| 5 000 | 0.182 |
| 5 500 | 0.142 |
| 6 000 | 0.100 |
| 6 500 | 0,085 |
| 7 000 | 0.066 |
| 7 500 | 0,051 |
| 8 000 | 0.041 |
| 8 500 | 0,025 |
| 9 000 | 0,022 |
| 9 500 | 0.019 |
| 10 000 | 0,014 |
Таблиця співвідношення\(\PageIndex{A3}\) висоти до щільності повітря
Відносини довжина-вага та співвідношення висота-щільність повітря в цих двох цифрах представляють середні показники. Якщо ви збирали фактичні дані про тиск повітря на різних висотах, однакова висота в різних географічних місцях матиме дещо різну щільність повітря, залежно від таких факторів, як далеко ви знаходитесь від екватора, місцеві погодні умови та вологість повітря. Аналогічно, при вимірюванні зросту та ваги дітей для попереднього графіка рядків діти певного зросту матимуть діапазон різної ваги, деякі вище середнього та деякі нижче. У реальному світі такий вид варіації даних є поширеним явищем. Завдання дослідника полягає в тому, щоб організувати ці дані таким чином, щоб допомогти зрозуміти типові закономірності. Вивчення статистики, особливо в поєднанні з комп'ютерною статистикою та програмами електронних таблиць, є великою підмогою в організації такого роду даних, побудові лінійних графіків та пошуку типових залежностей. Для більшості економічних та соціальних наук спеціальностей, курс статистики буде потрібно в якийсь момент.
Один загальний лінійний графік називається часовим рядом, в якому горизонтальна вісь показує час, а вертикальна вісь відображає іншу змінну. Таким чином, графік часових рядів показує, як змінна змінюється з часом. \(\PageIndex{A5}\)На малюнку показаний рівень безробіття в Сполучених Штатах з 1975 року, де безробіття визначається як відсоток дорослих, які хочуть роботу і шукають роботу, але не можуть її знайти. Точки за рівнем безробіття в кожному році наносяться на графіку, а потім лінія з'єднує точки, показуючи, як рівень безробіття рухався вгору і вниз з 1975 року. Лінійний графік дозволяє легко побачити, наприклад, що найвищий рівень безробіття за цей період часу був трохи менше 10% на початку 1980-х та 2010 років, тоді як рівень безробіття знизився з початку 1990-х до кінця 1990-х років, перш ніж зростати, а потім впасти на початку 2000-х, а потім різко зростає під час рецесії 2008—2009 рр.
Рисунок Рівень безробіття в\(\PageIndex{A5}\) США, 1975—2014 Цей графік надає швидкий візуальний підсумок даних про безробіття. За допомогою такого графіка легко визначити часи високого безробіття та низького рівня безробіття.
Кругові діаграми
Кругова діаграма (іноді її називають круговою діаграмою) використовується для того, щоб показати, як загальна сума ділиться на частини. Коло являє собою групу в цілому. Зрізи цього кругового «пирога» показують відносні розміри підгруп.
На малюнку\(\PageIndex{A6}\) показано, як населення США розділилося серед дітей, дорослих працездатного віку та людей похилого віку в 1970, 2000 роках і що прогнозується на 2030 рік. Інформація спочатку передається цифрами в таблиці\(\PageIndex{A4}\), а потім у трьох кругових діаграмах. У першій колонці таблиці\(\PageIndex{A4}\) показано загальну чисельність населення США за кожен з трьох років. Графи 2—4 класифікують загальну кількість за віковими групами—від народження до 18 років, від 19 до 64 років і 65 років і вище. У стовпцях 2—4 перше число показує фактичну кількість людей у кожній віковій категорії, тоді як число у дужках показує відсоток від загальної кількості населення, що складається з цієї вікової групи.
| Рік | Загальна чисельність населення | 19 і молодше | 20—64 років | Понад 65 |
|---|---|---|---|---|
| 1970 | 205,0 мільйонів | 77.2 (37,6%) | 107.7 (52,5%) | 20.1 (9,8%) |
| 2000 | 275,4 мільйонів | 78,4 (28,5%) | 162.2 (58,9%) | 34,8 (12,6%) |
| 2030 | 351,1 мільйонів | 92,6 (26,4%) | 188.2 (53,6%) | 70,3 (20.0%) |
Таблиця Віковий розподіл\(\PageIndex{A4}\) США, 1970, 2000 та 2030 роки (прогнозується)
Малюнок\(\PageIndex{A6}\) Кругові діаграми розподілу віку США (цифри в мільйоні) Три кругові діаграми ілюструють поділ загальної чисельності населення на три вікові групи протягом трьох різних років.
