МЕТА НАВЧАННЯ
- Як робити ставки, якщо я не можу побачити ставки інших?
На аукціоні з печаткою кожен учасник торгів подає заявку в конверті. Вони відкриваються одночасно, і учасник найвищої ставки виграє товар і сплачує свою ставку. Аукціони з герметичними торгами використовуються для продажу офшорної оренди нафти, і вони використовуються урядами для придбання найрізноманітніших предметів. У ситуації купівлі, яка часто відома як тендер, учасник найнижчих торгів виграє суму, яку він пропонує.
Аналіз аукціону з закритими ставками є більш складним, оскільки учасники торгів не мають домінуючої стратегії. Дійсно, найкраща ставка залежить від того, що інші учасники торгів торгують. Учасник з найвищим значенням хотів би зробити ставку на копійку більше, ніж ставка наступного учасника найвищої ставки, незалежно від того, що це може бути.
Щоб провести аналіз аукціону з закритими торгами, ми збираємось зробити різноманітні спрощуючі припущення. Ці припущення не потрібні для аналізу, але ми робимо їх для спрощення математичного викладу.
Ми припускаємо, що є n учасників торгів, і ми маркуємо учасників торгів 1,..., п. Учасник i має приватне значення v i, яке є нічиєю з рівномірного розподілу на інтервалі [0,1]. Тобто, якщо, ймовірність того\(\begin{equation}0 \leq a \leq b \leq 1\end{equation}\), що значення i учасника торгів знаходиться в інтервалі\(\begin{equation}[a, b] \text { is } b-a\end{equation}\). Важливим атрибутом цього припущення є симетрія - всі учасники торгів мають однаковий розподіл. Крім того, формулювання передбачало незалежність - вартість, яку один учасник торгів ставить на об'єкт для продажу, статистично не залежить від вартості, розміщеної іншими. Кожен учасник торгів знає свою власну цінність, але він не знає цінностей інших учасників торгів. Передбачається, що кожен учасник торгів робить ставку таким чином, щоб максимізувати свій очікуваний прибуток (ми будемо шукати рівновагу Неша в торгах). Учасникам торгів дозволяється подавати будь-яку ставку, рівну або більшу за нуль.
Щоб знайти рівновагу, корисно обмежити увагу лінійними стратегіями, в яких учасник торгів ставить частку своєї вартості. Таким чином, ми припускаємо, що кожен учасник торгів робить ставку λ v, коли її значення дорівнює v, а λ - позитивна константа, як правило, між нулем і одиницею. За допомогою цього налаштування ми розглянемо, за яких умов ці стратегії складають рівновагу Неша. Рівновага існує, коли всі інші учасники торгів роблять ставку λ v, коли їх значення дорівнює v, а решта учасників торгів роблять таку ж ставку.
Так що виправити учасника торгів і припустимо, що вартість учасника є v i. Яку ставку повинен обрати учасник торгів? Ставка b виграє торги, якщо всі інші учасники торгів роблять ставку менше b. Оскільки інші учасники торгів, за гіпотезою, ставка λ v, коли їх значення дорівнює v, наш учасник торгів виграє, коли b≥λ v j для один одного учасника торгів j. Це відбувається, коли b λ ≥ v j один для одного учасника торгів j, а це в свою чергу відбувається з ймовірністю b λ. Якщо b>λ, то насправді ймовірність дорівнює 1. Ви можете показати, що жоден учасник торгів ніколи не буде робити ставку більше, ніж λ. Таким чином, наш учасник торгів зі значенням v i, який робить ставку b, виграє з ймовірністю (b λ) n−1, оскільки учасник торгів повинен перемогти всіх n −1 інших учасників торгів. Це створює очікуваний прибуток для учасника торгів\(\begin{equation}n=(v i-b)(b \lambda) n-1\end{equation}\).
Учасник торгів вибирає b, щоб максимізувати очікуваний прибуток. Умова першого порядку вимагає\(\begin{equation}0=-(b \lambda) n-1+(v i-b)(n-1) b n-2 \lambda n-1\end{equation}\).
Умова першого порядку вирішує для\(\begin{equation}b=n-1 n v\end{equation}\).
Але це лінійне правило. Таким чином, якщо\(\begin{equation}\lambda=n-1 n\end{equation}\), ми маємо рівновагу Неша.
Характер цієї рівноваги полягає в тому, що кожен учасник торгів пропонує дріб λ= n−1 n своєї вартості, а учасник торгів з найвищою вартістю виграє за ціною, рівною цій частці її вартості.
У деяких випадках аукціон з печаткою торгів викликає жаль. Жаль означає, що учасник торгів бажає, щоб вона зробила ставку по-іншому. Нагадаємо, наші позначення для значень: v (1) - це найбільше значення, а v (2) - друге за величиною. Оскільки ціна на аукціоні з печаткою є\(\begin{equation}n-1 n \vee(1)\end{equation}\), другий за величиною учасник торгів пошкодує про свою ставку, коли\(\begin{equation}v(2)>n-1 n \vee(1)\end{equation}\). У цьому випадку учасник торгів з другим за величиною значенням міг би зробити ставку вище і виграв, якщо учасник торгів знав ставку переможця. На відміну від цього, англійський аукціон не шкодує: ціна піднімається до такої міри, що учасник торгів з другим за величиною значенням не заплатить.
Як порівнюються два аукціони за цінами? Виявляється, статистична незалежність приватних цінностей передбачає еквівалентність доходів, а це означає, що два аукціони виробляють однакові ціни в середньому. Враховуючи найбільше значення v (1), друге за величиною значення має розподіл,\(\begin{equation}(v(2) \vee(1)) n-1\end{equation}\) оскільки це ймовірність того, що всі n − 1 інші учасники торгів мають значення менше v (2). Але це дає очікуване значення\(\begin{equation}v_{(2)} \text { of } \mathrm{E} v(2)=\int 0 \vee(1) \vee(2)(n-1) v(2) n-2 v(1) n-1 \text { d } v(2)=n-1 \text { n } v(1)\end{equation}\).
Таким чином, середня ціна, сплачена на аукціоні з печаткою, така ж, як середня ціна на англійському аукціоні.