У круговій діаграмі кожен шматочок пирога представляє частку від загальної кількості, або відсоток. Наприклад, 50% становило б половину пирога, а 20% - п'яту частину пирога. Три кругові діаграми на малюнку\(\PageIndex{A6}\) показують, що частка населення США 65 років і старше зростає. Кругові діаграми дозволяють відчути відносний розмір різних вікових груп з 1970 по 2000 до 2030, не вимагаючи від вас пробивати конкретні цифри та відсотки в таблиці. Деякі поширені приклади того, як використовуються кругові діаграми, включають поділ населення на групи за віком, рівнем доходу, етнічної приналежності, релігії, професії; поділ різних фірм на категорії за розміром, галуззю, кількістю працівників; і поділ державних витрат або податків на основні категорії.
Гістограми
Гістограма використовує висоту різних стовпчиків для порівняння величин. У таблиці\(\PageIndex{A5}\) наведено 12 найбільш густонаселених країн світу. Рисунок\(\PageIndex{A7}\) містить ці самі дані в гістограмі. Висота барів відповідає населенню кожної країни. Хоча ви можете знати, що Китай та Індія є найбільш густонаселеними країнами світу, бачачи, як смуги на графовій вежі над іншими країнами допомагають проілюструвати величину різниці між розмірами національного населення.
Малюнок\(\PageIndex{A7}\) Провідні країни світу за чисельністю населення, 2015 (в мільйоні) Графік показує 12 країн світу з найбільшим населенням. Висота смуг на гістограмі показує розмір населення для кожної країни.
| Країна | Населення |
|---|---|
| Китай | 1 369 |
| Індія | 1 270 |
| Сполучені Штати | 321 |
| Індонезія | 255 |
| Бразилія | 204 |
| Пакистан | 190 |
| Нігерія | 184 |
| Бангладеш | 158 |
| Росія | 146 |
| Японія | 127 |
| Мексика | 121 |
| Філіппіни | 101 |
Таблиця\(\PageIndex{A5}\) провідних 12 країн світу за чисельністю населення
Гістограми можна розділити таким чином, щоб виявити інформацію, подібну до тієї, яку ми можемо отримати з кругових діаграм. Рисунок\(\PageIndex{A8}\) пропонує три гістограми на основі інформації з малюнка\(\PageIndex{A6}\) про віковий розподіл США в 1970, 2000 та 2030 роках. На малюнку A8 (a) показано три смуги для кожного року, що представляє загальну кількість осіб у кожній віковій групі за кожен рік. На малюнку\(\PageIndex{A8}\) (b) показано лише один бар на кожен рік, але різні вікові групи тепер затінені всередині бару. На малюнку\(\PageIndex{A8}\) (c), як і раніше на основі тих же даних, вертикальна вісь вимірює відсотки, а не кількість осіб. При цьому всі три гістограми мають однакову висоту, що становить 100% населення, причому кожен стовпчик ділиться відповідно до відсотка населення в кожній віковій групі. Іноді читачеві простіше запустити очі на кілька гістограм, порівнюючи затінені області, ніж намагатися порівнювати кілька кругових діаграм.
Рисунок Населення\(\PageIndex{A8}\) США з гістограмами Дані населення можуть бути представлені різними способами. (a) Показує три смуги для кожного року, що представляє загальну кількість осіб у кожній віковій групі за кожен рік. (b) Показує лише один бар на кожен рік, але різні вікові групи тепер затінені всередині бару. (c) Встановлює вертикальну вісь як міру відсотків, а не кількість осіб. Всі три гістограми мають однакову висоту, і кожен бар розділений відповідно до відсотка населення у кожній віковій групі.
На малюнку\(\PageIndex{A7}\) та малюнку\(\PageIndex{A8}\) показано, як бари можуть представляти країни або роки, і як вертикальна вісь може представляти числове або процентне значення. Гістограми також можуть порівнювати розмір, кількість, ставки, відстані та інші кількісні категорії.
Порівняння лінійних графіків з круговими діаграмами та гістогра
Тепер, коли ви знайомі з круговими діаграмами, гістограмами та лінійними графіками, як ви знаєте, який графік використовувати для ваших даних? Кругові діаграми часто краще, ніж лінійні графіки, показуючи, як поділена загальна група. Однак, якщо кругова діаграма має занадто багато скибочок, це може стати важко інтерпретувати.
Гістограми особливо корисні при порівнянні величин. Наприклад, якщо ви вивчаєте населення різних країн, як на малюнку\(\PageIndex{A7}\), гістограми можуть показати взаємозв'язок між чисельністю населення декількох країн. Він не тільки може показати ці відносини, але також може показати зриви різних груп всередині населення.
Лінійний графік часто є найефективнішим форматом для ілюстрації зв'язку між двома змінними, які змінюються. Наприклад, графіки часових рядів можуть відображати закономірності як зміни часу, наприклад, рівень безробіття з плином часу. Лінійні графіки широко використовуються в економіці, щоб представити безперервні дані про ціни, заробітну плату, кількість куплених і проданих, розмір економіки.
Як графіки можуть вводити в оману
Графіки не тільки розкривають закономірності; вони також можуть змінити спосіб сприйняття закономірностей. Щоб побачити деякі способи це можна зробити, розглянемо лінійні графіки малюнка\(\PageIndex{A9}\), рисунка\(\PageIndex{A10}\) та рисунка\(\PageIndex{A11}\). Ці графіки ілюструють рівень безробіття, але з різних точок зору.
Малюнок\(\PageIndex{A9}\)
Малюнок\(\PageIndex{A10}\) Представлення рівня безробіття різними способами, всі вони точні Просто зміна ширини та висоти області, в якій відображаються дані, може змінити сприйняття даних.
Малюнок\(\PageIndex{A11}\) Представлення рівня безробіття різними способами, всі вони точні Просто зміна ширини та висоти області, в якій відображаються дані, може змінити сприйняття даних.
Припустимо, ви хотіли графік, який створює враження, що зростання безробіття в 2009 році не було настільки великим, або все, що надзвичайне за історичними мірками. Ви можете вказати свої дані, як показано на малюнку\(\PageIndex{A9}\) (a). Рисунок\(\PageIndex{A9}\) (а) містить значну частину тих самих даних, представлених раніше на малюнку,\(\PageIndex{A5}\) але розтягує горизонтальну вісь довше відносно вертикальної осі. Поширюючи графік широко і рівно, візуальний вигляд полягає в тому, що зростання безробіття не настільки велике, і схоже на деякі минулі зростання безробіття. Тепер уявіть, що ви хотіли підкреслити, як безробіття зросло значно вище в 2009 році. При цьому, використовуючи ті ж дані, можна розтягнути вертикальну вісь відносно горизонтальної осі, як на малюнку\(\PageIndex{A9}\) (b), завдяки чому всі підйоми і падіння по безробіттю здаються більшими.
Аналогічний ефект може бути досягнутий без зміни довжини осей, а шляхом зміни масштабу на вертикальній осі. На малюнку\(\PageIndex{A10}\) (c) шкала на вертикальній осі становить від 0% до 30%, тоді як на малюнку\(\PageIndex{A10}\) (d) вертикальна вісь проходить від 3% до 10%. Порівняно з малюнком\(\PageIndex{A5}\), де вертикальна шкала становить від 0% до 12%, Рисунок\(\PageIndex{A10}\) (c) робить коливання безробіття меншим, тоді як малюнок\(\PageIndex{A10}\) (d) робить його більшим.
Інший спосіб змінити сприйняття графіка - зменшити кількість варіацій, змінивши кількість точок, нанесених на графіку. На малюнку\(\PageIndex{A10}\) (е) показаний рівень безробіття за середніми п'ятирічними показниками. Усереднюючи деякі зміни з року в рік, лінія виглядає більш гладкою і з меншою кількістю максимумів і мінімумів. Насправді рівень безробіття повідомляється щомісяця, а на малюнку\(\PageIndex{A11}\) (f) показані щомісячні показники з 1960 року, які коливаються більше, ніж середній п'ятирічний показник. Рисунок\(\PageIndex{A11}\) (f) також є яскравою ілюстрацією того, як графіки можуть стискати багато даних. Графік включає щомісячні дані з 1960 року, які протягом майже 50 років працюють майже до 600 точок даних. Читання цього списку з 600 точок даних у числовій формі було б гіпнотичним. Однак ви можете отримати гарне інтуїтивне відчуття цих 600 точок даних дуже швидко з графіка.
Заключна хитрість в маніпулюванні сприйняттям графічної інформації полягає в тому, що, ретельно вибираючи початкову і кінцеву точки, ви можете впливати на сприйняття того, зростає чи падає змінна. Початкові дані показують загальну картину з низьким рівнем безробіття в 1960-х роках, але зростанням в середині 1970-х, початку 1980-х, початку 1990-х, початку 2000-х і наприкінці 2000-х. Рисунок\(\PageIndex{A11}\) (g), однак, показує графік, який сягає лише 1975 року, що створює враження, що безробіття більш-менш поступово падає з часом, поки рецесія 2009 року не відштовхнула її назад до свого «початкового» рівня - що є правдоподібною інтерпретацією, якщо почати з найвищої точки близько 1975 року.
Такі хитрощі - або ми просто називаємо їх «вибором презентацій» - не обмежуються лінійними графіками. У круговій діаграмі з багатьма маленькими скибочками та одним великим скибочкою хтось повинен вирішити, які категорії слід використовувати для отримання цих скибочок в першу чергу, завдяки чому деякі скибочки здаються більшими за інші. Якщо ви робите гістограму, ви можете зробити вертикальну вісь вищою або коротшою, що, як правило, призведе до того, що зміни висоти смуг здаються більшими або меншими.
Вміння читати графіки - важлива навичка, як в економіці, так і в житті. Графік - це лише одна перспектива або точка зору, сформована такими варіантами, як ті, які обговорюються в цьому розділі. Не завжди вірте першому швидкому враженню від графіка. Подивитися з обережністю.
Ключові поняття та резюме
Математика - це інструмент для розуміння економіки та економічних відносин, які можуть бути виражені математично за допомогою алгебри або графіків. Алгебраїчне рівняння для прямої дорівнює y = b + mx, де x - змінна на горизонтальній осі, y - змінна на вертикальній осі, член b - перехоплення y, а m - нахил. Нахил лінії однаковий у будь-якій точці лінії і вказує на зв'язок (позитивний, негативний або нуль) між двома економічними змінними.
Економічні моделі можуть бути вирішені алгебраїчно або графічно. Графіки дозволяють проілюструвати дані наочно. Вони можуть ілюструвати закономірності, порівняння, тенденції та розподіл, конденсуючи числові дані та забезпечуючи інтуїтивне відчуття взаємозв'язків у даних. Лінійний графік показує зв'язок між двома змінними: одна показана на горизонтальній осі, а друга - на вертикальній осі. Кругова діаграма показує, як щось виділяється, наприклад, сума грошей або група людей. Розмір кожного шматочка пирога малюється таким чином, щоб представляти відповідний відсоток цілого. Гістограма використовує висоту смуг, щоб показати відносини, де кожен бар представляє певну сутність, наприклад країну або групу людей. Смуги на гістограмі також можна розділити на сегменти, щоб показати підгрупи.
Будь-який графік - це єдина візуальна перспектива на предмет. Враження, яке він залишає, базуватиметься на багатьох варіантах, таких як дані або часові рамки, як дані або групи поділяються, відносний розмір вертикальної та горизонтальної осей, чи шкала, що використовується на вертикалі, починається з нуля. Таким чином, будь-який графік слід розглядати дещо скептично, пам'ятаючи, що основні відносини можуть бути відкриті для різних тлумачень.